山东省滨州市邹平二中2025-2026学年第二学期学情调研数学试题（扫描版，含答案）

2024级 2025-2026学年第二学期学情调研数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
1. (x 1)10 的展开式的第 4项的系数是 ( )
A. C310 B. C
3
10 C. D. C
4
10
2.若C x C2x 1 *13 13 (x N )，则 A
x
5 ( )
A. 5 B. 20 C. 60 D. 120
3.已知 f (x) 为 f (x)的导数，且 ，则 )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.已知函数 f (x)的导函数为 f (x) ，若 ，则 )
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
5.用 4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有( )
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种
6.已知函数 f (x) aex ln x在区间 (1,2)上单调递增，则 a的最小值为( )
A. e2 B. e C. e 1 D. e 2
7.有 6本不同的书，全部分给 4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( )
A. 1440种 B. 1560种 C. 1920种 D. 5760种
0, 8.定义在 上的函数 f (x)， 是 f (x)的导函数，且 恒成立，则 ( )
2
f (x) f (x) tanx f (x)

f 2f 3 f f A. 6
B. 4 6 3
f 3f 2 f 3f C. D.
6 3 6 4
第 1页，共 4页
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是 ( )
A.将 5封信投入 3个邮筒，不同的投法共有 35 种
B.有三个参观名额，要在 5人中确定 3人去参观，不同方法的种数是 60
C.从 6男 4女中选 4人参加比赛，若 4人中必须有男有女，则共有 194种选法
D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有 12种排法
1
10.已知函数 f (x) x3 3x 4， x [ , 2]，则下列选项中正确的是 ( )
2
A.函数 f (x)
1
在区间[ , 2]上单调递增
2
B.函数 f (x)在的值域为 [2,6]
C.函数 f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y 3x 4
D.关于 x的方程 f (x) a有 2个不同的根当且仅当
11.已知函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， ，则 ( )
A.若 x1， x2是 f (x)的两个极值点，则 f x1 f x2 0
B. x R，都有 f x 1,1
C. f x 0的解集为 1,0 1,
D. f (x)的单调递增区间是 2,0 和 0,2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.函数 f (x) ln x ax2 2在 [1,2]内存在单调递增区间，则 a的取值范围是 .
13.甲、乙、丙、丁、戊、己 6名学生进行某种劳动技能比赛，决出第 1名到第 6名的名次 (没有
同分或者并列的情况 ).甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿
到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有 种
不同的情况． (用数字作答 )
14.已知过点 A(a,0)作曲线 y (1 x)ex的切线有且仅有 1条，则 a .
第 2页，共 4页
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13分 )
n
1
已知 x 2 4 x
的展开式中，前三项的系数成等差数列．

