【基础版】湘教版数学八下4.2方差 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·金东期末）若的方差为5，则，，的方差为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025八下·荔湾期末）一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ）
A． B． C． D．
3．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一名同学参加数学抢答竞赛，四名同学数学平时成绩的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数(分) 96 93 98 98
方差(分2) 3.5 3.3 3.3 6.1
根据表中数据，要从这四名同学中选择一名成绩好且发挥稳定的同学去参赛，那么应该选择的同学是 ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析.甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为 102 分，方差 分2.后来甲同学进行了补考，数学成绩为102 分，则加入甲同学的成绩后，关于班级数学成绩，下列说法正确的是 ( )
A．平均分和方差都不变 B．平均分和方差都改变
C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大
5．八年级六位数学老师今年的年龄(单位：岁)分别为28，30，30，38，50，52，则与5年前这六位老师的年龄数据相比，没有改变的是( )
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．众数
6．在某届国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名.我国参赛选手比赛成绩方差的计算公式为： 下列说法中错误的是 ( )
A．我国一共派出了6名选手
B．我国选手的平均成绩为38分
C．我国选手比赛成绩的中位数为38分
D．我国选手比赛成绩的团体总分为228分
7．方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，x ，可用如下算式计算方差： 其中“3”是这组数据的 ( )
A．最小值 B．平均数 C．众数 D．中位数
8．（3.3离差平方和与方差（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（ )。
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
二、填空题
9．（2025八下·乐山期末）四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选 ．
甲 乙 丙 丁
平均环数 7 8 8 7
s2 1 1 1.2 1.8
10．（2025八下·五华期末）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是 （填“甲”或“乙”）．
11．一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是 .
12．已知一组数据的离差平方和D2=（x1－)2＋（x2－)2＋…＋（x10－)2=50，则这组数据的方差S2= .
13．（2025八下·江门期末）当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业，某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，下表记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：km）与续航里程的方差：
车型 A款 B款 C款 D款
均续航里程/km 420 420 410 400
方差 0.03 0.06 0.03 0.05
根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投人市场，应该选择 款车型.
三、解答题
14．校篮球队的五名主力队员的身高(单位： cm)分别是176， 180， 184， 190， 190，若按前3后2分成两组，求组间离差平方和.
15．（2024八下·涪城期末）甲、乙两名运动员在次百米赛跑训练中的成绩单位：秒如下：
甲：，，，，，
乙：，，，，，
（1）求甲、乙两运动员训练成绩的平均数；
（2）哪名运动员训练的成绩比较稳定？并说明理由．
16．（2024八下·北仑期中） 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
乙组成绩统计图
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；
（2）请求出乙组成绩的平均数；
（3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵x1、x2、x3的方差为5，
∴x1+1、x2+1、x3+1的方差为5.
故答案为：C.
【分析】给一组数据同时加上或减去同一个数，方差不变，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】方差
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵平均分：丙=丁>甲>乙，方差：丁>甲>乙=丙，
∴ 成绩好且发挥稳定的同学是 丙，
故答案为：丙.
【分析】根据平均分、方差等数据对比，选出符合条件的同学参赛.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲同学的成绩为102分，原数据的平均分为102分，
∴平均分不变.
∵数据的个数增加，各数据与平均数差的平方的和保持不变，
∴方差变小.
故选C.
【分析】根据平均数及方差的计算方法作出判断。
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 六位数学老师今年的年龄(单位：岁)分别为28，30，30，38，50，52，
∴其平均年龄为=45.6岁，中位数为=34，众数为30，方差=≈152.4
五年前六位数学老师的年龄(单位：岁)分别为23，25，25，33，45，47，
∴其平均年龄为=39.6岁，中位数为=29，众数为25，方差=≈152.4，
因此中位数、平均数、众数都发生了变化，方差不变，
故答案为：A.
【分析】根据前后两组数据的中位数、平均数、众数、方差变化情况作答.
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 参赛选手比赛成绩方差的计算公式为：
∴参赛选手有6位，且平均分为38分，
∴团体总分为6×38=228分，
因此A、B、D正确，而C选项无法确定.
故答案为：C.
【分析】根据 知参赛选手人数及平均数，从而对选项作出判断即可.
7．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：在 平均数=3，
故答案为：B.
【分析】根据方差的计算方法作答.
8．【答案】B
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：总离差平方和是数据中所有观测值与总体均值的离差平方和.当数据被分为两组后，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和.因此，计算总离差平方和时需将两组的离差平方和相加.
故答案为：B.
【分析】根据总离差平方和的定义解答即可.
9．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵7<8，
∴乙、丙两人的平均成绩最好，
∵1<1.2，
∴乙的波动更小，
∴应选乙．
故答案为：乙．
【分析】先比较平均数，确定乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
10．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，
，
两种小麦长势更整齐的是甲.
