2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科
考试时间：120 分钟；试卷满分：150 分
注意事项：
1 ．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 ．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（共 58 分）
一、单选题(共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合M = {x x2 - 3x ≤ 0} ，N = ，则M ∩ N = ( )
A. [0, 3] B. [1, 3] C. [0, 3) D. (1, 3]
【答案】B
【解析】
【详解】由 x2 - 3x ≤ 0，可得 x(x - 3) ≤ 0 ，解得 0 ≤ x ≤ 3 ，所以 M = [0, 3]，由x -1 ≥ 0 ，得x ≥ 1，所以 N = [1,+∞ ) ，
所以M ∩ N = [1, 3].
2. 已知向量 = (1, -4) ， = (2,3)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
【答案】C
【解析】
【详解】因为 = (1, -4) ， = (2,3) ，\ . = 1 × 2 - 4 × 3 = -10 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
3. 已知 z = z - 2 ， z 为虚数，则 z . z 的值可能为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】A
【解析】
【分析】设z = a + bi 且b ≠ 0 ，根据复数的运算由 z = z - 2 得 a = 1，进而得z . z = 1+ b2 > 1，即可求解. 【详解】设 z = a + bi 且b ≠ 0 ，由 ，解得 a = 1，
所以z = 1+ bi, z = 1- bi ，所以 z . z = (1+ bi)(1- bi) = 1+ b2 > 1，故 A 正确，B 错误，C 错误，D 错误.
故选：A.
4. 一个圆台的母线长为 13 ，上、下底面的半径分别为 2 ，5，则圆台的体积为( )
A. 26π B. 32π C. 78π D. 86π 【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可. 【详解】取上下底面的圆心，则 OO9 即为圆台的高h ，如图所示，
在 △ACB 中， AB = 13, BC = 5 - 2 = 3 ，
根据勾股定理可得 AC = OO9 = h
所以圆台的体积为V
故选：A.
5. 已知0 < a < π ,则“ cos 是“ cos 2a 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】
【详解】由cos 2a ，得2 cos2 a ，解得cos a ，则“ cos 是“ cos 2a 的充分不必要条件.
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6. 设双曲线 C a > 0, b > 0）的焦距为2c ，若 a2 、b2 、c2 成等差数列，则该双曲线的渐近线
方程为( )
A. y = ± ·2x B. y x
C. y = ±x D. y x 【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线中a, b, c 的关系和等差数列可求答案.
【详解】因为 a2 、b2 、c2 成等差数列，所以2b2 = a2 + c2 ，又 c2 = a2 + b2 ，所以2b2 = a2 + (a2 + b2)，即b2 = 2a2 ，所以
该双曲线的渐近线方程为y x .
故选：B
7. 已知y = f (x) 满足f (x + 1) = f (1 - x), f (x + 2) = f (x) + 2 ，且当 x ∈[0, 1] 时， f (x) = ex ，则f 的值为( )
1 1 1 1
A. e2 +1011 B. e2 +1010 C. e- 2 +1011 D. e- 2 +1010 【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值.
【详解】由 f (x +1) = f (1- x) ，可知函数图像关于 x = 1 对称，
又f (x +2) = f (x) + 2 ，由累加法可得：
又f
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所以f 故选：B
8. 已知抛物线 C ：y2 = 2px （p > 0 ）的焦点为 F ，圆 M ：(x +1)2 + y2 = 16 与 C 交于 A ，B 两点，若直线AM 与直线BM 的斜率之积为-3 ，则 AF = ( )
7
A. 3 B. C. 4 D. 5
2
【答案】C
【解析】
【分析】先由已知条件解出 A ，B 两点坐标，再由焦半径公式求得 AF .
【详解】由圆 M ：(x +1)2 + y2 = 16 可知，圆心M(-1, 0) ，半径为 4 .而圆M 和抛物线 C 都关于x 轴对称，则可设 A(x,y) ，B(x, - y)(x > 0) .
由kAM . kBM 得y2 = 3
因为点 A 在圆M 上，又有(x +1)2 + y2 = 16 ，即 (x +1)2 + 3(x +1)2 = 16 ，而x > 0 ，则解得 x = 1，所以 y2 = 3 (1+1)2 = 12 .而点 A 又在抛物线 C 上，
则有12 = 2p.1，所以 p = 6 ，则 F(3, 0) .
所以 AF xA = 3 +1 = 4 .