(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项．
16. (本小题 15分 )
5
如图，将一张长为 a、宽为 a的矩形铁皮的四角分别裁去一个大小相同的小正方形，然后折起，
8
可以做成一个无盖长方体容器.设截去的小正方形的边长为 x，所得容器的体积为V .
(1)将 V表示为 x的函数
(2)x为何值时，体积 V最大 求出最大体积.
17. (本小题 15分 )
已知函数 f (x) ln x.
(1)求函数 y f (x) x的单调区间；
(2)求证：函数 的图象在 x轴上方.
第 3页，共 4页
18. (本小题 17分 )
2
已知函数 f (x) (x 1)ex ax 1， a R ， e 2.718…为自然对数的底数.
2
(1)若 a 1，求 f (x)的零点；
(2)讨论 f (x)的单调性；
(3)当 x ( ,1]时， f (x) 0，求实数 a的取值范围.
19. (本小题 17分 )
f (x) 1已知函数 ax2 (a 1)x ln x， a R.
2
(1)讨论 f (x)的单调性;
(2)当 a 0时，证明： f (x) 2 3 ;
2a
(3) 2若函数 F(x) ax2 x f (x)有两个极值点 x1， x2 (x1 x2 )，求 F (x1) F (x3 2
)的取值范围.
第 4页，共 4页
2024 级 2025-2026 学年第二学期学情调研数学试题
【答案】1. A 2. D 3. B 4. D 5. C 6. C 7. B 8. C
1
9. ACD 10. BC 11. ABD 12. ( , ) 13. 384 14. 1或 3
2
1.由题可得展开式通项为 T C r x10 rr 1 10 ( 1)
r (r 0,1,2, ,10)，
r 3 T C3 x7 1 3令 ，得 3 74 10 C10x ，所以 (x 1)10的展开式的第 4项的系数是 C310.
2.因为C x C2x 113 13 ，由组合数的性质可得 x 2x 1 13，解得 x 4，故 Ax A45 5 5 4 3 2 120.
f (2) lim f (2 x) f (2) 2 lim f (2 x) f (2) =- 1 lim f (2 x) f (2) 13. =- f (2)=-1. x 0 x x 0 2 x 2 x 0 x 2
4.解：由 f (x)=-f ( 1)x3 2x2 2得 f (x)=-3 f ( 1)x2 4x，
所以 f ( 1)=-3 f ( 1)( 1)2 4 ( 1)，即 f ( 1)=-3 f ( 1) 4，解得 f ( 1)=-1，
所以 f (x) x3 2x2 2，则 f (2) 23 2 22 2 14，故选：D
5.对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有 4 3 2=24种涂色方法，对于④，与②③相
邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共 2种涂色方法，则由分步乘法计数
原理得 24 2=48种不同的涂色方法.故选：C
x 16. x
1
解：对函数 f (x)求导可得， f (x) ae ，依题意， ae 0在 (1,2)上恒成立，
x x
即 a 1 在 (1,2)x 上恒成立，xe
1 g (x) (e
x xex ) ex (x 1)
设 g (x) x , x (1, 2)，则 xe (xex )2
，
(xex )2
易知当 x (1, 2)时， g (x) 0，则函数 g(x)在 (1,2)上单调递减，
1
则 a g (x)max g (1) e 1.故选：C.e
7.解：先将 6本书进行分为 4组，每个学生至少一本，有1,1,2,2和1,1,1,3两种情况，
1 1 2 2
其中分为1,1,2,2
C C C C
的情况有 6 5 4 2
4
2 2 A4 1080种，A2 A2
答案第 1页，共 8页
C1C1C1C3
分为1,1,1,3 6 5 4 3 4的情况有 3 A4 480种，故不同的分法种数为1080 480 1560.故选： B.A3

8.因为 x 0, 时， cosx 0，所以 f (x) - tan x f (x)可化为 f (x) tanx f (x) 0，
2
g(x) f (x) x 0,
g (x) f (x)

f (x)cosx f (x)sinx f (x) tanx f (x)
设 ， ，则 0 ，
cosx 2 cosx cos 2x cos x

所以函数 g(x)在 0,
g g g 上的单调递减，因为 ，所以

2 6 4 3 6 4
，
3
f f f
6 4 3 2 3 f 2f 2f 所以 ，即 ，
cos 3
6 4 cos cos 3
6 4 3
6
对于 A：因为 f f6 2
，A选项 f 2f 不一定成立；
4 6 4



