2025-2026学年人教A版数学必修第二册 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课后训练（含答案）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一．选择题
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1＝3，该长方体的表面积为(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
2．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(　　)
A．80 B．240
C．350 D．640
3．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，分为圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，如图，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比值为(　　)
A． B．
C． D．
4．诗句“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”中“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具．某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底面的边长分别是2，4，高为1，则该四棱台的表面积为(　　)
A．12 B．32
C．20＋12 D．20＋12
5．(多选题)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两个几何体，且上、下两个几何体的高之比为1∶2，则关于上、下两个几何体的说法正确的是(　　)
A．侧面积之比为1∶4 B．侧面积之比为1∶8
C．体积之比为1∶27 D．体积之比为1∶26
6．位于徐州园博园中心位置的国际馆(一云落雨)，使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅．如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何体形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一．其中最大的是3号展馆，若其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2 m，高为9 m，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比值约为(参考数据：≈13.16)(　　)
A．2 B．1.71
C．1.37 D．1
7．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图1，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为(　　)
A． B．
C．2 D．
二．填空题
8．棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中，分别将M，N，C，D四点两两相连，构成的几何体的表面积为__________.
9．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其平面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V＝____cm3.
10．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
11．长方体的体对角线长为8，若长、宽、高分别是a，b，c，且a＋b＋c＝14，则长方体的表面积为________.
三．解答题
12．如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA＝5，AB＝6.
(1)求四棱锥S-ABCD的表面积；
(2)求四棱锥S-ABCD的体积．
13．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是2a.
(1)求石凳的体积；
(2)求石凳的表面积．
14．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一．选择题
1．D　解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC，AC1，
所以AC＝＝＝2，CC1＝＝＝1，
所以该长方体的表面积S＝2S正方形ABCD＋4S矩形ADD1A1＝2×(2×2)＋4×(2×1)＝16.故选D．
2．B　解析：由题意可知，该棱台的侧面为上、下底分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，
所以等腰梯形的高为＝8，所以等腰梯形的面积为×(4＋16)×8＝80，所以该棱台的侧面积为3×80＝240.故选B．
3．B　解析：设底面棱长为2a(a>0)，因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为＝.故选B．
4．C　解析：根据题意可知，该四棱台的侧面都是上底为2、下底为4的等腰梯形，
所以侧面上的斜高h′＝＝，则等腰梯形的面积为(2＋4)××＝3，
上底面和下底面面积分别为2×2＝4，4×4＝16，
所以该四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12.故选C．
5．BD　解析：依题意知，上面部分为小棱锥，下面部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.故选BD．
6．C　解析：如图，设H为底面正方形ABCD的中心，G为BC的中点，连接PH，HG，PG，则PH⊥HG，PG⊥BC，所以PG＝＝＝≈13.16，则＝＝≈≈1.37.故选C．
7．D　解析：因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC．设图1中水面的高度为h，则S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝.故选D．
二．填空题
8．2　解析：在原正方体纸盒上，分别将M，N，C，D四点两两相连，如图所示．
因为MN，MC，MD，ND，NC，CD为正方体的面对角线，所以MN＝MC＝MD＝ND＝NC＝CD＝，所以三棱锥D-MNC为正四面体，所以其表面积为×()2×4＝2.
9． 　解析：由题图知，原几何体是由一个正方体与一个正四棱锥组成，四棱锥的高为＝(cm)，所以该空间几何体的体积V＝13＋×1×1×＝ (cm3)．
10． 　解析：如图，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱．
由题意知三棱锥E-ADG的高为，棱柱高为1，AG＝＝.取AD的中点M，连接MG，则MG＝，S△AGD＝×1×＝，所以V＝×1＋2×××＝.
11． 132　解析：由题意得
将①2－②，得2(ab＋bc＋ca)＝142－64＝132，
所以长方体的表面积S表＝2(ab＋bc＋ca)＝132.
三．解答题
12．
解：(1)如图，连接AC，BD相交于点O，连接SO，过点S作SE⊥BC于点E，连接OE，则SE是斜高，
在Rt△SOB中，SO＝＝＝.
在Rt△SOE中，SE＝＝＝4，
S△BCS＝BC·SE＝×6×4＝12，S表＝S侧＋S底＝4S△BCS＋62＝48＋36＝84，
所以正四棱锥S-ABCD的表面积为84.
(2)V＝SABCD·SO＝×(6×6)×＝12，所以正四棱锥S-ABCD的体积为12
13．
解：(1)根据题意可知正方体的体积V正方体＝(2a)3＝8a3.
又截去的每个四面体的体积V四面体＝×a2×a＝，所以石凳的体积V＝V正方体－8V四面体＝8a3－8×＝.
(2)因为石凳的每个正方形面的面积S正方形＝(a)2＝2a2，
又石凳的每个正三角形面的面积S三角形＝(a)2sin 60°＝，
所以石凳的表面积S＝6S正方形＋8S三角形＝12a2＋8×＝(12＋4)a2.
14.
如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O
作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
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