二、多选题(每题 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 样本相关系数r 越大，则线性相关性越强
B. 1 ，2 ，4 ，5 ，6 ，12 ，18 ，20 的上四分位数是 15
C. 随机变量X 的方差D(X) = 20 ，期望 E(X) = 6 ，则 E(X2) = 16
D. 某班 30 个男生的数学平均分为 90，方差为 4 ，20 个女生的数学平均分为 85，方差为 6，则全班 50 个学生的数学成绩的方差为 10.8
【答案】BD
【解析】
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【详解】A：样本相关系数 r 的绝对值越大，则线性相关性越强，则 A 错误；
B：该组数据共 8 个数据，又8 75% = 6 ，
因此上四分位数为第 6 个数和第 7 个数的平均数，即，因此 B 正确；
C：因为 D(X ) = E (X2)- E2 (X ) ，由方差 D(X ) = 20 ，期望 E(X) = 6 ，可得 E(X2) = 56 ，即 C 错误.
D：易知全班 50 个学生的数学成绩的平均值为
因此方差为 即 D 正确.
10. 已知 C 的左、右焦点分别为F1 , F2 ，长轴长为 6 ，点 M( 6 ,1)在椭圆 C 外，点N在椭圆 C 上，则下列说法中正确的有( )
A. 椭圆 C 的离心率的取值范围是
———→ ————→
B. 椭圆 C 上存在点Q 使得QF1 . QF2 = 0
C. 已知E(0, -2) ，椭圆 C 的离心率为 ，则 NE 的最大值为
D. 的最小值为1 【答案】ABC
【解析】
【分析】对于 A，根据条件得 b2 < 3 ，再利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于 B，转化为以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆 C 有交点，即可求解；对于 C，根据条件求出椭圆方程，再利用椭圆的参数方程，即可求解；对于 D，根据椭圆的定义得NF1 + NF2 = 6 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】对于 A，由题意可知 2a = 6 ，所以 a = 3，所以椭圆方程为，因为M( 6 ,1)在椭圆 C 外，所以，解得 b2 < 3 ，
因为e ，所以 < e < 1，故 A 正确；
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对于 B，由选项 A 知a = 3 ，b2 < 3 ，所以 c2 = a2 - b2 = 9 - b2 > 6 ，所以 b < c < a ，则以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆 C 有四个交点，
不妨设其中一个交点为Q，由圆的性质可知， ，所以椭圆 C 上存在点Q 使得 故 B 正确；
对于 C，由离心率 e ，所以 b = 1，所以椭圆方程为 y2 = 1 ，设点N(3cosθ, sinθ) ，则
当sin 时， NE 有最大值为 ，此时 N ，故 C 正确；
(
NF
1
+
NF
2
.
) (
NF
1
NF
2
NF
1
NF
2
NF
1
NF
2
)对于 D ， NF1 + NF2 = 2a = 6 ， = + = | + |( NF1 + NF2 )
当且仅当 NF1 = NF2 = 3 ，即点 N位于上下顶点时， 有最小值 ，故 D 错误.
11. 定义：若函数f (x) 在区间[a, b] 的值域为[a, b]，则称区间 [a, b]是函数f (x) 的“完美区间 ”.另外，定义区间[a, b]的“复区间长度 ”为2(b - a) . 已知函数f (x)= x2 -1 ，则下列说法中正确的是:( )
A. [0, 1] 是f (x) 的一个“完美区间 ”
B. 是f (x) 的一个“完美区间 ”
C. f (x) 的所有“完美区间 ”的“复区间长度 ”的和为3+ 5
D. f (x) 的所有“完美区间 ”的“复区间长度 ”的和为3 + 25
【答案】AC
【解析】
【分析】按照 0< b ≤ 1和b >1两种情况讨论求解，当b >1时，按照a = 0 ，0 < a ≤ 1 ，a > 1分类讨论求解，利用“完美区间 ”的定义，结合函数的单调性求解.
