第八章《立体几何初步》单元基础训练卷 （含解析） 2025~2026学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

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第八章《立体几何初步》单元基础训练卷 （含答案解析）
一、选择题

1.若有平面与，且，则下列命题中的假命题为（ ）
A.过点且垂直于的直线平行于
B.过点且垂直于的平面垂直于
C.过点且垂直于的直线在内
D.过点且垂直于的直线在内

2.根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A.不相交的直线是平行直线
B.经过两条平行直线有且只有一个平面
C.不共线的三点确定一个平面
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点

3.点在平面的射影为，且、、两两垂直，那么是的（ ）
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

4.在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是
A. B.
C.平面 D.平面平面

5.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）
A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交

6.已知圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.

7.已知，，是条不同的直线，是个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若则 D.若，则

8.直线，则“”是“”的（ ）条件
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题

9.已知 是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则

10.已知四棱锥的底面为正方形，底面，，平面过点且与侧棱，，的交点分别为，，，若直线平面，则（ ）
A.直线平面 B.直线直线
C.直线与平面所成的角为 D.截面四边形的面积为

11.如图，在三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱，交于，，若，则下列结论正确的是（ ）
A.三棱锥的外接球的表面积为
B.平面
C.
D.若为的中点，则与所成角的余弦值为

12.如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，又称这样的半正多面体为二十四等边体．如图2，现有一个边长为的二十四等边体，则关于该二十四等边体说法正确的是（ ）
A.该二十四等边体的表面积为
B.共有条棱所在直线与直线异面，且所成角为
C.任意两个有公共顶点的三角形所在平面的夹角余弦值均为
D.该二十四等边体的外接球的体积为
三、填空题

13.在正方体中，棱，的中点分别为，，则异面直线与所成角的度数为 ．

14.如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：①平面平面；
②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；
④点的轨迹的长度为；
其中所有正确结论的序号是 ．

15.已知是球的直径，，，是球面上两点，，，与平面所成的角为，则四面体的体积为_______________.

16.如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____．
四、解答题

17.若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是（ ）
A.至少与，中一条相交
B.至多与，中一条相交
C.至少与，中一条平行
D.必与，中一条相交，与另一条平行

18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面
（1）求的长；
（2）求三棱锥的体积.

19.如图，在正方体中，，点在棱上，且
（1）求三棱锥的体积；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（3）求二面角的余弦值.

20.在棱长为的正方体中，是的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小的正弦值．

21.如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心，是圆上一点．已知，．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．

