21.3.2第2课时 菱形的判定 培优练习（含答案）2025-2026学年人教版八年级数学下册

第2课时 菱形的判定
易错点睛
顺次连接矩形四边的中点所得的四边形必定是 .
【点睛】矩形的对角线相等.
A 基础题夯实
知识点1 利用菱形的定义判定菱形
1.(2025 黄石)如图,下列选项中能使 ABCD 成为菱形的是( )
A. AB=CD B. AB=BC C.∠BAD=90° D. AC=BD
2.如图，AD 是△ABC 的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE 是菱形的是( )
A. AB=AE B.∠DAE=90° C. AB=AC D.∠BAC=90°
3.(2025 黄浦区)如图，将△ABC 沿着BC 方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是 .(写出一个即可)
4.如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED 是菱形;
(2)若 BC=3,DC=2,求四边形OCED 的面积.
知识点2 利用对角线的特征判定菱形
5.如图, ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( )
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD
C. AC⊥BD D.
知识点3 利用边的特征判定菱形
6.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,E,F 分别是AB,AC 的中点,当△ABC 满足 时,四边形 AEDF 是菱形.(填一个正确的即可)
B 中档题运用
7.已知E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的边AB,BC,CD,AD 的中点,当四边形 ABCD 的对角线满足 时，四边形 EFGH 为菱形.
8.(2025大庆中考)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,对角线 AC 与BD 相交于点O.点 B,点D 关于AC 所在直线对称.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)过点 D 作BC 的垂线交BC 延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC 长.
9.(2025 徐州中考改编)如图，四边形 ABCD 是平行四边形.
(1)尺规作图：作菱形AECF，点 E，F 分别在边AD，BC上；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证:四边形 AECF 是菱形;
(3)若 判断AB 和EF 的位置关系，并说明理由.
C 综合题探究
10.如图,在 ABCD 中,CA 平分∠DCB,F为AC 延长线上一点,连接DF,BF.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)若∠FDC=20°,∠DFC=50°,CH⊥DF 于点H,HC 的延长线交AB 于点M.
①求证:CA=CM;②求 的值.
第2课时 菱形的判定
易错点睛
顺次连接矩形四边的中点所得的四边形必定是 菱形 .
【点睛】矩形的对角线相等.
A基础题夯实
知识点1 利用菱形的定义判定菱形
1.(2025 黄石)如图,下列选项中能使 ABCD 成为菱形的是(B)
A. AB=CD B. AB=BC C.∠BAD=90° D. AC=BD
2.如图，AD 是△ABC 的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE 是菱形的是(D)
A. AB=AE B.∠DAE=90° C. AB=AC D.∠BAC=90°
3.(2025 黄浦区)如图，将△ABC 沿着BC 方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是 AB=AD .(写出一个即可)
4.如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形 OCED 是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形 OCED 的面积.
解:(1)∵DE∥AC,CE∥BD, (2)∵四边形ABCD 是矩形,
∴四边形 OCED 是平行四边形. ∴OB=OD,∠BCD=90°,
∵四边形 ABCD 是矩形, ∵BC=3,DC=2,
∴四边形 OCED 是菱形;
知识点2 利用对角线的特征判定菱形
5.如图, ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是(D)
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD
C. AC⊥BD D.
知识点3 利用边的特征判定菱形
6.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,E,F 分别是AB,AC 的中点,当△ABC 满足 AB=AC 时,四边形 AEDF 是菱形.(填一个正确的即可)
B中档题运用
7.已知E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的边AB,BC,CD,AD 的中点,当四边形 ABCD 的对角线满足 AC=BD 时,四边形 EFGH 为菱形.
8.(2025大庆中考)如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,对角线 AC 与BD 相交于点O.点 B,点D 关于AC 所在直线对称.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)过点 D 作BC 的垂线交BC 延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC 长.
解:(1)∵点 B,点 D 关于AC 所在直线对称，
又∵AB∥CD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵BD⊥AC,
∴四边形 ABCD 是菱形;
(2)由(1)得四边形ABCD 是菱形,
9.(2025徐州中考改编)如图，四边形ABCD 是平行四边形.
(1)尺规作图：作菱形AECF，点 E，F 分别在边AD，BC上；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证:四边形 AECF 是菱形;
(3)若. 判断AB 和EF 的位置关系，并说明理由.
解:(1)如图,四边形AECF 即为所求;
(2)由作法知，EF 为AC 的垂直平分线，∴AE=EC,AF=FC.
设AC与EF 交于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠EAC=∠ACF.
∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,
∴AE=FC,∴AE=EC=AF=FC,
∴四边形AECF 为菱形;
(3)结论:AB∥EF. :
理由如下：
∵AB=2,AC=2 BC=4,
∴AB⊥AC.
∵四边形AECF 是菱形,
∴EF⊥AC,
∴AB∥EF.
C 综合题探究
10.如图,在 ABCD中,CA 平分∠DCB,F为AC延长线上一点,连接DF,BF.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)若∠FDC=20°,∠DFC=50°,CH⊥DF 于点H,HC 的延长线交AB 于点M.
①求证:CA=CM;②求 的值.
解:(1)由 ABCD,得CD∥AB,
∴∠DCA=∠CAB.
∵CA 平分∠DCB,
∴∠BCA=∠DCA=∠CAB,
∴CB=AB,
∴四边形ABCD 是菱形;
(2)①∠DCA=∠FDC+∠DFC=70°.
∵CH⊥DF,
∴∠HCD=90°-∠FDC=70°,
∴∠DCA=∠HCD.
∵AB∥CD,
∴∠HCD=∠CMA,
∠DCA=∠CAM,
∴∠CAM=∠CMA,
∴CA=CM;
②连接DB,交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴DB⊥AC,AC=2OC,
∵CH⊥DF,∴CH=CO,