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【详解】丫 f (x)= x2 -1 ≥ 0 ，：f (x) 的值域为[0,+∞ ) ，
设f (x) 的“完美区间 ”为[a, b]，则 b > a ≥ 0 ，
当0 < b ≤ 1时， 丫x ∈[a, b] ，f (x)= x2 -1 在[a, b]是单调递减函数， ：f (a) 为f (x) 的最大值，f (b) 为f (x) 的最小值，
,此时， 2(b - a) = 2(1- 0) = 2 ，
当b > 1时，①若a = 0 ，f (b)= b2 -1 =b2 -1，
丫x ∈[a, b] = [0, b] ，b > 1，
f (x)= x2 -1 在[0, 1] 是单调递减函数，在[1, b]是单调递增函数，
：f ( 1) 为f (x) 的最小值，f (x) 的最大值为f (0) 和f (b) 中最大的一个，
当f (0) < f (b) 时，丫 f (0)= 02 -1 = 1 ，：f (b) > 1 ，则 f (b) 为f (x) 的最大值， ,满足 b > 1，
此时，2(b - a
当f (0) ≥ f (b) 时，丫 f (0)= 02 -1 = 1 ，：f (b) ≤ 1 ，则 f (0) 为f (x) 的最大值， a ，：b = 1，不满足 b > 1，舍去；
②若0 < a ≤ 1时， 丫x ∈[a, b] ，b > 1，
f (x)= x2 -1 在[a,1]是单调递减函数，在[1, b]是单调递增函数，
：f ( 1) 为f (x) 的最小值，而f (1) = 12 -1 =0=a ，这与 0< a ≤ 1矛盾，不符合题意；
③若a > 1时， 丫x ∈[a, b] ，b > 1，
f (x)= x2 -1 在[a, b]是单调递增函数，
：f (a) 为f (x) 的最小值，f (b) 为f (x) 的最大值，
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(
\
〈
)(|f
(
(
(
a
)
=
a
2
-
1
=
a
2
-
1
=
a
(
b
)=
b
2
-
1
=
b
2
-
1
=
b
) (
\
〈
)|a
,
1 + 5
=
2
1 + 5
=
2
, 丫 a ≠ b ，\ 不符合题意；
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(
|
) (
|
b
) (
|
f
)综上可知，f (x) 的所有“完美区间 ”的“复区间长度 ”的和为2 +(1+ s5 ) = 3 + 、 ，故选项 A 和C 正确.
故选：AC.
第 II 卷（共 92 分）
三、填空题(每题 5 分，共 15 分)
12. 已知4a = 2 ，则log2 a = .
【答案】 -2
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，求出a 的值，再计算log2 a 的值.
【详解】因为 4a = 、2 ，所以 a =log ，所以 log2 a = log 故答案为：-2
13. 甲、乙、丙等 5 名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有 种．
【答案】8
【解析】
【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可.
【详解】先安排甲、乙， 有A种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有C种
方法；
又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有C种方法；
所以不同的排法共有ACC = 8 （种）排法.
故答案为：8
14. 已知正实数 x，y 满足 y ，则 x2 ey 的最小值为 ．
【答案】
e2
4
【解析】
【分析】化简题目条件得 2x ，构建函数 f = t ，因为 x, y 是正
实数，故此函数单调递增，得到y 代入x2 ey ，求导分析其最值.
【详解】由 y, x, y > 0 ，
整理得2x 化简得：2x
设函数f = t ，可知函数 f (t ) 在(0,+∞ ) 内单调递增，由f = f 可得2x ，即 y = ，代入 x2 ey 得x2 e ，令F = x2 e = e
令F, (x) = 0 ，解得 x
当0 < x < 时，F, (x) < 0 ；当 x 时，F, (x) > 0 ；
可知F 内单调递减，在 内单调递增，
故当 x 时，F(x) 取得最小值，此时 y = 2 ，最小值为 F
2
故答案为： e
4
四、解答题(共 5 题，满分 77 分)
15. 已知数列{an }满足a1 = 2, an = n (an+1 - an)(n ∈ N*)．
（1）求数列{an } 的通项公式；
（2）设bn ，求数列 {bn } 的前n 项和为Sn ．
【答案】（1）an = 2n
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（2）Sn
【解析】
【分析】（1）根据题意整理可得 ，进而可得 ，即可得结果；
（2）整理可得bn ，利用裂项相消法运算求解.
【小问 1 详解】
因为an = n (an+1 - an) ，且a1 = 2 ，可得 (n +1)an = nan+1 ，
即 对任意n ∈ N* 恒成立，可得 所以an = 2n .
