21.3.3第2课时 正方形的判定 培优练习（含答案）2025-2026学年人教版八年级数学下册

第2课时 正方形的判定
易错点睛
要使一个平行四边形变成正方形，需要增加的条件是( )
A.对角线相等 B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
A 基础题夯实
知识点 正方形的判定
1.(2025 福州)在四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°,若再添加一个条件可使四边形 ABCD是正方形，则此条件是( )
A.∠D=90° B. AB=CD C. BC=CD D. AD=BC
2.下列条件中，能使菱形 ABCD 为正方形的是( )
A. AB=AD B. AB⊥BC C. AC⊥BD D. AC 平分∠BAD
3.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,E,F 分别是边AB,AC的中点，则四边形 AEDF 是 ；当△ABC 满足条件 (仅填写一个条件即可)时，四边形 AEDF 是正方形.
4.(2025 乐山中考)如图,在 ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形 ABCD 是正方形，现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是 (只需填一种组合即可).
5.如图,在正方形 ABCD 中,AC,BD 交于点O,DE∥AC,CE∥BD.求证:四边形 OCED 是正方形.
6.(2025 鄂州)如图,等边△AEF 的顶点E,F 分别在矩形ABCD 的边 BC,CD 上,且∠CEF=45°.求证:矩形 ABCD 是正方形.
B中档题运用
7.如图,E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的边AB,BC,CD,AD的中点.对于四边形ABCD 的两条对角线AC,BD:(1)满足条件 时,四边形 EFGH 是菱形;(2)满足条件 时，四边形 EFGH 是矩形；(3)满足条件 时，四边形EFGH 是正方形.
8.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,分别延长OA,OC 到点E,F,使.AE=CF,依次连接 B,F,D,E 各点.
(1)求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2)若 则∠EBA 的度数为_____ 时，四边形 BFDE 是正方形，请说明理由.
C综合题探究
9.(2025武昌)如图,F 为菱形ABCD 内一点,AB=AF,,AE 平分 交BF 的延长线于点 连接DE,CE.
(1)求证:四边形ABCD 为正方形;
(2)求 的值.
第2课时 正方形的判定
易错点睛
要使一个平行四边形变成正方形，需要增加的条件是(B)
A.对角线相等 B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
A基础题夯实
知识点 正方形的判定
1.(2025福州)在四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°,若再添加一个条件可使四边形ABCD是正方形，则此条件是(C)
A.∠D=90° B. AB=CD C. BC=CD D. AD=BC
2.下列条件中，能使菱形ABCD 为正方形的是(B)
A. AB=AD B. AB⊥BC C. AC⊥BD D. AC平分∠BAD
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,E,F 分别是边AB,AC的中点,则四边形 AEDF 是 菱形 ;当△ABC 满足条件 ∠BAC=90°或∠B=45°(答案不唯一)(仅填写一个条件即可)时,四边形 AEDF 是正方形.
4.(2025 乐山中考)如图,在 ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形 ABCD 是正方形，现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是 ①②或①③ (只需填一种组合即可).
5.如图,在正方形 ABCD 中,AC,BD 交于点O,DE∥AC,CE∥BD.求证:四边形OCED 是正方形.
证明:∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED 是平行四边形。
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OC=OD,OC⊥OD,
∴四边形OCED 为正方形.
6.(2025 鄂州)如图,等边△AEF 的顶点E,F 分别在矩形ABCD 的边 BC,CD 上,且∠CEF=45°.求证:矩形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠CFE=∠CEF=45°,
∴∠B=∠D=∠C=90°. ∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,
∵△AEF 是等边三角形， ∴△AEB≌△AFD(AAS),
∴AE=AF, ∴AB=AD,
∠AEF=∠AFE=60°. ∴矩形ABCD 是正方形.
∵∠CEF=45°,
B 中档题运用
7.如图,E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的边AB,BC,CD,AD 的中点.对于四边形 ABCD 的两条对角线AC,BD:(1)满足条件AC=BD 时,四边形 EFGH 是菱形;(2)满足条件 AC⊥BD 时,四边形EFGH 是矩形;(3)满足条件 AC=BD 且AC⊥BD 时,四边形 EFGH 是正方形.
8.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,分别延长OA,OC 到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E 各点.
(1)求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2)若∠ABC=50°,则∠EBA 的度数为 20° 时,四边形 BFDE 是正方形,请说明理由.
解:(1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴BD⊥AC,OB=OD,
OA=OC.
又∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
∵BD⊥EF,
∴BEDF 是菱形;
(2)20°,理由如下:∵四边形ABCD 是菱形,
∵∠EBA=20°,
∴∠EBO=45°.
在菱形 BEDF 中,∠EBO=∠FBD=45°,
∴∠EBF=90°,
∴菱形 BEDF 是正方形.
C 综合题探究
9.(2025武昌)如图,F 为菱形ABCD 内一点,AB=AF,AE 平分∠DAF 交BF 的延长线于点E,∠AEB=45°,连接 DE,CE.
(1)求证:四边形 ABCD 为正方形;
(2)求 的值.
解:(1)方法一 设∠DAE=∠EAF=α,则∠AFB=∠EAF+∠AEB=α+45°,
∵AB=AF,
∴∠ABF=∠AFB=α+45°,
∴∠FAB=180°-2(α+45°)=90°-2α,
∴∠DAB=∠DAF+∠FAB=90°;
∴菱形ABCD 为正方形.
方法二 过点A 作AM⊥BE 于点 M.
∵AB=AF,∠AEB=45°,
∴∠BAM=∠FAM,∠EAM=45°.
∵AE 平分∠DAF,
∴∠DAE=∠EAF,
∴∠DAB =2∠EAF+2∠FAM
=2∠EAM=90°,
∴菱形ABCD 为正方形;
(2)∵四边形ABCD 为正方形,
∴AD=AB=AF,
∵∠DAE=∠EAF,AE=AE,
∴△DAE≌△FAE,
∴∠DEA=∠AEB=45°,
过点 D 作 DN⊥DE 交AE 于点 N,
∵∠DEA=45°,∴DN=DE,
∵∠ADC=∠NDE=90°,
∴∠ADN=∠CDE,
∵AD=DC,
∴△AND≌△CED,
∴AN=EC,