(共22张PPT)
9.5 图形的全等
1.全等图形
能够 的两个图形叫做全等图形.相互重合的顶点叫做 ,相互重合的边叫做 ,相互重合的角叫做 .
全等用符号“ ”表示,读作“ ”.
2.全等变换
轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换,图形经过这样的变换,位置发生了改变,但变换前后两个图形的对应线段 ,对应角 ,图形的形状和大小没有改变,故轴对称、平移与旋转变换中的两个图形 .
对应顶点
对应边
对应角
≌
全等于
相等
相等
全等
完全重合
3.全等多边形
性质:全等多边形的对应边、对应角分别 .
判定:如果两个多边形的边、角分别对应 ,那么这两个多边形全等.
4.全等三角形
性质:全等三角形的对应边、对应角分别 .
判定:如果两个三角形的边、角分别 ,那么这两个三角形全等.
温馨提示:在表示三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
相等
相等
相等
相等
5.全等三角形常见的典型类型
全等图形及其概念
(1)与如图所示的图形全等的是 ( )
B
(2)填空:
①如图1,△ABC平移至△DEF,则△ ≌△ ,这两个三角形的对应顶点是 与 , 与 , 与 _____；对应边是 与 , 与 , 与 ______;对应角是 与 , 与 , 与 .
ABC
DEF
A
D
B
E
C
F
AB
DE
AC
DF
BC
EF
∠A
∠D
∠B
∠1
∠2
∠F
②如图2,△ABC绕着点A逆时针旋转30°到△AEF,则△ ______≌△ ,这两个三角形的对应顶点是 与 , ____与 , 与 ;对应边是 与 , 与 ____, 与 ;对应角是 与 ,
_____与 , 与 ,∠BAE=∠ = .
ABC
AEF
A
A
B
E
C
F
AB
AE
AC
AF
BC
EF
∠BAC
∠EAF
∠B
∠E
∠C
∠F
CAF
30°
③如图3,△ABC与△ADC关于直线AC成轴对称,则△_______≌△ ,这两个三角形的对应顶点
是 与 , 与 , 与 ;对应边是 ______与 , 与 , 与 ;对应角是 ______与 , 与 ,
与 .
ABC
ADC
A
A
B
D
C
C
AB
AD
AC
AC
BC
DC
∠B
∠D
∠ACB
∠ACD
∠BAC
∠DAC
[方法归纳]
对应元素确定方法
1.下列说法:
①同一张底片洗出的10张一英寸照片是全等图形;
②我国国旗上的四颗小五角星是全等图形;
③所有的正六边形是全等图形;
④面积相等的两个长方形是全等图形.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.如图,△ABF≌△DCE,AB与DC是对应边,∠B与∠C是对应角,写出其他对应边及对应角.
解:对应边:AF与DE,
BF与CE;
对应角:∠A与∠D,
∠AFB与∠DEC.
全等多边形的性质
如图,两个图形是全等图形,试根据所给的条件,求出每个图形中标出的a、b、c、α、β的值.
解:根据全等多边形的对应角相等,得∠α=100°.
由四边形的内角和为360°,可知
第四个角为360°-(120°+95°+100°)=45°,所以∠β=45°.
根据全等多边形的对应边相等,得a=3,b=4,c=6.
[知识总结] 根据全等多边形的对应边相等,对应角相等,可以求出未知的边和角,但是需要注意全等的对应关系,找准对应边和对应角.
3.如图,四边形EFGH与四边形ABCD是全等图形.若AD=5,∠B=70°,则EH= ,∠F= .
5
70°
4.如图所示,在网格中画一个与已知四边形ABCD全等的四边形.
解:如答案图所示,答案不唯一,可通过轴对称、平移和旋转的方式作图.
(答案图)
全等三角形的性质
(1)如图1,△ABE≌△ACD,且∠1=∠2,∠B=∠C,则下列等式不正确的是 ( )
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD
C.EB=DC D.AD=DE
D
(2)如图2,已知△ABC≌△ADE,若AB=7,AC=3,则BE的长为 ;
4
(3)如图3,△ABC≌△ADE,BC的延长线过点E,交AD于点F,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=5°,∠B=50°,求∠DEF的度数.
解:(3)∵△ABC≌△ADE,
∴∠D=∠B=50°.
∵∠ACB=105°,∴∠ACE=75°.