对于 B：因为 3 f 3f ，B选项 3 f f 不一定成立；
6 3 6 3
f 3f 2 f 对于 C： 成立；对于 D： 3f ，D选项不成立；故选：C.
6 3 6 4
9.解：对于 A，将 5封信投入 3个邮筒，每封信均有 3种投法，
故不同的投法共有 35 种，故 A正确；
对于 B，参观名额相同，只需从 5人中选出 3人即中，方法数为C35 10 种，故 B错误；
对于 C，从 6男 4女中选 4人参加比赛，若 4人中必须有男有女，
包含的类别有 1男 3女，2男 2女，3男 1女，即C16C
3 C24 6C
2 C34 6C
1
4 194 ，故 C正确；
对于 D，先将丙丁两人全排列有 A22 2 种，排好后有 3个空位，
再将甲乙两人安排到两人的空位中有 A23 6 种，由分步计数原理可得总的方法数为 2 6 12 种
1
10.解：因为函数 f (x) x3 3x 4， x [ , 2]，
2
则 f (x) 3x2 3，令 f (x) 0 ，即 3x2 3 3(x 1)(x 1) 0，解得 x 1或 x 1( 舍 )，
1
当 x ( ,1)时， f (x) 0 ，则函数 f (x)单调递减，
2
当 x (1, 2)时， f (x) 0 ，则函数 f (x)单调递增，
答案第 2页，共 8页
所以 x 1时，函数有极小值也是最小值，即 f (1) 1 3 4 2，
1
对于 A、函数 f (x)在区间 ( ,1)递减，在 (1,2)递增，故 A错误；
2
f 1 21对于 B、因为 , f (2) 6，则函数 f (x)在的值域为 [2,6]，故 B正确；
2 8
对于 C、因为 f (0) 3，f (0) 4，所以函数 f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y 4 3(x 0)，
即 y 3x 4，故 C正确;
对于 D、关于 x的方程 f (x) a有 2个不同的根，则 y a和 f (x)的图象有两个不同的交点，
21
所以 a (2, ]，故 D错误.故选 BC.
8
11. x 0 f x e x x 1 f x e x x 1 e x e x解：当 时， ，此时 2 x ，
当 0 x 2时， f (x) 0，所以 f (x)在 0, 2 上单调递增，
当 x 2 时， f (x) 0，所以 f (x)在 (2, )上单调递减，
故当 x 2时， f (x)取极大值，
由于 f (x)是定义在 R上的奇函数，则 x 2时， f (x)取极小值，
所以 f 2 f 2 0，故 A正确；
f 2 e 2 ，且当 x 0 , f x 1，当 x 1时， f x 0，
1
因此当 x 0时， f x 1,e ,结合 f (x)是定义在 R上的奇函数，
故 x R，都有 f x 1,1 ，故 B正确；
作出 f (x)的大致图象：
对于 C，由图象可知： f x 0的解集为 1,0 1, ,故 C错误；
对于 D， f (x)的单调递增区间是 2,0 和 0,2 ，故 D正确.故选： ABD.
12.解：函数 f (x) ln x ax2 2，求导得 f (x)
1
2ax，
x
由函数 f (x)在 [1,2]内存在单调递增区间，得不等式 f (x) 0 在 (1,2)内有解，
答案第 3页，共 8页
f (x) 0 a 1不等式 2 ，而函数 y
1
2 在 (1,2)上单调递增，2x 2x
当 x (1, 2)
1 1 1 1
时， 2 ，因此 a ，所以 a的取值范围是 ( , ).2x 2 2 2
13.解：由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四、五名 4种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有 4种情况，
其他三名同学排在三个位置，全排列有 A44 种，由分步乘法计数原理可知共有 4 4 A
4
4 384 种．
14.解：过 A(a,0)作切线，设切点为 P(x , y )， y ex (1 x)ex x x00 0 xe ， kPA x0e ，
(1 x )ex0
0 x ex00 ，整理为 x20 (a 1)x 1 0，x a 00
过点 A(a,0)作曲线 y (1 x)ex的切线有且仅有 1条，即关于 x0 的方程有两个相等的实数根，
则 (a 1)2 4 0 ，解得 a 1或 a 3.
15.解： (1)
1 l 1 2
由二项展开式知，前三项的系数分别为C0n ， C2 n
， Cn ， 由已知得4
2 1 C1 1 C 0 C 2n n n ， 解得 n 8(n 1舍去 ).2 4
8 r 3r
(2) x 1 的展开式的通项T C r ( x )8 r 1
4
r 1 8 2
rC r 4
2 4 x 2 4 x 8
x (r 0,1, ,8)，要求有理项，