22.如图，在一个圆锥内挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），已知正三棱柱的侧面落在圆锥的底面上，且该正三棱柱的底面边长为，高为
（1）求挖掉的正三棱柱的体积；
（2）求该几何体的表面积．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
判断线面是否垂直
线面关系有关命题的判断
【解析】
根据线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可
【解答】
中：在平面内作直线，则由面面垂直性质定理可知，
则过点且垂直于的直线一定平行于直线，故正确；
中：由题意和面面垂直的判定定理知，选项正确；
中：由题意和面面垂直的性质定理知，选项正确；
中：过点且垂直于的直线有可能在平面内，也可能与平面相交，不正确；
故选：．
2.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
平面的基本性质及推论
棱台的结构特征
【解析】
利用空间直线的位置关系判断；利用平面基本事实判断；利用棱台的定义判断作答．
【解答】
解：对于，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，错误；
对于，两条平行直线确定一个平面，正确；
对于，不共线的三点确定一个平面，正确；
对于，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，正确．
故选：．
3.
【答案】
C
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
根据题意画出图形,如图是所在平面外一点,是点在平面上的射影．然后利用线面的位置关系进行判定即可.
【解答】
如图，
若、、两两互相垂直，
可得平面，平面，平面，由此可证得，，，即此时点是三角形三边高的交点，故此时点是三角形的垂心.
故选：
4.
【答案】
C
【考点】
平面与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
对于，连接，如下图所示：
因为分别是棱的中点，所以，
由正方体性质可得，因此可得，而相交，
所以错误，即错误；
对于，取的中点，连接，如下图所示：
易知，，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）；
不妨设正方体的棱长为，则，，
显然，可知不是直角，所以与不垂直，即错误；
对于，连接，如下图所示：
由正方体性质可得平面，而平面，所以；
因为是正方形，所以，
又，平面，所以平面,
又因为分别是棱的中点，所以
可得平面，即正确；
对于，如下图所示：
易知平面，且，而平面，所以平面；
因此可得平面与平面有公共点，可知两平面必有一条过的共公交线；
因此平面平面是错误的，即错误.
故选：
5.
【答案】
D
【考点】
异面直线的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
如图所示，，是异面直线，，都与，相交，，相交；
，都与，相交，，异面，
假设，平行，则，确定一平面，不妨设为，则，，∴ ；
同理，，∴ ，这与，是异面直线矛盾，
故分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是异面或相交．
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
圆锥表面积的有关计算
【解析】
运用圆锥侧面积公式计算即可．
【解答】
解：如图所示，
设圆锥的半径为，母线为，
由题意知，，
在中，，
所以，
所以圆锥侧面积为
故选：．
7.
【答案】
C
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
对于，由，在同一个平面可得，在空间不成立，故错误；
对于，由面面垂直的性质定理知缺少“ ”，故错误；
对于，若，则，故正确；
对于，当三个平面 两两垂直时，结论错误，故错误．
故选．
8.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
两条直线平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】解：①充分性：当时， ，
所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；
②必要性： ，当时，
则，解得： 或,
当时，两直线重合，所以舍去，
当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要．
所以“”是"”的充要条件，
故选：．
二、多选题
9.
【答案】
A,D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：选项，若, ，则，又，则，正确；
B选项，若 ，只有与相交，才能得出，错误；
C选项，若, ，则，可能平行也可能异面，错误；
D选项，由面面垂直的性质定理可知，正确．
故选．
10.
【答案】
A,B
【考点】
直线与平面平行
直线与平面垂直
直线与平面所成的角
空间中直线与平面之间的位置关系
平面的基本性质及推论
【解析】
利用线面垂直的性质及中位线即有，根据线面平行的判定判断；由面及线面垂直性质判断；根据线面角的定义找到直线与平面所成角的平面角，进而求其大小判断；根据线面垂直的判定及性质证、，利用三角形相似得到相关比例，进而求出，，即可得四边形的面积判断
【解答】
解：由底面，底面，则，
由的底面为正方形，则，
又，，面，故面，
因为面，故，
由平面过点且与侧棱，，的交点分别为，，，若直线平面，
所以，易得平面，可得，
又，所以平面，，
又，所以为中点，同理可得为中点，
故，
因为平面，平面，故面，正确；
因为面，则面，面，所以，正确；
由平面，即面，故为直线与平面所成角的平面角，
因为面，则，而，
因为底面，则，所以，
综上，，故，则，
显然，不为，错误；
因为底面，则，又，
由，，面，所以面，
而面，故，
由面，则，故，即，
同理可证：，而，则，
由上知：，则，即，
综上，中有，则，
所以截面四边形的面积为，错误．
故选：
11.
【答案】
B,D
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行的判定
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
对于，因为，所以，则，同理
边中点到点，，，距离相等，所以为三棱锥外接球的直径，则
所以三棱锥外接球的表面积，故选项错误；对于，因为，过的平面，由线面平行的性质可得： ，故选项正确；对于，
如图，取的中点，连接，，，
因为平面平面，且平面平面，
又，所以 平面，
所以平面，因为平面，所以
又因为，所以，
因为，所以为正三角形，要使，则一定是的中点，
题中并没有说明是的中点，故选项错误；
对于，因为为的中点，所以且，
所以（或其补角）即为与所成的角．
由选项分析得：平面，又平面，
所以，因为 ，，
所以，在中，
，
所以与所成的角的余弦值为，故选项正确，故选．
12.
【答案】
A,C,D
【考点】
二面角的平面角及求法
异面直线及其所成的角
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
球内接多面体
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】由题该二十四等边体是由个边长为的正三角形和个边长为的正方形构成，所以表面积，故正确；
在与相交的条棱中，与所成的角是的棱有条，
又这条棱中，每一条棱都有条平行的棱，故与所成的角是的棱共有条，故错误；
由图知，设任一三角形所在平面与正方形的底面所成角为，则易得
由对称性可知任意两个三角形所在平面的夹角均为
，故正确；
该二十四等边体的外接球球心即为原正方体的中心，半径为球心到任一顶点的距离，
易得原正方体边长为，所以外接球半径.
所以体积，故正确．
三、填空题
13.
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
利用中位线定理可得，再利用平行四边形的性质可得，从而可得，再利用正方形的性质可得，进而求得答案．
【解答】
解：因为棱，的中点分别为，，所以，
因为且，所以四边形是平行四边形，
所以，则
因为四边形是正方形，所以，则
所以异面直线与所成角的度数为
故答案为：
14.
【答案】
①②④
【考点】