【小问 2 详解】
由（1）可知：an = 2n ，
则bn
可得Sn 所以Sn
16. AI 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了 200 位顾客购买 AI 手机的情况，得到数据如下表.
购买 AI 手机 购买无 AI 技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有 99%的把握认为购买 AI 手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进 AI 手机的销量，该商场为购买 AI 手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，
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分别奖励 200 元、100 元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为 ，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X 的数学期望.参考公式及数据：① x ，其中 n = a + b + c + d ．
② P(x2 ≥ 6.635) ≈ 0.01 , P (x2 ≥ 5.024) ≈ 0.025 , P (x2 ≥ 3.841) ≈ 0.05 , P (x2 ≥ 2.706) ≈ 0.1． 【答案】（1）有 99% 的把握认为购买 AI 手机与顾客的性别有关.
【解析】
【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可.
(2)先列出随机变量X 的分布列，再由分布列求出期望值.
【小问 1 详解】
假设H0 :购买 AI 手机与顾客性别无关.
根据公式 x ，
因为8.995>6.635 ，所以假设不成立，
即我们有99% 的把握认为购买 AI 手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过 0.01.
【小问 2 详解】
X 可能取的值为 0 ，100 ，200 ，300 ，400，
每次抽奖不中的奖的概率为 ，中100 元概率为 ，中 200 元概率为 ，
所以X 的分布列为
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X 0 100 200 300 400
P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36
17. 在V ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为a ，b ，c
（1）求cos A的值；
（2）若 D 是边BC 上一点， AD = DC = 2BD ，c = 1，求V ABC 的周长.
【答案】 cos A
（2）
【解析】
【分析】（1）结合分式有意义得到 B ≠ C ，根据二倍角公式、辅助角公式得到 B + C = 2A，进而求出角 A及cos A .
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【小问 1 详解】
由题意知，sin C - sin B ≠ 0 ，即 b ≠ c ，即 B ≠ C .
因为 所以 = = ，即sin Asin C - sin Asin B = cos A cos B - cos A cos C ，
所以cos (A - B ) = cos (A - C )，
又-π < A - B < π , -π < A - C < π ,
所以 A - B = A - C 或 A - B = C - A，所以 B = C （舍）或 B + C = 2A ，因为 A + B + C = π ,所以 A ，则 cos A
【小问 2 详解】
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方法一：设 BD = x ，则 AD = DC = 2x ，BC = 3x ，
在△ABD 中，由余弦定理可得cos LADB
在VACD 中，由余弦定理可得cos LADC 由cos LADB = - cos LADC ，可得 18x2 = b2 + 2 ，
在V ABC 中，由余弦定理可得BC2 = AB2 + AC2 - 2 . AB . AC . cos LBAC ，即9x2 = 1 + b2 - b ，
联立解得x b = 2 ，
所以V ABC 的周长为 AB + AC + BC = 3 + 3 .
(
———→
———→
)方法二：设BD = x ，则 AD = DC = 2x ，BC = 3x ，即 CD = 2DB ，故
所以 —→ ,可得 36x2 = 4 + b2 + 2b ，
在V ABC 中，由余弦定理可得BC2 = AB2 + AC2 - 2 . AB . AC . cos LBAC ，即9x2 = 1 + b2 - b ，
联立解得x ，所以V ABC 的周长为 AB + AC + BC = 3 + 3 .
18. 对于函数J (x) ，若 J (x0) = x0 ，则称实数 x0 为函数J (x) 的不动点，设函数J (x) = log ，g
（1）若 a = 1，求函数 J (x) 的不动点；
（2）若函数 J (x)在区间[-1,1]上存在两个不动点，求实数a 的取值范围；
（3）若对任意的 x1 , x2 ∈ [-1,0]，不等式 J (x1) - g (x2) ≤ 2 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0 和1
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由 f (x) = x ，化简得到 4x - 3. 2x + 2 = 0 ，即可求解；
（2）根据题意，将方程 f (x) = x ，化简得到 2a +1 = 2x ，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解；
（3）根据题意，将不等式化为-2 + g(x)max ≤ f (x)≤ 2 + g(x)min ，利用指数函数的单调性，得到
0 ≤ f (x) ≤ 3 ，分类参数转化为 2x a ≤ 2x 在x ∈[-1, 0]上恒成立，结合函数的单调性，即可求解.