4 3r则 35 1必为整数，即 r 0，4，8，共 3项，这 3项分别是T 41 x ，T5 x，T9 2 .4 8 256x
5
16.解： (1)由题意知，长方体容器的长、宽、高分别为 a 2x， a 2x，x，
8
容器的体积V (a 2x)(
5 a 2x)x，
8
5 5
令 a 2x 0， a 2x 0， x 0，可得 0 x a，
8 16
V (x) (a 2x)(5 a 2x)x 4x3 13 ax2 5 5故函数 a2x， 0 x a；
8 4 8 16
(2) (1) V (x) 12x2 13由 知 ax
5
a2，
2 8
令V (x) 0 x
1
，得 1 a x
5a
，
8 2
(舍去 ).
12
答案第 4页，共 8页
0, 1 a 1 a 1x a,
5 a
8 8 8 16
V x + 0 -
V(x) 单调递增极大值 单调递减
1 a 9a3 5
因此， x a是函数V (x)的极大值点，相应的极大值V ( ) ，也是V (x)在区间 (0, a)上
8 8 256 16
的最大值.
1 9a3
答：截去的小正方形边长为 a时，容器的体积最大，最大体积为 .
8 256
1 1 x
17.解： (1)y 1 (x 0)，令 y 0，得 x 1，
x x
当 0 x 1时， y 0， 函数在 (0,1)上单调递增；
当1 x时， y 0 ， 函数在 (1, )上单调递减；
即 y f (x) x的单调递增区间是 (0,1)，单调递减区间是 (1, )；
(2)证明： g(x) ex e2 ln x(x 0)，
g (x) e
2
ex ，易知 g (x)单调递增，
x
2 2
又 g (1) e e e e2 0， g (2) e2 0，
2 2
2
在 (0, )上存在 x0 (1,2)，使得 g x0 e
x e 0 0
x ，0
2
即 ex
e
0
x ，且
ln x0 x0 2，
0
当 x 0, x0 ，有 g (x) 0, g(x)单调递减，
当 x x0 , ，有 g (x) 0, g(x)单调递增，
e2 2
g(x) g x e x0 e 2 ln x e 2x 2e 2 x 0 2x0 1e 20 0 0 ，x 00 x0
答案第 5页，共 8页
g(x) ex e2 ln x 0， 函数 g(x) ex e2 f (x)的图象在 x轴上方.
x2
18. (1)若 a 1，则 f (x) (x 1)ex 1， f (x) xex x x(ex 1)，
2
当 x ( , 0)时， ex 1 0， f (x) 0 ；当 x (0, )时， ex 1 0， f (x) 0 ，
所以 f (x)在 ( , ) 上单调递增．
又因为 f (0) 0，所以 f (x)的零点为 x 0.
(2) f (x) x(ex a)，
①若 a 0，由于 e x a 0，令 f (x) 0 ，则 x 0，
当 x ( , 0)时， f (x) 0 ， f (x)在 ( ,0)上单调递减；
当 x (0, )时， f (x) 0， f (x)在 (0, )上单调递增．
②若 0 a 1，令 f (x) 0 ，则 x 0或 x ln a，且 ln a 0，
当 x ( , ln a)时， f (x) 0， f (x)在 ( , ln a)上单调递增；
当 x (ln a, 0)时， f (x) 0 ， f (x)在 (ln a, 0)上单调递减；
当 x (0, )时， f (x) 0， f (x)在 (0, )上单调递增．
③若 a 1，由 (1)知， f (x)在 ( , ) 上单调递增．
④若 a 1，令 f (x) 0，则 x 0或 x ln a，且 ln a 0，
当 x ( , 0)时， f (x) 0， f (x)在 ( ,0)上单调递增；
当 x (0, ln a)时， f (x) 0 ， f (x)在 (0, ln a)上单调递减；
当 x (ln a, ) 时， f (x) 0， f (x)在 (ln a, )上单调递增．
综上，当 a 0时， f (x)在 ( ,0)上单调递减，在 (0, )上单调递增；
