2025-2026学年人教A版数学必修第二册 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课后训练（含答案）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一．选择题
1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A．144π，144π B．144π，36π
C．36π，144π D．36π，36π
2．表面积为16π的球的内接圆柱的轴截面为正方形，则该内接圆柱的体积为(　　)
A．4π B．2 π
C．16π D．8π
3．圆台上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为5，则圆台的体积为(　　)
A．40π B．52π
C．50π D．π
4．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　)
A．2π B．3π
C．6π D．9π
5．(数学文化)如图，西周琱生簋(guǐ)是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆柱的高之比约为 3∶5，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为4∶5，则圆台与圆柱的体积之比约为(　　)
A．81∶80 B．61∶80
C．8∶9 D．2∶1
6．若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为(　　)
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
7．已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为(　　)
A．600π B．300π
C．900π D．450π
8．(新定义)一个球被一个平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，球垂直于截面的直径被截下的部分叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积S＝2πRH，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球被平面所截获得两个球缺，其高之比＝2∶1，则表面积(包括底面)之比＝(　　)
A． B．
C． D．
9．某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值为(　　)
A．2π B．π
C．2π D．4π
二．填空题
10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是__________.
11．已知圆柱有一个内接长方体，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的底面半径为　　　cm，高为________cm.
12．已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________.
三．解答题
13．如图，已知圆柱OO1的底面半径为2，母线长为3，A为底面圆周上一点.
(1)求该圆柱的体积和表面积；
(2)Rt△O1OA绕O1O旋转一周，求所得圆锥的侧面积．
14．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知球的直径为8 cm，圆柱筒高为3 cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在3 000个这样的“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方厘米需要涂胶0.1 g，共需胶多少克？
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一．选择题
1．D　解析：由题意知半径R＝3，所以S表＝4πR2＝36π，V＝πR3＝×33＝36π.故选D．
2．A　解析：由题意可知，4πR2＝16π，R＝2，即球的半径R＝2.设圆柱的底面圆半径为r，则＝2R，得r＝，所以V圆柱＝πr2·2r＝2π·2 ＝4π.故选A．
3．B　解析：作出圆台的轴截面如图所示，上底面半径MD＝2，下底面半径NC＝6，过点D作DE⊥NC，垂足为E，则EC＝6－2＝4.又CD＝5，故DE＝3，即圆台的高为3，所以圆台的体积V＝×3×(π×22＋π×62＋)＝52π.故选B．
4．B　解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，
故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B．
5．B　解析：依题意，设圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为3，圆柱的高为5，则圆台的体积V1＝×(25π＋16π＋)×3＝61π，圆柱的体积V2＝16π×5＝80π，故V1∶V2＝61∶80.故选B．
6．C　解析：如图，过点D作DE⊥BC交BC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，连接OA，OB．设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r.根据圆的切线长定理可知AF＝r，BF＝R，所以AB＝R＋r，即DC＝R＋r.由勾股定理得DE2＝DC2－CE2，即(2r1)2＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.
故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.故选C．
7．A　解析：设圆台的母线为l，扇环所在的小圆的半径为x.
由题意得解得
所以S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(20＋10)×20＝600π.故选A．
8．B　解析：因为＝2，H1＋H2＝2R，
所以H1＝R，H2＝R，
所以＝＝.
故选B．
9．C　解析：由题意作图如下：
由题设可知该圆锥的高h＝PO＝2.设该圆锥的内接圆柱的高为QO＝x，
该圆柱的底面半径为OF＝r，由△PDC∽△PAB，则＝，即＝，所以r＝2－x，
故该圆柱的侧面积S＝2πrx＝2πx＝2π.
当x＝时，侧面积S取得最大值2π.故选C．
二．填空题
10． 48　解析：设球的半径为R.
由πR3＝，得 R＝2，
所以正三棱柱的高为h＝4.
设正三棱柱的底面边长为a，则×a＝2，得a＝4 ，
所以V＝×(4 )2×sin 60°×4＝48 .
11． 5　10　解析：设圆柱的底面半径为r cm，高为 h cm.
由题意得解得
即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm.
12． 　解析：由题意可得两个圆台的高分别为h甲＝＝(r2－r1)，
h乙＝＝2(r2－r1)，
所以＝＝＝＝.
三．解答题
13．
解：(1)因为圆柱的底面半径r＝2，母线长l圆柱＝3，即高h＝3，
所以，其体积V＝πr2h＝π×22×3＝12π，
表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π×22＋2π×2×3＝20π.
(2)由题意，圆锥母线l圆锥＝＝，
所得圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl圆锥＝2π.
14．
解：(1)由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
球体的体积V1＝πR3＝×43＝π(cm3)，
圆柱体积V2＝πR2·h＝π×42×3＝48π(cm3)，
所以浮球的体积V＝V1＋V2＝π(cm3)．
(2)由题意得上、下半球的表面积之和S1＝4πR2＝4π×42＝64π(cm2)，
圆柱侧面积S2＝2πRh＝2π×4×3＝24π(cm2)，
所以1个浮球的表面积S＝64π＋24π＝88π(cm2)，
3 000个浮球的表面积为3 000×88π＝264 000π(cm2)．
因为每平方厘米需要涂胶0.1 g，
所以共需胶264 000π×0.1＝26 400π(g)．
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