人教A版（2019）高中数学必修第二册 8.4.1 平面 教案（表格式）

课题 8.4.1 平面
教学目标
通过观察生活实例，类比点和直线的概念，形成平面的概念，理解平面的基本特征； 2. 能用图形、文字、符号三种语言来表述基本事实和推论；理解基本事实和推论的本质含义及其作用； 3. 通过对基本事实和推论的探究，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，进一步提升直观想象和数学抽象素养.
教学重点： 对三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示.
教学难点： 对基本事实的理解和集合符号语言表示，对推论的说理证明.
教学过程
一、直观感知，抽象概念 引言：前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.这些元素之间的相互关系，反映了这些多面体的结构特征.实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始. 设计意图: 在老师的引导下回顾前面学习的内容，体会利用多面体的组成元素刻画其特征的方法.进而从多面体的组成元素提出立体图形的组成元素，引出本节课学习内容. 问题1: 对于点和直线，我们在平面几何中已经有所了解.那么，什么是点 什么是直线 进一步地，你知道什么是平面吗 师： 我们都知道点和线是由现实事物抽象得到的，比如说一个乒乓球，可以抽象为一个点，一根直尺可以抽象为一条直线；同样平静的海面，课桌面，黑板面等都给我们以平面的直观感觉，几何里所说的“平面”就是从这样一些物体中抽象出来的.点，直线，平面都是不加定义的最基本的，最原始的几何概念. 追问1：观察生活中的平面，类比直线，你能得到平面有什么特征吗 师：直线自然是直，可以向两端无限延伸；类比过来，黑板面、桌面、水面等就是平的，可以向四周无限延展，没有边界. 设计意图：类比点和直线的概念，引出平面的概念.类比直线的“直”和向两端“无限延伸”的特征，直观感知平面的两个本质特征:平面是“平”的，是“无限延展”的. 追问2：接着，我们来学习平面的表示，想一想，我们是怎么用图形和符号表示点和直线的 类似地，如何用图形和符号表示平面 师：与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面，我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.如图，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向. 平面可以用用希腊文字 α、β、γ 等表示，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母表示.则平面可以表示为平面 α，也可以表示为平面 ABCD 或平面AC. 设计意图: 类比点和直线的图形和符号表示给出平面的图形和符号表示，使学生感悟数学研究方法的特点和一致性.平面的图形表示实际也是其直观图表示，也可以进一步发展学生直观想象素养. 二、操作确认，探究性质 问题2: 如何研究平面的性质，从而刻画它的基本特征呢 对于这种最原始的几何概念，我们可以通过已经熟悉的基本概念，比如点，直线.利用点与平面，线与平面，平面与平面之间的位置关系来进行刻画. 设计意图：通过这个问题让学生明确通过研究基本元素之间的位置关系来刻画基本元素特征的方法. 追问：如何用三种语言来描述一个点，一条直线，一个平面之间的关系 师：点动成线，线动成面，若点是元素，我们可以将直线平面都看成点的集合.这样就可以用集合的符号来表示点线面的位置关系.并强调线面关系用包含. 设计意图：从本节开始，描述定义，定理，性质时，开始借助集合语言描述几何对象的关系，学生比较陌生，这样设计有利于训练学生正确地认识和描述空间的几何图形. 问题3:我们知道两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面呢 师：教师借助GeoGebra展示过一个点，过两个点，过同一直线上的三个点确定的的平面都有无数多个.最后发现只要三个点不共线就能确定一个平面.接着列举了生活实例，得到基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有其只有一个平面. 教师指出基本事实1给出了一个确定平面的依据；其中有且只有的含义是，有表示存在，只有表示唯一，也可以简单说成不共线的三点确定一个平面；基本事实是公认的真命题 ，不需要证明. 追问: 我们如何用数学上的图形语言和符号语言表示这个基本事实呢 师：展示图形语言和符号语言，并强调符号语言的读法. 设计意图: 类比确定直线的问题提出确定平面的问题，得到“不共线的三点确定一个平面”的基本事实1，并给出其图形表示以及点和直线、平面之间位置关系的集合符号表示.实际上，平面的三个基本事实表述的就是点、直线、平面这三个不加定义的概念之间的关系.基本事实1是点和平面的位置关系，也是确定平面的问题，要注意让学生体会到这一点. 问题4: 基本事实一刻画了点与平面的位置关系.我们接下来研究直线与平面的位置关系.如果直线 l 与平面 α 有一个公共点，直线 l 是否在平面 α 内 如果直线 l 与平面 α 有两个公共点呢 师生互动：请同学们思考上面问题，并用课前准备的三角尺进行操作确认. 师：下面我们结合生活中的一些例子来解答这个问题.笔与桌面有一个公共点，但笔却不在桌面内，也就是说，如果直线 l 与平面 α 有一个公共点，直线 l 不一定在平面 α 内.一根直尺边缘上的任意两点落在桌面上，那么直尺的整个边缘都落在桌面上.我们将桌面抽象为平面 α，将直尺的边缘抽象为一条直线,则可以得到这样一个基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.