当 0 a 1时， f (x)在 ( , ln a)， (0, )上单调递增，在 (ln a, 0)上单调递减；
当 a 1时， f (x)在 ( , ) 上单调递增；
答案第 6页，共 8页
当 a 1时， f (x)在 ( ,0)， (ln a, )上单调递增，在 (0, ln a)上单调递减．
(3)由 (2)知，
当 a 0时， f ( 1) f (0) 0 ，不满足题意；
当 0 a 1时， ln a 0， f (ln a) f (0) 0 ，不满足题意；
当 a 1时， f (1) f (0) 0，不满足题意；
当1 a e时， ln a 1， f (x)在 ( ,0)上单调递增，在 (0, ln a)上单调递减，在 (ln a,1]上单调
递增；
f (0) 0 0
若 f (x) 0对 x ( ,1] 恒成立，则 a ，解得 2 a e；
f (1) 1 0 2
当 a e时， ln a 1， f (x)在 ( ,0)上单调递增，在 (0,1]上单调递减，
所以 f (x) f (0) 0 0，所以 a e满足题意．
综上所述，实数 a的取值范围为 [2, ).
19.解： (1)函数 f (x)的定义域为 (0, )，
f (x) ax a 1 1 (x 1)(ax 1) ，
x x
若 a 0，当 x (0, )时， f (x) 0 ， f (x)单调递减;
1
若 a 0，当 x (0, )时， f (x) 0 ， f (x)单调递减，
a
1
当 x ( , )时， f (x) 0 ， f (x)单调递增，
a
综上，当 a 0时， f (x)在 (0, )上单调递减;
当 a 0时， f (x)在 (0,
1 ) 1上单调递减，在 ( , )上单调递增；
a a
(2) (1) f (x) x 1 f (1 ) 1 1 1由 知，当 a 0时， 在 处取得最小值 ln ，
a a 2a a
所以要证 f (x) 2 3 1 1 3 1 1 ，只需证1 ln 2 ，即 ln 1 0，
2a 2a a 2a a a
设 g(x) x ln x 1
1
，则 g (x) 1 ，
x
答案第 7页，共 8页
当 x (0,1) 时， g (x) 0，当 x (1, )时， g (x) 0，
所以 g(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，
所以当 x 1时， g(x)取得最小值 g (1) 0，
所以当 x 0时， g (x) 0.
1 1 3
所以当 a 0时， ln 1 0，即 f (x) 2 成立；
a a 2a
2
(3)F (x) ln x a x2 ax ax ax 1的定义域为 (0, )，导函数 F (x) ，
2 x
因为 F (x)有 2个极值点 x1， x2 (x
2
1 x2 )，3
所以方程 ax2 ax 1 0 的判别式 a2 4a 0，
x x 1 x x 1且 1 2 ， 1 2 0，a
F (x ) F (x ) a ln x x21 2 1 1 ax1 ln x
a
2 x
2
2 ax2 2 2
ln x1 a (x21 x
2 x1 a 2
2 ) a(x1 x2) ln (x1 x
2
2 ) a(x1 x2)(x xx 2 x 2 1 2
)
2 2
x a x 1 x2 ln 1 (x2 x2 ) ln 1 ( 1 x
2
2 ln x 1 ) 1 (
x1 x 2
x 2 1 2
)
2 x2 2 x1x2 x2 2 x2 x
，
1
x1
令 t ，因为 0 x1 x
2
x 2
，
2 3
2 1
所以 0 x1 x2 (x1 x2 )，可得 t 1，3 2
设 h(t) ln t
1
(t 1 )(1 t 1)，
2 t 2
h (t) 1 1 1 2t t
2 1 (t 1)2
则 0，
t 2 2t2 2t2 2t2
1
所以 h(t)在 ( ,1)上单调递减，
2
1
所以 h(1) h(t) h( )，
2
3
所以 F (x1) F (x2 )的取值范围是 (0, ln 2).4
答案第 8页，共 8页