21.3.1第1课时 矩形及其性质 培优练习（含答案）2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.1 矩形
第1课时矩形及其性质
易错点睛
矩形一个内角的平分线将矩形的一边分为长为1和3两部分，则这个矩形的面积为_____ .
【点睛】应讨论1和3的两种不同情形.
A基础题夯实
知识点1 矩形的性质
1.在矩形 ABCD 中,AC,BD 相交于点O,下列说法错误的是( )
A.∠ABC=90° B. AC=BD C. OA=AB D. OA=OB
2.(2025绥化中考)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是( )
A.25 B. C. D.
3.在矩形ABCD 中,AC,BD 交于点O,∠BOC=120°,DC=4cm,则AC 的长为_____ cm.
4.如图,在矩形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,AB=AO,以点 A 为圆心,AO 的长为半径作弧,交 AD 于点 E,连接OE,则∠DOE 的度数为 .
5.(2025吉林中考)如图,在矩形ABCD 中,点 E,F 在边 BC 上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)当AB=12,DF=13时,求 BE 的长.
知识点 2 直角三角形斜边上的中线
6.(2025福建中考)某房梁如图所示,立柱AD⊥BC,E,F 分别是斜梁AB,AC 的中点.若AB=AC=8m,则 DE 的长为 m.
7.(教材P T 改编)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,∠ACD=3∠BCD,E 是AB 的中点.
(1)求∠A 的度数;
(2)求证:
B中档题运用
8.(2025扬州中考)如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB,BC 的中点,点 F 在DE 的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则 DF 的长是 .
9.如图,延长矩形ABCD 的边 BC 至点E,使CE=BD,若∠E=20°,则∠ADB 的度数为 .
10.如图,在矩形ABCD 中,AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E,∠CAE=15°.下列结论:①△AOB 是等边三角形；(②S△AOE=S△COE;③∠AOE=135°;④BC=2AB.其中结论正确的序号是 .
11.(2025江岸期末改编)如图，在矩形ABCD 中，E是对角线DB 的延长线上的一点，连接AE，∠AEB=2∠CBD.
(1)求证:BD=2AE;
(2)若∠CBD=22.5°,BD=2,求 BE 的长.
C 综合题探究
12.(武汉中考改编)在四边形ABCD 中,∠DCB=90°,AD∥BC,E为AB 的中点,F 为BC 上一点,AD=2CF. EF 与BD 交于点G.
(1)如图1，当四边形ABCD 为矩形时，求证：
(2)如图2,当AD21.3.1 矩形
第1课时矩形及其性质
易错点睛
矩形一个内角的平分线将矩形的一边分为长为1和3两部分，则这个矩形的面积为 4或12 .
【点睛】应讨论1和3的两种不同情形.
A基础题夯实
知识点1 矩形的性质
1.在矩形 ABCD 中,AC,BD 相交于点O,下列说法错误的是(C)
A.∠ABC=90° B. AC=BD C. OA=AB D. OA=OB
2.(2025绥化中考)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是(B)
A.25 B. C. D.
3.在矩形ABCD 中,AC,BD 交于点O,∠BOC=120°,DC=4 cm,则AC 的长为 8 cm.
4.如图,在矩形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,AB=AO,以点 A 为圆心,AO 的长为半径作弧,交AD 于点E,连接OE,则∠DOE 的度数为 45° .
5.(2025吉林中考)如图,在矩形ABCD 中,点E,F 在边 BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1)求证:△ABE≌△DCF;
(2)当AB=12,DF=13时,求 BE 的长.
解:(1)在矩形ABCD 中,AB=CD, (2)由(1)知△ABE≌△DCF,
∠B=∠C=90°, ∴AE=DF=13,
∵∠BAE=∠CDF, ∵AB=12,
∴△ABE≌△DCF(ASA);
知识点2 直角三角形斜边上的中线
6.(2025福建中考)某房梁如图所示,立柱AD⊥BC,E,F分别是斜梁AB,AC 的中点.若AB=AC=8m,则 DE 的长为 4 m.
7.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,∠ACD=3∠BCD,E 是AB 的中点.
(1)求∠A 的度数;
(2)求证:
解:(1)∵∠BCD+∠ACD =∠A +∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠A,
∴∠A+3∠A=90°,
∴∠A=22.5°;
(2)连接CE,
∴CE=AE=BE,
∴∠CED=2∠A=45°,
B中档题运用
8.(2025 扬州中考)如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB,BC 的中点,点 F 在DE 的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则 DF 的长是 6 .
9.如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使CE=BD,若∠E=20°,则∠ADB 的度数为 40° .
10.如图,在矩形ABCD 中,AE平分∠BAD 交 BC 于点 E,∠CAE=15°.下列结论:①△AOB 是等边三角形;②S△AOE=S△COE;③∠AOE=135°;④BC=2AB.其中结论正确的序号是 ①②③ .
11.(2025 江岸期末改编)如图,在矩形ABCD 中,E 是对角线DB 的延长线上的一点,连接AE,∠AEB=2∠CBD.
(1)求证:BD=2AE;
(2)若∠CBD=22.5°,BD=2,求 BE 的长.
解:(1)连接AC 交 BD 于点O,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AC=BD,BO=DO=CO=AO,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠AOB = ∠OBC + ∠OCB =
2∠OBC=∠AEB,
∴AE=AO,
∵BD=AC=2AO,
∴BD=2AE;
(2)∵∠CBD=22.5°,
∴∠AEB=45°,
由(1)得AE=AO,
∴△AEO 为等腰直角三角形，
∵BD=2,
∴AE=AO=1,EO=
∵BO=AO=1,
∴BE=EO-BO= -1.
C 综合题探究
12.(武汉中考改编)在四边形ABCD 中,∠DCB=90°,AD∥BC,E为AB 的中点,F 为BC 上一点,AD=2CF. EF 与BD 交于点G.
(1)如图1,当四边形ABCD 为矩形时,求证:
(2)如图2,当AD解:(1)连接AC.
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AC=BD,AD=BC,
∵AD=2CF,AD=BC,
∴BC=2CF,
∴BF=CF.
∵E 为AB 的中点,
∴EF 为△ABC 的中位线,
(2)仍然成立.理由:取 BD 的中点M,连接EM,MC.
∵E 为AB 的中点,
∴EM∥AD,AD=2EM.
∵AD=2FC,AD∥BC,∴EM∥FC,EM=FC,
∴四边形EMCF 为平行四边形,∴EF=MC,
∵∠DCB=90°,M 为BD 的中点,