故答案为：甲．
【分析】根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差即可求解．
11．【答案】6
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是(1+1+2+2+4)÷5=2，
∴ 离差平方和为
故答案为：6.
【分析】先求出平均数，然后根据离差平方和的定义解答即可.
12．【答案】5
【知识点】方差；离差平方和
【解析】【解答】解： ]，
故答案为：B.
【分析】直接利用方差公式计算.
13．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：步骤1：分析平均续航里程
A、B车型平均续航为420 km (最高)，D车型平均续航为400 km
C车型平均续航为40 km (明显异常，可能数据有误，但按题目数据处理)
步骤2：筛选平均续航长的车型
优先保留A、B车型(平均续航最高) ；排除C车型(续航过低)，D车型(续航次之)。
步骤3：比较方差
A车型方差为0.03 (最小)，B车型方差为0.06
因此，A车型在续航稳定性上更优
故答案为：A.
【分析】平均续航里程反映车型的续航能力水平，数值越大代表续航越强；方差反映数据的稳定性，方差越小代表续航表现越稳定；需要先筛选出平均续航里程长的车型，再在其中选择方差最小的车型，由此判断即可解答.
14．【答案】解： ， ，即组间离差平方和为120
【知识点】离差平方和
【解析】【分析】根据组间离差平方和的定义即可求出答案.
15．【答案】（1）解：秒，
秒
（2）解：乙运动员训练成绩稳定，理由如下：
；
；
，
乙运动员训练成绩稳定．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】(1)分别求出甲乙两组数据的平均值即可；
（2）由方差公式分别求出甲乙的方差，比较即可知甲乙成绩的稳定性.
16．【答案】（1）8.5；8
（2）解：根据加权平均数的公式，得
（3）解：乙组的平均数是8.5，
∴其方差为：
，故乙组更加稳定些．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）将甲组成绩按照从小到大的顺序排列，排在最中间的两个成绩是8和9，
∴甲组成绩的中位数是.
由图可知成绩为8的人数是最多，
∴乙组成绩的众数是8.
【分析】（1）根据中位数的定义（把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数）即可求出甲组的中位数，根据众数的定义（所有数据中出现次数最多的就是众数）即可求出乙组的众数.
（2）根据加权平均数的公式即可求出答案.
（3）先求出乙组的平均数，根据平均数求出其方差，再利用方差越小越稳定即可比较出哪组成绩稳定.
1 / 1【基础版】湘教版数学八下4.2方差 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·金东期末）若的方差为5，则，，的方差为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵x1、x2、x3的方差为5，
∴x1+1、x2+1、x3+1的方差为5.
故答案为：C.
【分析】给一组数据同时加上或减去同一个数，方差不变，据此解答.
2．（2025八下·荔湾期末）一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】方差
3．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一名同学参加数学抢答竞赛，四名同学数学平时成绩的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数(分) 96 93 98 98
方差(分2) 3.5 3.3 3.3 6.1
根据表中数据，要从这四名同学中选择一名成绩好且发挥稳定的同学去参赛，那么应该选择的同学是 ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵平均分：丙=丁>甲>乙，方差：丁>甲>乙=丙，
∴ 成绩好且发挥稳定的同学是 丙，
故答案为：丙.
【分析】根据平均分、方差等数据对比，选出符合条件的同学参赛.
4．一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析.甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为 102 分，方差 分2.后来甲同学进行了补考，数学成绩为102 分，则加入甲同学的成绩后，关于班级数学成绩，下列说法正确的是 ( )
A．平均分和方差都不变 B．平均分和方差都改变
C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲同学的成绩为102分，原数据的平均分为102分，
∴平均分不变.
∵数据的个数增加，各数据与平均数差的平方的和保持不变，
∴方差变小.
故选C.
【分析】根据平均数及方差的计算方法作出判断。
5．八年级六位数学老师今年的年龄(单位：岁)分别为28，30，30，38，50，52，则与5年前这六位老师的年龄数据相比，没有改变的是( )
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．众数
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 六位数学老师今年的年龄(单位：岁)分别为28，30，30，38，50，52，
∴其平均年龄为=45.6岁，中位数为=34，众数为30，方差=≈152.4
五年前六位数学老师的年龄(单位：岁)分别为23，25，25，33，45，47，
∴其平均年龄为=39.6岁，中位数为=29，众数为25，方差=≈152.4，
因此中位数、平均数、众数都发生了变化，方差不变，
故答案为：A.
【分析】根据前后两组数据的中位数、平均数、众数、方差变化情况作答.