∵∠CAD=5°,
∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=80°.
∴∠DEF=∠EFA-∠D=80°-50°=30°.
[方法归纳] 利用全等三角形的性质,可以得到相等的线段和相等的角,这是以后证明线段相等或角相等时常用的方法.
5.(2026·重庆外语校)如图,△ABC≌△ADE,
BC的延长线交DA于点F,交DE于点G.若∠AED=105°,∠CAD=16°,∠B=30°,则∠1的度数为 ( )
A.66° B.63° C.61° D.56°
6.若△ABC≌△DEF,AB=DE=5 cm,若△ABC的面积为10 cm2,则△DEF的边DE上的高为 cm.
C
4
7.如图,△ACF≌△DBE,且点A、B、C、D在同一条直线上,∠A=50°,∠F=40°.
(1)求△DBE各内角的度数;
解:(1)∵△ACF≌△DBE,
∴∠E=∠F=40°,
∠D=∠A=50°,
∴∠EBD=180°-∠E-∠D=90°.
(2)若AD=16,BC=10,求AB的长.
(2)∵△ACF≌△DBE,∴AC=DB,
∴AC-BC=DB-BC,即AB=CD,
∴AB===3.(共9张PPT)
9.3.1 图形的旋转
1.图形的旋转
把一个平面图形绕着平面内某一个定点O沿某个方向_________
__________的图形变换叫做旋转,定点O叫 ,它在旋转过程中保持 .
线段绕线段上的某一点旋转90°后与原来位置的线段 .
2.图形旋转的要素
图形的旋转由 、 和 决定.
3.图形旋转前后的对应关系
(1)对应点;(2)对应线段;(3)对应角.
转动一
个角度
旋转中心
不动
互相垂直
旋转中心
旋转角度
旋转方向
旋转的概念
如图,在△ABC中,AD是中线,△ACD旋转后能与△EBD重合.
(1)旋转中心是哪一点
解:(1)△ACD旋转后能与△EBD重合,则由图形知,旋转中心为点D.
(2)旋转角为多少度
(2)因为CD的对应线段是BD,所以旋转角度为180°.
(3)如果点M是AC的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置
(3)由图形知,边AC的对应线段是EB,而点M是AC的中点,所以点M转到了EB的中点.
[思维点拨] 确定旋转中的对应关系的关键是找准对应点,然后确定对应线段和对应角.
1.有下列现象:①高层公寓电梯的上升;②传送带的移动;③方向盘的转动;④风车的转动;⑤钟摆的运动;⑥荡秋千的运动.其中属于旋转的有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
C
2.如图,已知△OAB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是 .
150°
旋转中的对应关系
如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A'B'C,那么旋转中心是 ,
点A的对应点是 ;
线段BC的对应线段是 ;
线段AB的对应线段是 ;
∠B的对应角是 ;∠A的对应角是 .
点C
点A'
B'C
A'B'
∠B'
∠A'
3.如图,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,△ABD经过旋转后到达△ACE的位置,请你思考并回答下列问题:
(1)旋转中心是 ;
(2)AB旋转到了 的位置,AD旋转到
了 的位置,因为AB旋转了 度,所以旋转角是 度,∠BAD的对应角是 ,∠B的对应角是 ;
(3)BD的对应边是 .
点A
AC
AE
60
60
∠CAE
∠ACE
CE
4.如图,小明坐在旋转的秋千上,请在图中标出点A、B、C的对应点A'、B'、C'.
解:如图所示.(共9张PPT)
9.3.3 旋转对称图形
1.旋转对称图形
一个图形绕着某一点旋转一定角度α(0°<α<360°)后能与 重合,这个图形就称为旋转对称图形,绕着转动的这一点称为旋转中心.
2.旋转对称图形的旋转角
旋转对称图形存在最小旋转角,它的正整数倍也是旋转角.
自身
旋转对称图形的概念
(1)如图所示的图形中,是旋转对称图形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
(2)下列汽车标志中,是旋转对称图形但不是轴对称图形的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
1.下列图形中既是轴对称图形,又是旋转对称图形的是 ( )
A.①② B.①②③
C.①②④ D.①②③④
C
2.对于一个扇形而言,下列说法正确的是 ( )
A.是轴对称图形,但不是旋转对称图形
B.是旋转对称图形,但不是轴对称图形
C.既是旋转对称图形,也是轴对称图形
D.既不是旋转对称图形,也不是轴对称图形
A
求旋转对称图形的旋转角
如图,该图形围绕点O按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是 ( )
A.72° B.108°
C.144° D.216°
[方法归纳] 旋转对称图形的旋转角一般有多个,先求出最小的旋转角,360°以内的最小旋转角的正整数倍也是旋转角.