【 小问 1 详解】
解：当 a = 1 时，方程f (x) = x ，即为log2 (4x - 2x+1 + 2) = x ，即4x - 2x+1 + 2 = 2x ，可得 4x - 3. 2x + 2 = (2x -1)(2x - 2) = 0 ，解得2x = 1或2x = 2，可得 x = 0 或x = 1 ，
所以函数f (x) 的不动点为0 和1 .
【小问 2 详解】
解：由方程f (x) = x ，可得log2 (4x - a . 2x+1 + 2) = x ，
即4x - a . 2x+1 + 2 = 2x ，可得 (2a + 1) . 2x = 4x + 2 ，即为 2a 令t = 2x ，当 x ∈[-1,1] 时，可得t
因为函数f (x)在区间[-1,1]上存在两个不动点，
可得关于t 的方程2a +1 = t 上有两个不等的实数根，
令h = t ，可得 h(t )在 单调递减，在 单调递增，
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且h 则满足22 < 2a +1 ≤ 3 ，解得 a ≤ 1，所以实数a 的取值范围为
【小问 3 详解】
解：不等式 f (x1) - g (x2) ≤ 2 ，可化为-2 + g(x2) ≤ f (x1) ≤ 2 + g(x2)，
由函数g(x) = x 在[-1,0]上单调递减函数，
可得g (x)max = g (- 1) = 2, g (x)min = g (0) = 1，
因为对任意x1 , x2 ∈ [-1,0]，不等式 f (x1) - g (x2) ≤ 2 恒成立，
即对任意x ∈[-1,0]，不等式-2 + g(x)max ≤ f (x) ≤ 2 + g(x)min ，即0 ≤ f (x) ≤ 3 ，可得0 ≤ log2 (4x - a . 2x+1 + 2) ≤ 3 ，即为 1 ≤ 4x - 2a . 2x + 2 ≤ 8 ，
所以2x a ≤ 2x 在x ∈[-1, 0]上恒成立，令u = 2x ，当 x ∈[-1, 0] 时，可得u
由题意得，对任意u ，不等式 u a ≤ u 恒成立，
函数m = u 上为单调递增函数，所以m(u)max = m(1) = -5 ，函数n = u 上为单调递减函数，所以n(u)min = n(1) = 2 ，
5
所以-5 ≤ 2a ≤ 2 ，解得 - ≤ a ≤ 1 ， 2
综上可得，实数a 的取值范围为
19. 如图（1），已知抛物线 E : x2 = 2y 的焦点为F ，准线为 l ，过点 F 的动直线m 与E 交于 A ，B 两点（其中点 A 在第一象限），以 AB 为直径的圆与准线l 相切于点 C，D 为弦 AB 上任意一点，现将 △ACB
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沿 CD 折成直二面角 A, - CD - B ，如图（2）．
（1）证明：cos A,CB = cos A,CD . cos BCD ；
（2）当 A,CB 最小时，
①求 A, ，B 两点间的最小距离；
②当 A, ，B 两点间的距离最小时，在三棱锥 A, - BCD 内部放一圆柱，使圆柱底面在面 BCD 上，求圆柱体积的最大值．
【答案】（1）证明见详解
【解析】
【分析】（1）做辅助线，根据垂直关系可得 A,O, 丄 BC ，BC 丄 A,E, ，结合直角三角形三角关系分析证明；
(
2 2
)（2）①根据三角知识结合基本不等式可得A,B = AB - BC . AC ，利用弦长公式求得 AB ，分 k = 0 和
k ≠ 0 两种情况， 结合基本不等式分析求解； ②设相应量， 可得 h = 1-(2 + 2 )r ，可得圆柱的体积V ，构建函数 f = r r3 , 0 < r ，利用导数求最值.
【小问 1 详解】
过 A, 作 A,O, 丄 CD ，垂足为 O, ，过 O, 作 O,E 丄 BC ，垂足为 E ，
因为平面 A,CD 丄 平面 ABC ，且平面 A,CD ∩ 平面 ABC = CD ， A,O 平面 A, CD ，可得 A,O, 丄 平面 ABC ，
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由BC 平面 ABC ，可得 A,O, 丄 BC ，
且 O,E I A,O, = O, ， O,E, A,O, 平面 A,O,E ，可得 BC 丄 平面 A,O,E ，由 A,E 平面 A,O,E ，可得 BC 丄 A,E ，
则cos A,CB cos A,CD cos BCD
所以cos A,CB = cos A,CD . cos BCD
.