利用这个基本事实可以确定直线是否在平面内. 展示图形语言和符号语言，并强调符号语言的读法. 设计意图：基本事实2反映了直线和平面的关系，从基本事实1的“点与平面的关系”到基本事实2的“直线与平面的关系”，明确了研究目标，也反映了研究平面的思路，体现了立体几何的研究方法. 追问：基本事实2反映了直线与平面的位置关系.我们能不能利用这种位置关系，用直线的直和无限延伸刻画平面的平和无线延展呢 师：下面我们一起看个动画，体会如何用直线的直和无限延伸来刻画平面的平和无限延展.动画：给出不共线的的三点 A, B, C，由基本事实1，它们可以确定一个平面 ABC.连接 AB, AC， BC. 由基本事实2，这三条直线都在平面 ABC 内.进而连接这三条直线上任意两点所得的直线也都在 ABC 平面内.所有这些直线编织成一个直线网，可以铺满平面 ABC，组成这个直线网的直线的直和向各个方向的无限延伸，说明了这个平面的平和无限延展. 设计意图：结合基本事实1和2，用直线的“直”和“无限延伸”的基本特征说明平面的“平”和“无限延展”的基本特征.这也说明对于不加定义的“平面”概念，就是用刻画它的基本事实说明其基本特征的，从而也加深对于平面概念的理解. 问题5：基本事实1和2，分别从点与平面，直线与平面的关系的角度对平面进行了刻画.接下来我们从平面与平面的关系的角度进一步对平面进行刻画. 思考下面问题：把三角尺的一个角立在桌面上，三角尺所在的平面与课桌面所在的平面，是否只相交于一点呢 为什么 师生互动：请同学们思考上面问题，并用课前准备的三角尺进行操作确认. 师：教师借助GeoGebra将三角尺所在的平面无限延展，用它穿透桌面，可以看到两个平面相交于一条直线.我们将桌面抽象为平面 α，将三角尺所在的平面抽象为平面 β.可以得到基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点.那么他们有且只有一条过该点的公共直线. 在用图形语言描述时，教学生如何画两个相交平面：第一步先画两条相交直线作为边缘线，第二步作出两平面的交线，第三步作出交线的平行线，最后完善平行四边形.看不到的画虚线或不画.符号语言强调两个相交平面的写法. 追问：类比基本事实2，你能说明基本事实3是如何进一步刻画平面的平和无限延展的吗 师：基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面就有无数个公共点，它进一步为我们刻画了平面的无限延展. 同时这无数个公共点形成一条直线，而不是曲线.又一次为我们刻画了平面的平. 设计意图：按照点与平面、直线与平面、平面与平面关系的研究思路，提出利用平面与平面的关系刻画平面的问题，从而结合生活中的实例，归纳得出基本事实3.基本事实3反映了两个平面的位置关系，对于两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线. 小结：上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础. 三、应用性质，得出推论 问题6：基本事实1给出了确定一个平面的一种方法.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，你还可以得到哪些确定一个平面的方法呢 师：基本事实1，告诉我们不共线的三个点可以确定一个平面， 那么如果我连接 A 点和 B 点，将会得到一条直线，我们会发现一个新的推论，那就是经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. 同样，如果我们连接 AB 两点，连接 BC 两点，我们又发现了一个新的推论.经过两条相交直线，也有且只有一个平面. 当然.我们还可以这样来.连接 AB 两点.并且过点 C做 AB 的平行线，我们会发现，经过两条平行直线，有且只有一个平面，这就是推论3. 追问:我们知道，确定一个平面包括存在性和唯一性两个方面，对于你得到的方法，你能从这两方面说明道理吗 师：给出推论一的图形语言和符号语言以及严谨的证明. 证明：设点 A 是直线 a 外一点，在直线 a 上任取两点 B，C， 根据基本事实1，经过不共线的三点 A，B，C 确定一个平面 α. 因为A∈a，B∈α， 再由基本事实2，直线 a 也在平面 α 内， 因此平面 α 经过直线 a 和点 A 又根据基本事实1，经过不共线三点 A，B，C 的平面只有一个， 所以经过直线 a 和点 A 的平面只有一个. 设计意图：三个基本事实和三个推论，在后续的直线、平面位置关系的研究中发挥着基础作用.本活动引导学生从基本事实得到它们的三个推论，在这一过程中，进一步体会关于直线、平面的基本事实在得到确定平面的结论中的作用，由于推论的证明涉及存在性和唯一性两个方面，学生初次接触这样的证明比较困难，教学中采用说理的方式让学生确认其正确性即可，不必要求学生写出完整的证明， 四、归纳小结，反思提升 1.平面的三个基本事实各自的意义是什么 三个基本事实和三个推论有什么作用 上述三个基本事实和推论就是平面的基本性质，它们分别从点与面，线与面，面与面关系的角度刻画了平面的基本特征平和无限延展， 这些基本事实和推论是我们解决实际问题的依据，也是今后我们研究几何性质、证明几何命题的基础. 2 .我们是如何得到关于平面的三个基本事实的，由此你对研究组成几何图形基本元素的方法有什么体会 我们都是结合实际例子，从基本事实所描述的现象出发，通过直观感知，操作确认，到理性思考，经历基本事实的归纳和概括过程，确认基本事实所描述的平面性质. 3.我们是如何研究平面概念的 我们是按照背景——概念——性质——应用的路径来研究的，这个路径适用于一般数学概念的研究. 设计意图:通过教师提出问题，教师与学生共同梳理本节所学的主要知识，以及涉及的数学思想方法.体会立体几何的研究内容、思路和方法. 五、布置作业 (1)课本P128的练习第1—4题； (2)课本P131的习题8.4的1，2，6，7，8题.