B
3.下列四个图形旋转一个角度都能与自身重合,其中旋转角最小的是 ( )
A
4.在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合(如图),所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°.
(1)判断下列说法是否正确(在相应横线上填“正确”或“错误”):
①等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°;_______
②长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°;_______
(2)下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是 .(填序号)
①正三角形;②正方形;③正六边形;④正八边形.
错误
正确
①③(共8张PPT)
9.2.1 图形的平移
1.图形的平移
平面图形在它所在的平面上的 移动,简称为平移.
2.平移要素
平移的要素包括 和 .
3.平移中的对应关系
(1)对应点;(2)对应角;(3)对应线段.
平行
平移方向
平移距离
平移的概念
如图,哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到 ( )
[分析] 根据图案的现状及各部分的相对位置即可作出判断.
[方法归纳] 平移图形的判断的关键是把握图形的方向及其位置.
C
1.下列现象中不属于平移的是 ( )
A.滑雪运动员在平坦的雪地上滑行
B.抽奖大转盘在旋转
C.大楼电梯在上上下下
D.火车在笔直的铁轨上飞驰
B
2.(2025·湖北)如图,下列四个图案中,能用平移来分析其形成过程的是 .(填序号)
①③④
平移中的对应关系
如图,三角形ABC经过平移之后得到三角形DEF,那么:
(1)点A的对应点是点 ,点B的对应点是点 ,点 的对应点是点F;
(2)线段AB的对应线段是线段 ,线段BC的对应线段是线段 ;
(3)∠A的对应角是 , 的对应角是∠F.
D
E
C
EF
∠D
∠ACB
DE
3.如图,△ABC平移之后到了△DEF的位置,下列说法错误的是 ( )
A.点B的对应点是点E
B.点C的对应点是点F
C.点A的对应点是点C
D.平移的距离是线段CF的长度
C
4.如图,每个小方格均是边长为1的正方形,四边形A'B'C'D'是由四边形ABCD平移得到的.
(1)指出AB、BC、CD、DA的对应线段;
解:(1)AB、BC、CD、DA的对应线段分别为A'B'、B'C'、C'D'、D'A'.
(2)指出点A、C的对应点;
(2)点A、C的对应点分别为点A'、C'.
(3)指出四边形ABCD的平移方向和平移距离.
(3)平移的方向为向右,即点B到点B'的方向,平移距离为6.(共19张PPT)
9.2.2 平移的特征
1.平移的特征
(1)平移后的图形与原来图形的对应线段__________
___________________且 ,对应角 ,图形的形状和大小 .
(2)平移后对应点所连的线段____________________
_____________且 .
平行(或
在同一条直线上)
相等
相等
不变
平行(或在同一
条直线上)
相等
温馨提示:
(1)“对应点所连的线段”的长度实际上就是平移的距离.
(2)要注意“对应点所连的线段”与“对应线段”的区别,前者是通过连结平移前后的对应点得到的,而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
2.平移作图
(1)基本步骤:
①找平移方向和距离;
②作关键点的对应点;
③连结对应点,作出平移后的图形.
(2)基本方法
方法1:连结一对对应点得到一条线段,再以原图形的另一些关键点为端点,作出与已作线段平行且相等的线段,再连结作出的线段的另一端;
方法2:在网格中作图时,可找出原来图形的一些关键点,作出它们平移后的对应点,连结对应点即可.
平移的特征
如图,△DEF是△ABC经过平移后得到的.
(1)点A的对应点是点 ,线段BC的对应线段是 ,∠ACB的对应角是 ;
(2)AB∥ ,AC∥ ,
BC∥ ,AD∥ ∥ ;
D
EF
∠DFE
DE
DF
EF
CF
BE
(3)若AB=4 cm,AC=3 cm,EF=5 cm,则DE= ,
DF= ,BC= ;
(4)若∠BAC=90°,∠DEF=30°,则∠DFE= .