平面与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
①由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当面时最大，求其最大值；④确定的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【解答】
对于①：由，，为边的中点知且，易知，，而，面，
故面，又面，所以面面，故①正确；
对于②：若是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，即为平行四边形，
故，所以与的夹角为或其补角，
若为中点，即，由①分析易知，
故与的夹角为，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，
此时，故③错误；
对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同，
由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，
故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为，故④正确.
故答案为：①②④.
15.
【答案】
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
平面与平面垂直的判定
【解析】
取中点，由已知可证平面平面，得，解得，由求出体积即可.
【解答】
球的半径为，，为等边三角形，
取中点，连接，如图所示，
则，由与，平面，，所以平面，
平面，则有平面平面，
平面平面，故即与平面所成线面角，即，
，
故答案为：
16.
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
取的中点，连接，，即可得到即为异面直线与所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，即可得解；
【解答】
解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，
所以且，且，
所以即为异面直线与所成的角或其补角，
又，，，
所以，，所以，所以，
所以为等腰直角三角形，所以；
故答案为：．
四、解答题
17.
【答案】
A
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此种类型的题可以通过举反例判断正误．
【解答】
解：因为，为两条异面直线且，，，所以与共面，与共面．
若与、都不相交，则，，，与、异面矛盾，故对；
当、为如图所示的位置时，可知与、都相交，故、、错．
故选：．
18.
【答案】
【考点】
平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的性质
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）由于平面，平面，平面平面，所以，由于是中点，所以是的中点，
平面平面，且两平面交线为，
又，，故，平面，
由面面垂直的性质知平面，平面，故，
由于底面是菱形，，，故,
所以,
因此
（2）由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，所以
19.
【答案】
存在，
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
平面与平面平行的性质
直线与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）过作，垂足为，可得中为高，求出高和底面，进而可得体积；
（2）假设在线段上存在点，使得平面，取的三等分点，得到面面，取的三等分点（靠近），再通过线面平行的性质得到，进而可得的位置；
（3）延长交于点，作，垂足为，连接可得为二面角的平面角，在中求解即可.
【解答】
（1）解：过作，垂足为，
因为，所以面即面
明显面，
所以面，
又，，
所以
（2）假设在线段上存在点，使得平面，
取的三等分点，使，则四边形是平行四边形，
所以，又面，面，
所以面，又面，，
所以面面，又面，
所以面，
取的三等分点（靠近），则，
所以面面，又面，面，
所以，又为的中点，
所以；
（3）延长交于点，作，垂足为，连接，则面，
从而，
所以为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以
20.
【答案】
解：取的中点，连接、，如图，
在正方体中，是的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角即为直线与所成的角，
在棱长为的正方体中 ，是的中点，是的中点，
所以，，
在中，，
所以直线与所成角的余弦值；
延长、交于点，作于，连接，如图，
在正方体中，平面，，平面，
所以，，
又，，所以平面，
由平面，可得，
所以即为二面角的平面角，
由可得，，
所以，
所以，
所以,
所以二面角的正弦值为
【考点】
二面角的平面角及求法
异面直线及其所成的角
【解析】
（1）取的中点，连接、，由正方体的几何特征结合平面几何的知识可得，进而可得或其补角即为直线与所成的角，再由余弦定理即可得解；
（2）延长、交于点，作于，连接，由正方体的几何特征及线面垂直的判定与性质可得，进而可得即为二面角的平面角，即可得解．
【解答】
（1）解：取的中点，连接、，如图，
在正方体中，是的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角即为直线与所成的角，
在棱长为的正方体中 ，是的中点，是的中点，
所以，，
在中，，
所以直线与所成角的余弦值；
（2）延长、交于点，作于，连接，如图，
在正方体中，平面，，平面，
所以，，
又，，所以平面，
由平面，可得，
所以即为二面角的平面角，
由可得，，
所以，
所以，
所以,
所以二面角的正弦值为
21.
【答案】
解：由题意知是圆柱的一条母线，过底面圆心，且，
可得圆柱的底面圆的半径为，
则圆柱的底面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆柱的表面积为；
的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积是：
分别以、为母线，，为底面圆半径的圆锥的体积之差，
所以以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为：
．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
（1）根据题意，结合圆的面积和圆柱的侧面积公式，即可求解；
（2）根据线段绕旋转一周所得几何体为以为底面半径，以为高的圆锥，线段绕旋转一周所得的几何体为为底面半径，以为高的圆锥，结合圆锥的体积公式，即可求解．
【解答】
（1）解：由题意知是圆柱的一条母线，过底面圆心，且，
可得圆柱的底面圆的半径为，
则圆柱的底面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆柱的表面积为；
（2）的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积是：
分别以、为母线，，为底面圆半径的圆锥的体积之差，
所以以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为：
．
22.
【答案】
解：（）因为正三棱柱 的底面边长为，高为，
则，
所以正三棱柱的体积．
在正三棱柱中，由（）知，,
，
设圆锥的底面圆圆心为，则是矩形 的中心，设圆的半径为，
有，即，
取的中点，连接，则，
且，
于是，解得，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
所以该几何体的表面积为：
．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）解：（）因为正三棱柱 的底面边长为，高为，
则，
所以正三棱柱的体积．
（2）在正三棱柱中，由（）知，,
，
设圆锥的底面圆圆心为，则是矩形 的中心，设圆的半径为，
有，即，
取的中点，连接，则，
且，
于是，解得，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
所以该几何体的表面积为：
．
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