【小问 2 详解】
因为以 AB 为直径的圆与准线l 相切于点 C，可知 AC 丄 BC ，则 A,CD = ACD BCD ，
(
π
)由（1）可得：cos A,CB = cos A,CD . cos BCD = cos |è 2 - BCD | . cos BCD
当且仅当sin 2 BCD = 1，即 BCD 时，等号成立，
所以当 BCD 时， A,CB 最小，
①因为 A,O, 丄 平面 ABC ，BO,, CD 平面 ABC ，则 A,O, 丄 BO, ， A,O, 丄 CD ，
即 AO, 丄 CD ，
在Rt△ACO, 中，则 CO,AO AC A,O,
(
2
2
2
)在△BCO, 中，由余弦定理可得 BO, = BC + CO, - 2BC . CO, cos BCO, ，
则 BO,BC AC BC AC BC AC BC AC
在Rt△A,BO, 中，则
在Rt△ABC 中，则AB 2 = BC 2 + AC 2 ，可得 A,B 2 = AB 2 - BC . AC ，
由题意可知：焦点F ，准线 l : y ，直线 m 的斜率存在，且直线m 与抛物线必相交，设直线m : y = kx A (x1 , y1), B (x2 , y2) ，
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联立方程 ，消去 y 可得x2 - 2kx -1 = 0 ，则x1 + x2 = 2k, x1 . x2 = -1 ，
可得 AB
当k = 0 时， AB 取到最小值 2，根据对称性可知BC = AC = 2 ，
(
2 2
)可得 A,B = AB - BC . AC = 2 ；
当k ≠ 0 时，则AB > 2 ，且 BC ≠ AC ，
由基本不等式可得 BC AC
则 A,B AB BC AC AB AB AB 2 > 2 ；
(
2
)综上所述： A,B 的最小值为 2，当且仅当AB = 2 ， BC = AC 时，等号成立，
所以 A, ，B 两点间的最小距离为 2 ；
②由（1）可知：当 A, ，B 两点间的距离最小时，则 AB = 2 ， BC = AC = 2 ，可知D 为 AB 中点，且D 与 O, 重合，
因为 BD = CD = 1, BC = 2 ，
设 △BCD 的内切圆半径为R ，
由等面积法可得： R ，解得 R
设圆柱的底面半径为r ，高为 h ，
则 ，可得 h r ，所以圆柱的体积V = πr2 h
令f = r r3 , 0 < r ，则 f , (r ) = 2r - 3 (2 + ·丶2 )r2 = r 2 - 3 (2 + ·丶2 )r ，当 时，f , (r ) > 0 ；当 < r < 时，f , (r ) < 0 ；
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可知f (r )在 内单调递增，在 内单调递减，
则f ≤ f 所以圆柱体积的最大值为 【点睛】关键点点睛：对于（2）中：
(
2 2
)①利用勾股定理结合余弦定理整理可得 A,B = AB - BC . AC ；
②根据锥体的结构特征分析可得h r ，进而可求圆柱体积.
第 19 页/共 19 页2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价三
数学学科
考试时间：120 分钟；试卷满分：150 分
注意事项：
1 ．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 ．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（共 58 分）
一、单选题(共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合M = {x x2 - 3x ≤ 0} ，N = ，则M ∩ N = ( )
A. [0, 3] B. [1, 3] C. [0, 3) D. (1, 3]
2. 已知向量 = (1, -4) ， = (2,3)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
3. 已知 z = z - 2 ， z 为虚数，则 z . z 的值可能为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
4. 一个圆台的母线长为 13 ，上、下底面的半径分别为 2 ，5，则圆台的体积为( )
A. 26π B. 32π C. 78π D. 86π
5. 已知0 < a < π ,则“ cos 是“ cos 2a 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设双曲线 C a > 0, b > 0）的焦距为2c ，若 a2 、b2 、c2 成等差数列，则该双曲线的渐近线
方程为( )
A. y = ± ·2x B. y x
C. y = ±x D. y x
7. 已知y = f (x) 满足f (x + 1) = f (1 - x), f (x + 2) = f (x) + 2 ，且当 x ∈[0, 1] 时， f (x) = ex ，则
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f 的值为( )
1 1 1 1
A. e2 +1011 B. e2 +1010 C. e- 2 +1011 D. e- 2 +1010