4 cm
3 cm
5 cm
60°
1.如图,将△ABC沿着XY方向平移一定的距离得到△MNL,则下列结论:
①AM∥BN;②AM=BN;③BC=ML;④∠ACB=∠MNL.
其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
2.如图,将△ABC沿直线AB向右平移后得到△BDE.若∠CAB=50°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为 .
30°
3.如图是两个有重叠的直角三角形,可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF,其中AB=8,BE=5,DH=3.
(1)求四边形DHCF的面积;
解:(1)由平移知,DE=AB=8,
∴EH=8-3=5.
∵S△ABC=S△DEF,
∴S四边形DHCF=S四边形ABEH=×(5+8)×5=32.5.
(2)连结CD,若∠A=65°,∠EDC=50°,求∠ACD的度数.
(2)由平移知,AB∥DE.
∴∠EHC=∠A=65°.
∵∠EHC=∠EDC+∠ACD,
∴∠ACD=∠EHC-∠EDC
=65°-50°=15°.
根据平移的特征作图
如图,网格中每个小正方形的边长均为1.
(1)将图中△ABC向右平移4个单位长度得到△A'B'C'(其中点A对应点A',点B对应点B',点C对应点C'),请画出△A'B'C';
解:(1)如答案图,△A'B'C'即为所求作.
(答案图)
(2)求△ABC在平移过程中扫过的图形面积.
(2)如答案图,连结AA'、BB'、CC',△ABC在平移过程中扫过的面积为梯形ACB'A',
易得AA'=4,AC=3,CB'=5,
∴梯形ACB'A'的面积为=,
∴△ABC在平移过程中扫过的图形面积为.
(答案图)
如图,已知△ABC,将△ABC沿直线BC平移得到△A1B1C1(其中A、B、C分别与A1、B1、C1对应),平移的距离为BC长度的.
(1)画出满足条件的△A1B1C1;
解:(1)如答案图所示,△A1B1C1即为所求作.
(答案图)
(2)连结AC1,若△ABC的面积为,求△ABC1的面积.
(2)由平移的性质可知CC1=BC,
∴BC1=BC+CC1=BC.
如答案图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC=BC·AD=,
∴=BC1·AD=.
(答案图)
4.(2026·重庆外语校)如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点都在方格纸的格点上.
(1)将△ABC向左平移3格,再向上平移4格,得到△A1B1C1,在方格纸中画出△A1B1C1;
(2)在方格纸中,画出△ABC的高AD;
(3)线段BC与线段B1C1的关系为 .
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作.
(2)如图,AD即为所求作.
平行且相等
5.如图,将字母“A”向箭头所指的方向平移2 cm,作出平移后的图形.
解:如答案图所示.
(答案图)
平移的应用
如图,要在一块长方形耕地中修同样宽的路(阴影部分),路宽2 m,则剩余耕地的面积为 m2.
[思维点拨] 运用平移,可化局部为整体,这种化归的数学思想,既简便了运算,又提高了计算的准确度.
540
6.长32 m的绳子,做成以下四种图案,以下四种设计方案中,设计不合理的是 ( )
A
7.某宾馆在重新装修后,准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯道宽2 m,其侧面如图所示,则购买地毯至少需要 元.
564(共11张PPT)
9.1.4 设计轴对称图案
设计轴对称图案
(1)首先作出图形的对称轴;
(2)在对称轴的一侧画出图形的基本线条, 再根据轴对称图形的性质画出另一半,从而完善整个图形.
注意:设计轴对称图形要善于将复杂图形分解成简单图形,更要善于将简单图形组成复杂图形,同时要注意对称轴的数量和位置.
设计轴对称图案
(2025·江苏)如图,在4×4的正方形网格中,有2个白色小正方形被涂成灰色,从剩余的白色小正方形中选出一个涂成灰色,若涂色的3个小正方形构成轴对称图形,则涂色方案共有 ( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
[分析] 根据轴对称图形的概念:把一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,以及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线,即可得出结果.