6．在某届国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名.我国参赛选手比赛成绩方差的计算公式为： 下列说法中错误的是 ( )
A．我国一共派出了6名选手
B．我国选手的平均成绩为38分
C．我国选手比赛成绩的中位数为38分
D．我国选手比赛成绩的团体总分为228分
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 参赛选手比赛成绩方差的计算公式为：
∴参赛选手有6位，且平均分为38分，
∴团体总分为6×38=228分，
因此A、B、D正确，而C选项无法确定.
故答案为：C.
【分析】根据 知参赛选手人数及平均数，从而对选项作出判断即可.
7．方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，x ，可用如下算式计算方差： 其中“3”是这组数据的 ( )
A．最小值 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：在 平均数=3，
故答案为：B.
【分析】根据方差的计算方法作答.
8．（3.3离差平方和与方差（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（ )。
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
【答案】B
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：总离差平方和是数据中所有观测值与总体均值的离差平方和.当数据被分为两组后，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和.因此，计算总离差平方和时需将两组的离差平方和相加.
故答案为：B.
【分析】根据总离差平方和的定义解答即可.
二、填空题
9．（2025八下·乐山期末）四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选 ．
甲 乙 丙 丁
平均环数 7 8 8 7
s2 1 1 1.2 1.8
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵7<8，
∴乙、丙两人的平均成绩最好，
∵1<1.2，
∴乙的波动更小，
∴应选乙．
故答案为：乙．
【分析】先比较平均数，确定乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
10．（2025八下·五华期末）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，
，
两种小麦长势更整齐的是甲.
故答案为：甲．
【分析】根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差即可求解．
11．一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是 .
【答案】6
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是(1+1+2+2+4)÷5=2，
∴ 离差平方和为
故答案为：6.
【分析】先求出平均数，然后根据离差平方和的定义解答即可.
12．已知一组数据的离差平方和D2=（x1－)2＋（x2－)2＋…＋（x10－)2=50，则这组数据的方差S2= .
【答案】5
【知识点】方差；离差平方和
【解析】【解答】解： ]，
故答案为：B.
【分析】直接利用方差公式计算.
13．（2025八下·江门期末）当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业，某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，下表记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：km）与续航里程的方差：
车型 A款 B款 C款 D款
均续航里程/km 420 420 410 400
方差 0.03 0.06 0.03 0.05
根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投人市场，应该选择 款车型.
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：步骤1：分析平均续航里程
A、B车型平均续航为420 km (最高)，D车型平均续航为400 km
C车型平均续航为40 km (明显异常，可能数据有误，但按题目数据处理)
步骤2：筛选平均续航长的车型
优先保留A、B车型(平均续航最高) ；排除C车型(续航过低)，D车型(续航次之)。
步骤3：比较方差
A车型方差为0.03 (最小)，B车型方差为0.06
因此，A车型在续航稳定性上更优
故答案为：A.
【分析】平均续航里程反映车型的续航能力水平，数值越大代表续航越强；方差反映数据的稳定性，方差越小代表续航表现越稳定；需要先筛选出平均续航里程长的车型，再在其中选择方差最小的车型，由此判断即可解答.
三、解答题
14．校篮球队的五名主力队员的身高(单位： cm)分别是176， 180， 184， 190， 190，若按前3后2分成两组，求组间离差平方和.
【答案】解： ， ，即组间离差平方和为120
【知识点】离差平方和
【解析】【分析】根据组间离差平方和的定义即可求出答案.
15．（2024八下·涪城期末）甲、乙两名运动员在次百米赛跑训练中的成绩单位：秒如下：
甲：，，，，，
乙：，，，，，
（1）求甲、乙两运动员训练成绩的平均数；
（2）哪名运动员训练的成绩比较稳定？并说明理由．
【答案】（1）解：秒，
秒
（2）解：乙运动员训练成绩稳定，理由如下：
；
；
，
乙运动员训练成绩稳定．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】(1)分别求出甲乙两组数据的平均值即可；
（2）由方差公式分别求出甲乙的方差，比较即可知甲乙成绩的稳定性.
16．（2024八下·北仑期中） 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
乙组成绩统计图
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；
（2）请求出乙组成绩的平均数；
（3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定．
【答案】（1）8.5；8
（2）解：根据加权平均数的公式，得
（3）解：乙组的平均数是8.5，
∴其方差为：
，故乙组更加稳定些．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）将甲组成绩按照从小到大的顺序排列，排在最中间的两个成绩是8和9，
∴甲组成绩的中位数是.
由图可知成绩为8的人数是最多，
∴乙组成绩的众数是8.
【分析】（1）根据中位数的定义（把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数）即可求出甲组的中位数，根据众数的定义（所有数据中出现次数最多的就是众数）即可求出乙组的众数.
（2）根据加权平均数的公式即可求出答案.
（3）先求出乙组的平均数，根据平均数求出其方差，再利用方差越小越稳定即可比较出哪组成绩稳定.
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