8. 已知抛物线 C ：y2 = 2px （p > 0 ）的焦点为 F ，圆 M ：(x +1)2 + y2 = 16 与 C 交于 A ，B 两点，若直线AM 与直线BM 的斜率之积为-3 ，则 AF = ( )
7
A. 3 B. C. 4 D. 5
2
二、多选题(每题 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 样本相关系数r 越大，则线性相关性越强
B. 1 ，2 ，4 ，5 ，6 ，12 ，18 ，20 的上四分位数是 15
C. 随机变量X 的方差D(X) = 20 ，期望 E(X) = 6 ，则 E(X2) = 16
D. 某班 30 个男生的数学平均分为 90，方差为 4 ，20 个女生的数学平均分为 85，方差为 6，则全班 50 个学生的数学成绩的方差为 10.8
10. 已知 C 的左、右焦点分别为F1 , F2 ，长轴长为 6 ，点 M( 6 ,1)在椭圆 C外，点N在椭圆 C 上，则下列说法中正确的有( )
A. 椭圆 C 的离心率的取值范围是
———→ ————→
B. 椭圆 C 上存在点Q 使得QF1 . QF2 = 0
C. 已知E(0, -2) ，椭圆 C 的离心率为 ，则 NE 的最大值为
D. 的最小值为1
11. 定义：若函数f (x) 在区间[a, b] 的值域为[a, b]，则称区间 [a, b]是函数f (x) 的“完美区间 ”.另外，定义区间[a, b]的“复区间长度 ”为2(b - a) . 已知函数f (x)= x2 -1 ，则下列说法中正确的是:( )
A. [0, 1] 是f (x) 的一个“完美区间 ”
B. 是f (x) 的一个“完美区间 ”
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C. f (x) 的所有“完美区间 ”的“复区间长度 ”的和为
D. f (x) 的所有“完美区间 ”的“复区间长度 ”的和为3 + 25
第 II 卷（共 92 分）
三、填空题(每题 5 分，共 15 分)
12. 已知4a = 2 ，则log2 a =
13. 甲、乙、丙等 5 名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同
的排法有 种．
14. 已知正实数 x，y 满足 y ，则 x2 ey 的最小值为 ．
四、解答题(共 5 题，满分 77 分)
15. 已知数列{an }满足a1 = 2, an = n (an+1 - an)(n ∈ N*)．
（1）求数列{an } 的通项公式；
（2）设bn ，求数列 {bn } 的前n 项和为Sn ．
16. AI 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了 200 位顾客购买 AI 手机的情况，得到数据如下表.
购买 AI 手机 购买无 AI 技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有 99%的把握认为购买 AI 手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进 AI 手机的销量，该商场为购买 AI 手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，
分别奖励 200 元、100 元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为 ，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X 的数学期望.参考公式及数据：① x ，其中 n = a + b + c + d ．
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② P(x2 ≥ 6.635) ≈ 0.01 , P (x2 ≥ 5.024) ≈ 0.025 , P (x2 ≥ 3.841) ≈ 0.05 , P (x2 ≥ 2.706) ≈ 0.1．
17. 在V ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为a ，b ，c
（1）求cos A的值；
（2）若 D 是边BC 上一点， AD = DC = 2BD ，c = 1，求V ABC 的周长.
18. 对于函数f (x) ，若 f (x0) = x0 ，则称实数 x0 为函数f (x) 的不动点，设函数f (x) = log ，g
（1）若 a = 1，求函数 f (x) 的不动点；
（2）若函数 f (x)在区间[-1,1]上存在两个不动点，求实数a 的取值范围；
（3）若对任意的 x1 , x2 ∈ [-1,0]，不等式 f (x1) - g (x2) ≤ 2 恒成立，求实数a 的取值范围.
19. 如图（1），已知抛物线 E : x2 = 2y 的焦点为F ，准线为 l ，过点 F 的动直线m 与E 交于 A ，B 两点（其中点 A 在第一象限），以 AB 为直径的圆与准线l 相切于点 C，D 为弦 AB 上任意一点，现将 △ACB沿 CD 折成直二面角 A, - CD - B ，如图（2）．
（1）证明：cos A,CB = cos A,CD . cos BCD ；
（2）当 A,CB 最小时，
①求 A, ，B 两点间的最小距离；
②当 A, ，B 两点间的距离最小时，在三棱锥 A, - BCD 内部放一圆柱，使圆柱底面在面 BCD 上，求圆柱体积的最大值．第 4 页/共 5 页
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