D
在4×4的方格内选5个小正方形,让它们组成一个轴对称图形,请在图中画出你的4种方案.(每个4×4的方格内限画一种)
要求:
(1)5个小正方形必须相连(有公共边或公共顶点视为相连);
(2)将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形.(若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合,均视为一种方案)
解:如答案图.(答案不唯一)
(答案图)
1.将一张如图所示的长方形纸片沿着对角线剪开,得到两个直角三角形,将这两个直角三角形拼在一起构成了下列的四个图形,其中不是轴对称图形的是( )
A
2.如图,在4×4的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑1个白色的小正方形,使新构成的黑色部分图形是轴对称图形,则这样的情况有 种.
2
3.在数学活动课上,王老师要求学生将图1所示3×3的正方形方格纸,剪掉其中两个方格,使之成为轴对称图形.规定:凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形,如图2的四幅图就视为同一种设计方案(阴影部分为要剪掉部分).
请在图3中画出4种不同的设计方案,将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑(每个3×3的正方形方格画一种,例图除外).
解:如答案图所示.(答案不唯一)
(答案图)
剪纸问题
如图,小明拿一张正方形纸片(如图①),沿虚线向下对折一次得到图②,再沿图②中的虚线向下对折一次得到图③,然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角,将剩下的纸片打开后得到的图形的形状是( )
A
4.剪纸是中国的民间艺术,剪纸的方法很多,下面是一种剪纸方法的图示(如图,先将纸折叠,然后剪纸,展开即得到图案),则下列四个图案,不能用上述方法剪出的是 ( )
D
5.一张正方形的纸片,按如图进行两次对折,折成一个小正方形,然后从右下角的顶点沿斜虚线剪去一个角,剪下的实际是四个小三角形,再把余下的部分展开,展开后的这个图形的内角和是 度.
1 080 (共11张PPT)
9.3.2 旋转的特征
1.旋转的特征
图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离 ,对应线段 ,对应角 ,图形的形状与大小 .
相等
相等
相等
不变
2.旋转作图
一般步骤:(1)确定旋转中心和旋转角;(2)找出确定图形形状的关键点;(3)连结关键点和旋转中心,沿一定的方向(一般都是顺时针或逆时针方向),按旋转角度,通过旋转线段的方法,旋转各个关键点,确定关键点的对应点;(4)按原图的顺序,连结各对应点,并标注相应的字母.
旋转的特征
(1)如图1,在△ABC中,以点C为中心,将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC,边DE、AC相交于点F,若∠A=35°,则∠EFC的度数为 ( )
A.50° B.60°
C.70° D.120°
B
[知识总结] 旋转前后图形的形状、大小不变,对应线段相等,图形上每一点都绕旋转中心按相同方向旋转相同的角度,利用旋转的这些特征可以进行角度和长度的计算.
(2)如图2,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB‘C’的位置,使得CC‘∥AB,则∠BAB’等于 ( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
A
1.(2026·成都外语校)将一副三角板按如图放置,三角板ABD可绕点D旋转,点C为直线AB与DE的交点,下列结论中正确的个数是 ( )
①若CD平分∠ADB,则∠BCD=125°;
②若AB∥DF,则∠BDC=10°;
③若∠ADF=120°,则∠ADC=75°;
④若AB⊥FD,则AB∥EF.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
2.如图,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA'B',使点B恰好落在边A'B'上.已知AB=4 cm,BB'=1 cm,则A'B的长是 cm.
3
旋转作图
如图,请作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转60°后的三角形.(写出作法)
[分析] 由图形旋转的性质可知,我们只需找到A、B、C三点分别绕点O顺时针旋转60°后的对应点,再顺次连结此三点就可以得到所求图形.
解:如答案图所示,作法如下:
①连结OA、OB、OC;
②分别以OA、OB、OC为一边按顺时针方向作∠AOD、∠BOE、∠COF,
使得∠AOD=∠BOE=∠COF=60°;
③分别在射线OD、OE、OF上截取OD=OA,OE=OB,OF=OC;
④连结DE、EF、FD,则△DEF就是△ABC绕点O沿顺时针方向旋转60°后的三角形.
(答案图)
3.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上.
(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1、B1分别为A、B的对应点);
(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2,画出线段B1A2.
解:(1)(2)如答案图所示.
(答案图)
4.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点).
(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位长度,再水平向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1绕着点B1顺时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.
解:(1)(2)如答案图所示.
(答案图)(共13张PPT)
9.4 中心对称
1.中心对称图形
在平面内,一个图形绕着中心旋转 后能与自身重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个中心叫做 .
