21.3.3第1课时 正方形及其性质 培优练习（含答案）2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3 正方形
第1课时 正方形及其性质
易错点睛
(武汉中考改编)以正方形ABCD 的边CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数为 .
【点睛】分点 E 在正方形内和正方形外两种情况.
A 基础题夯实
知识点 利用正方形的性质计算与证明
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线平分一组对角 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.(2025 黄冈)如图,四边形 ABCD 为正方形.△ADE 为等边三角形,EF⊥AB 于点F,若AD=4,则 EF 的长为 .
3.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧,交 AC 于点E,若OA=1,则OE 的长为 .
4.如图,F 是正方形ABCD 的对角线 BD 上一点,连接AF,CF,延长 CF 交AD 于点 E.若∠AFB=70°,则∠DEC 的度数为 .
5.(2025浙江中考)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点 E 在对角线 BD 上.
【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程；
(2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数.
6.如图,四边形ABCD 是正方形,G为AD 上一点,CE⊥BG 于点E,DF⊥CE 于点F.
(1)求证:△CBE≌△DCF; (2)求证:DF=BE+EF.
B中档题运用
7.(2025襄阳)如图,已知正方形 ABCD,E,F 分别为边 BC,AB 上的点, 若AF=2,CE=3,,则 DE 的长是 .
8.如图,E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点, ，垂足分别是 F，G，若CG=4,CF=3,,则 AE 的长为 .
9.如图,在正方形ABCD 中,对角线AC与BD 相交于点O,E 为边 BC上一点,过点O作 交CD 边于点 F,若AB=4,则四边形OECF 的面积为 .
10.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,AC 交BE 于点F.
(1)求∠AFE 的度数;
(2)求证:EF=BF+AF.
综合题探究
11.如图,E 为正方形ABCD 的边BC上一点,EP⊥AE,且EP=AE,连接CP.
(1)求∠PCE 的度数;
(2)连接AP 与BD 交于点 H.
①求证:H 是AP 的中点;
②直接写出 BH，CP，DH 之间的数量关系为 .
21.3.3 正方形
第1课时 正方形及其性质
易错点睛
(武汉中考改编)以正方形 ABCD 的边 CD 为边作等边△CDE,则∠AED 的度数为 15°或 75° .
【点睛】分点 E 在正方形内和正方形外两种情况.
A基础题夯实
知识点 利用正方形的性质计算与证明
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(D)
A.对角线平分一组对角 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.(2025 黄冈)如图,四边形 ABCD 为正方形.△ADE 为等边三角形,EF⊥AB 于点F,若AD=4,则 EF 的长为 2 .
3.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作弧,交AC 于点E,若OA=1,则OE 的长为
4.如图,F 是正方形ABCD 的对角线 BD 上一点,连接AF,CF,延长 CF 交AD 于点 E.若∠AFB=70°,则∠DEC 的度数为 65° .
5.(2025 浙江中考)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点 E 在对角线BD 上.
【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程；
(2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数.
解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD,又∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS);
(2)∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵DE=DA,
∴∠DAE=∠DEA,
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
6.如图,四边形ABCD 是正方形,G为AD 上一点,CE⊥BG 于点E,DF⊥CE 于点F.
证明:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,
CF=BE,CE=DF,
∵CE=EF+CF,
∴DF=BE+EF.
B 中档题运用
7.(2025襄阳)如图,已知正方形 ABCD,E,F 分别为边BC,AB 上的点,DE⊥CF,若AF=2,CE=3,则 DE 的长是 .
8.如图,E 是正方形ABCD 的对角线 BD 上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F,G,若CG=4,CF=3,则AE 的长为 5 .
9.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,E为边 BC上一点,过点O作OF⊥OE交 CD 边于点 F,若AB=4,则四边形OECF 的面积为 4 .
10.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,AC 交BE 于点F.
(1)求∠AFE 的度数;
(2)求证:EF=BF+AF.
解:(1)易求
(2)在 FE 上截取FM=FA.
为等边三角形，易证
C 综合题探究
11.如图,E 为正方形ABCD 的边BC上一点,EP⊥AE,且EP=AE,连接CP.
(1)求∠PCE 的度数;
(2)连接AP 与BD 交于点 H.
①求证:H 是AP 的中点;
②直接写出BH,CP,DH 之间的数量关系为 BH=CP+DH .
证明:(1)在AB 上截取BF=BE,连接EF.由正方形 ABCD 得∠ABC=90°,AB=BC,
∵BE=BF,
∴AF=EC,∠BFE=∠BEF=45°,
∴∠AFE=135°.
∵EP⊥AE,
∴∠AEP=90°=∠ABC,
∴∠BAE+∠AEB=∠PEC+∠AEB,
∴∠BAE=∠PEC,
∵AE=EP,
∴△AEF≌△EPC,
∴∠PCE=∠AFE=135°;
(2)①过点 P 作PM∥BC 交BD 于点 M.在正方形ABCD 中,∠DBC=45°,
∴∠DBC+∠PCB=180°,
∴PC∥BD.
∵PM∥BC,
∴四边形 BMPC 为平行四边形，
∴BM=PC,PM=BC=AD.
∵PM∥BC,AD∥BC,
∴PM∥AD,
∴∠DAH=∠HPM,∠ADH=∠PMH,
∴△ADH≌△PMH,
∴AH=PH,即H 为AP 的中点;
②BH=CP+DH.
由①得△ADH≌△PMH,
∴DH=MH,
∴BH=BM+MH=CP+DH.