注意:中心对称图形都是旋转对称图形,但旋转对称图形不一定是中心对称图形.
2.成中心对称
把一个图形绕着某一点旋转 ,如果它能够与 重合,那么,我们就说这两个图形成中心对称,这个点叫做 ,这两个图形中的对应点叫做关于中心的 .
180°
对称中心
180°
另一个图形
对称中心
对称点
3.中心对称的性质
在成中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过 ,并且被对称中心 .
反过来,如果两个图形的所有对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形关于这一点成 .
4.中心对称作图
(1)找关键点;(2)作关键点的对称点;(3)顺次连结作的对称点,即得中心对称图形.
对称中心
平分
中心对称
中心对称图形
(1)下列图案中,是中心对称图形的是 ( )
B
[方法点拨] 中心对称图形的关键是寻找对称中心,旋转180°后两部分重合;轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
(2)(2026·重庆育才)下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
B
1.纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
B
2.(2025·河南)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 .(填序号)
①等边三角形;
②直角三角形;
③长方形;
④正五边形;
⑤圆;
⑥平行四边形.
③⑤
中心对称及性质
如图,△ABC与△A‘B’C‘关于点O成中心对称,则下列结论不成立的是 ( )
A.点A与点A'是对称点
B.BO=B'O
C.AB∥A'B'
D.∠ACB=∠C'A'B'
[知识总结] 成中心对称的两个图形,对应线段相等,对应角相等,连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分.
D
3.如图,△ABC与△A'B'C'成中心对称,下列说法不正确的是 ( )
A.S△ABC=S△A'B'C'
B.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'
C.AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'
D.S△ACO=S△A'B'O
D
4.如图,已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,则AO= ,BO= ,CO= ,点A关于对称中心点O的对称点是点 ,点B关于对称中心点O的对称点是点 ,∠ABC=∠ .
DO
EO
FO
D
E
DEF
中心对称作图
如图,点O和△ABC的三个顶点都在方格图的格点上,请画出△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于点O成中心对称.(写出作法)
解:连结AO并延长到点A',使OA'=OA;
同理,作出点B'、C';
连结C'A'、A'B'、B'C',
则△A'B'C'即为所求作的三角形,如答案图所示.
(答案图)
5.如图,已知△ABC与△A'B'C'成中心对称图形,请作出它们的对称中心点O.
解:连结BB'、CC',交点即为对称中心点O.如图所示.
6.如图,在8×8的网格中,点O及△ABC的顶点A、B、C均在网格的格点上.
(2)若△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称,请画出△A2B2C2.
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1,请画出△AB1C1;
解:(1)(2)如图所示.(共18张PPT)
9.1.3 作轴对称图形
1.作点A关于直线l的对称点
(1)过点A作直线l的 ,与l相交于点O;
(2)在垂线上取一点A',使OA'=OA.
2.过一点作已知直线的垂线
(1)如图1,经过已知直线AB上一点C作直线 AB 的垂线.
①作平角∠ACB的平分线CP;
②反向延长射线CP.
直线CP就是所要求作的垂线.
图1
垂线
(2)如图2,经过已知直线AB外一点C作直线AB的垂线.
①以点C为圆心、适当长(大于点C到直线AB的距离)为半径作弧,交直线AB于M、N两点;
②分别以点M、N为圆心,相同长(大于线段MN长的一半)为半径作弧,两弧相交于点P;
③作直线CP.
直线CP就是所要求作的垂线.
图2
3.作已知图形的轴对称图形
方法:
(1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点、角的顶点等);
(2)画——画各个特殊点关于对称轴对称的点;
(3)连——顺次连结各对称点.
注意:作图时要避免“成轴对称的两个图形位于对称轴的两侧”的思维定式.
在格点中作轴对称图形
如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN,点A、B、M、N均在小正方形的顶点上.请在方格纸中画出四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上),使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形,点A的对称点为点D,点B的对称点为点C.
解:答案如图所示.
1.在如图所示的格点中,画出关于虚线对称的图形:
解:答案如图所示.
2.(1)作△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'(不写作法);
解:(1)如答案图所示,△A'B'C'即为所求作.
(2)若网格上的最小正方形的边长为1,求△ABC的面积.
(2)S△ABC=2×3-×1×2-×1×3-×1×2=2.5.
过一点作已知直线的垂线的尺规作图
如图,已知△ABC和△DEF,用直尺和圆规按下列要求作图:(不写作法,保留作图痕迹)
(1)如图1,过点B作BC的垂线;
解:(1)如答案图1,直线BE即为所作.
(答案图1)
(2)如图2,过点E作△DEF的边DF上的高.
(2)如答案图2,EQ即为所作.
(答案图2)
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点C为圆心,CB长为半径作弧交AB于点D,分别以B、D为圆心,大于DB长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,∠CAB=39°,则∠BCF的度数为( )
A.38°
B.39°
C.40°
D.51°
B
4.如图,已知△ABC,过点A作BC边上的高.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
解:如答案图所示,AD即为所求.
(答案图)
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是边AB上一点,请用尺规作图,在AC边上找一点P,使得∠APD=∠B.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如答案图,
点P即为所求作.
(答案图)
作已知图形的轴对称图形
已知:△ABC和过点A的直线MN(如图).
求作:△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于直线MN对称.(写出作法)
解:作法:(1)过点B作BD⊥MN,垂足是D,延长BD到点B',使DB'=BD,得到点B的对称点B';
(2)同理,作点C的对称点C';
(3)因为点A在对称轴MN上,所以点A的对称点A'与点A重合;
(4)连结A'B'、B'C'、C'A'.
则△A'B'C'就是所求作的三角形.
(如答案图所示)
(答案图)
6.如图,分别以直线l为对称轴,将数字作轴对称变换,作出变换后所得的图形.
解:画图略.
7.如图,已知△ABC和直线m、n.
(1)作出△ABC关于直线m对称的△DEF;
解:(1)如答案图,△DEF即为所求作的三角形.
(2)作出△DEF关于直线n对称的△PQR.
(2)如答案图,△PQR即为所求作的三角形.
镜子中的对称
(1)如图,一个人站在平面镜前,则他在镜子里的像是 ( )
B
(2)小明从镜子中看到对面电子钟的示数如图所示,这时的实际时刻应是 .
[思维点拨] 若镜子里是数字电子钟(如题),则使用对称的方式获取正确时间,或从纸的背面看,获取实际时间;若镜子里是指针时钟,可用对称的方式或从背面看,也可以用12:00减去从镜子里看到的时间,获取实际时间.
10:51
8.如图,小芳在镜子里看到镜子对面指针时钟的示数是2:35,现在的实际时间是 .
9:25(共17张PPT)
9.1.2 轴对称的再认识
1.线段和角的对称性
(1)垂直平分线
我们把 并且 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线.
(2)线段是轴对称图形,其对称轴是该线段
的 .
(3)角是轴对称图形,其对称轴是__________________
_______________.
垂直
平分
垂直平分线
这个角的平分线
所在的直线
2.线段垂直平分线的尺规作图
图1
(1)如图1,分别以点A和B为圆心、相同长(大于线段 AB长的一半)为半径作弧,两弧分别相交于点P和点Q;
(2)作直线 PQ.
直线PQ就是所要求作的线段AB的垂直平分线.
3.角平分线的尺规作图
(1)如图2,已知∠AOB,以点O为圆心、任意长为半径作弧,与角的两边分别交于M、N两点;
(2)分别以点M和N为圆心、相同长(大于线段MN长的一半)为半径作弧,在∠AOB内,两弧相交于点P;
(3)作射线OP.
射线OP就是所要求作的∠AOB的平分线.
图2
4.轴对称图形的对称轴及作法
如果一个图形是轴对称图形,那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴.
作法如下:
(1)先找出轴对称图形的任意一组对称点,连结这一组对称点,得到一条线段;
(2)再作出这条线段的垂直平分线,就可以得到该图形的对称轴.
垂直平分线
线段和角的对称性
(1)如图1,△ABC与△A‘B’C‘关于直线MN对称,P为MN上任意一点,连结AP、A’P,下列结论中错误的是 ( )
A.△AA'P是等腰三角形
B.MN垂直平分AA'、CC'
C.△ABC与△A'B'C'的面积相等
D.直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
图1
D
(2)如图2,△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称,AO的延长线交BC于点D.若∠BOD=46°,∠C=20°,则∠ADC= .
图2
72°
1.如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,连结AA'交对称轴l于点M.若∠CAB=50°,∠C'=30°,则下列说法不正确的是( )
A.△ABC与△A'B'C'的周长相等
B.AM=A'M,且AA'⊥l
C.∠B=100°
D.连结BB'、CC',则AA'、BB'、CC'三条线段不仅平行而且相等
D
2.平面上的两条相交直线是轴对称图形,它的对称轴是
.
3.如图,∠A=90°,E为BC上一点,点A和点E关于BD对称,点B和点C关于DE对称,则∠C的度数为 .
两条直线相交所成夹角的平分线所在的直线
30°
线段垂直平分线和角平分线的尺规作图
(1)如图,已知线段AB=8,小高利用尺规作AB的垂直平分线,步骤如下:①分别以点A、B为圆心,以a为半径作弧,两弧相交于C、D两点;②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线.则a的值可能是( )
A.6 B.3
C.2 D.1
A
(2)如图,在△ABC中,∠A>∠B.尺规作图:作∠B的平分线,线段AB的垂直平分线.(要求:保留作图痕迹,不写作法)
解:作图如答案图所示.
(答案图)
4.如图,已知线段AB.按下列步骤作图:①分别以点A和点B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M、N;②作直线MN交线段AB于点C.观察图形,则线段AC、BC满足的等量关系为 .
AC=BC
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,CD⊥AD于点D,∠B=80°.
(1)尺规作图:作∠A的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F;(保留作图痕迹,不写作法)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)在(1)的基础上,求∠CFE的度数.
解:∵CD⊥AD,∴∠D=90°.
∵AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180° .
∵∠B=80°,∴∠BAD=① .
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=② =50°,
∴∠CFE=180°-∠D-∠DAE=③ .
100°
∠BAD
40°
确定轴对称图形的对称轴
画出下面各图所有的对称轴.
解:如图所示.
[规律点拨] 当一个图形的对称轴的条数超过1条时,各对称轴往往交于一点.
6.下列轴对称图形中,可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
7.画出下面各图形所有的对称轴.
解:画图略.(共16张PPT)
9.1.1 生活中的轴对称
1.轴对称图形的概念
如果一个图形沿某条直线对折,对折后的两部分能 ,则这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做这个图形的 .
完全重合
对称轴
2.两个图形成轴对称
把一个图形沿着某一条直线对折,如果它能与另一个图形 ,那么就说这两个图形 ,这条直线叫做 ,两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做 .
注意:成轴对称针对的是2个图形,而轴对称图形只是针对1个图形而言的.
完全重合
成轴对称
对称轴
对称点
3.轴对称图形的性质
由于轴对称图形(或成轴对称的两个图形)沿对称轴对折后的两部分是完全重合的,所以轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段) ,对应角(对折后重合的角) .
相等
相等
轴对称图形
(1)(2026·重庆一中)下列图案中,是轴对称图形的是 ( )
B
(2)下列图形中, 是轴对称图形,其中只有1条对称轴的是 ,有2条对称轴的是 ,有3条对称轴的是 .(只填图形序号)
①②③
①
③
②
1.下列图形中,是轴对称图形的是 ( )
B
2. 下列图形是轴对称图形且对称轴的条数为2的是 ( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
A
3.(2026·成都育才)如图是一个经过改造的台球桌面示意图,该图由相同的小正方形组成,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入 号球袋.
1
两个图形成轴对称
如图所示, 组中右边的图形与左边的图形成轴对称.
D和F
4.如图所示的图形中,成轴对称的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
5.下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片,从对称美的角度看,拍得最成功的是 ( )
B
轴对称(图形)的性质
如图,△ABC与△A‘B’C‘关于直线l对称,且∠A=78°,∠C’=48°,则∠B的度数为 ( )
A.48° B.54° C.74° D.78°
[知识总结] 轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应角相等、对应线段相等,注意确定对应顶点、对应边和对应角,利用此性质可以求出未知的线段或角.
B
6.如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,
∠BAD=150°,∠D=∠B=40°,则∠ACB的度数是 ( )
A.130° B.65°
C.60° D.70°
B
7.如图,四边形ABCD是轴对称图形,BD所在直线是它的对称轴,AB=3.1 cm,CD=2.3 cm.则四边形ABCD的周长为 cm.
10.8
8.如图,将长方形ABCD沿EF翻折,使得点D落在AB边上的点G处,点C落在点H处.若∠1=32°,则∠2= .
106°
