课件21张PPT。30.1 二次函数第三十章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件1.掌握二次函数的概念；（重点）
2.能识别一个函数是不是二次函数； (重点)
3.能根据实际情况建立二次函数模型.（难点）情景引入导入新课 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0 (a≠0) 请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm );(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y；讲授新课探究归纳(3)一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2).1113x1. y =πx22. y = 2(1+x)23. y= (60-x-4)(x-2)=2x2+4x+2=-x2+58x-112上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征?经化简后都具有y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, )的形式.a≠0一般地，表达式形如 y=ax2+bx+c (其中a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数.二次函数的一般式为 y=ax2+bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0) ，其中a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项;c为常数项.
二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题（3）中，2＜x＜56.要点归纳1.下列函数中,哪些是二次函数?先化简后判断是不是是不是2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
(3)y=-2(x+3)2.解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
3.（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（ ）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式．解：（1）y=x2;
(2) y=(4+x)(3+2x).
例：关于x的函数 是二次函数, 求m的值.注意:二次函数的二次项系数不能为零.解：根据题意得m+1≠0且 m2-m=2，解得m=2.典例精析 1. 函数 （m 为常数）．
（1）当 m ______时，这个函数为二次函数；
（2）当 m ______时，这个函数为一次函数．≠ 2= 22.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子.（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值；（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.y=2x2+x+3（答案不唯一）y=-5x2+9x+3（答案不唯一） 1.下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y=3x-1 (2) y=3x2
(3) y=3x3+2x2 (4) y=2x2-2x+1
(5) y=x-2+x (6) y=x2-x(1+x)当堂练习解：（2）、（4）是二次函数. 2.填空：
（1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是_________；
（2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛，则比
赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系是____________．S = 4πr 2(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?3.函数y=ax2+bx+c（其中a,b,c是常数），当a,b,c满足什么条件时，a≠0a=0且b≠0a=0,b≠0且c=04．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积y（ ）与正方体棱长x（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（ ）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积y（ ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．定义中应该注意的几个问题: 1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。30.2 二次函数的图像和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质第三十章 二次函数1.正确理解抛物线的有关概念；（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图像，概括出图像的特点；
(难点)
3.掌握形如y=ax2的二次函数图像的性质，并会应用.（难点）问题1 我们学过哪些函数？研究这些函数是从哪几个方面入手的？我们要研究二次函数应该从哪几个方面入手呢？
问题2 函数图像的画法是什么？一般步骤有哪些？导入新课回顾与思考o9解：（1）列表：（2）根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）;－333690149149（3） 如图，再用平滑曲线顺次连接各点， 就得到y = x2 的图像．画二次函数 y=x2的图像.336xy讲授新课－33o369当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：xy二次函数 的图像形如物体抛射时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.例1：画二次函数 的图像.描点和连线：画出图像在y轴右边的部分，再利用对称性画出y轴左边的部分.解：列表－2－424－2－4这样我们得到了
的图像，如图xyo典例精析 观察 的图像跟实际生活中的什么相像？的图像很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线.－2－424－2－4xyo 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为 的图像的一段.－2－424－2－4xyo1.y＝x2是一条抛物线;
2.图像开口向上;
3.当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小;
4．图像关于y轴对称;
5．顶点（ 0 ，0 ）;
6．图像有最低点．观察图像y=x2,说说它有哪些特点. －222464－48相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴不同点：a 越大，抛物线的开口越小．归纳：xyo1. 画出函数 的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．－22－2－4－64－4－8相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴.不同点：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．归纳：2.在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2, y= x2 的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．xyo例2：一个二次函数，它的图像的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（-1， ）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当
x＜0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？（1）求这个二次函数的解析式；解：设这个二次函数解析式为
y =ax2，将（-1， ）代入得
y= x2.（2）画出这个二次函数的图像；（3）根据图像指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当
x＜0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？解：当x=0时，y有最小值为0.当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时, y随x增大而减小； 二次函数y= -3x2
(1)图像的开口向 ___，对称轴是 ____，
顶点是______ ，顶点坐标是______.图像有最____点.
(2)当x______时，y随x的增大而增大.
(3)当x______时，y随x的增大而减小.
(4)当x______时，函数y有最_____值________.
下y轴原点（0,0）＞0＜0高=0大01.画出下列函数图像：
（1）y = 2x2 ; （2）y = x2
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2 当堂练习解：画图略.D解：（1）由题意知m≠0，m2+1=2,得m= -1或1；
（2）当m=1时，图像有最低点，最低点的坐标为
（0,0）.此时，当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m= -1时，函数有最大值，最大值是0.此时，x
的值为0.当 x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0
时，y随x的增大而增大. 1.一般地，抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点；
2.当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；
3.对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小；
4.对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．课堂小结 （0, 0）向上向下|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大有最小值0有最大值0当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质30.2 二次函数的图像和性质第三十章 二次函数1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像的性质
并会应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)
之间的联系.（难点）
问题1 二次函数 y = ax 2的图像是什么？
问题2 它们具有怎样的图像特征和性质？
问题3 你是怎么研究的？导入新课回顾与思考我们已学习过二次函数 ,知道它的图像是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．那么 的图像能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．讲授新课画出二次函数 的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．－2－4.5－200－2－2－4.5oxy－8－8向下直线x=-1( -1 , 0 )直线x=0直线x=1向下向下( 0 , 0 )( 1, 0)
a＞0时，开口 , 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ，
顶点坐标是 .向上低向下高直线 x = h( h,0 )知识要点二次函数y=a（x-h)2 的特点向右平移
1个单位想一想
1.抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向左平移
1个单位2.由y=-x2的图像怎样平移得到y=-x2-3的图像.并说明后者图像的顶点，对称轴，增减性.3.由y=2x2的图像怎样平移得到y=2(x-3)2的图像.并说明后者图像的顶点，对称轴，增减性.向下平移3个单位.y=-x2-3的顶点(0,-3),对称轴是x=0(或y轴），在y轴的左侧y随x的增大而增大， 在y轴的右侧，y随x的增大而减小.向右平移3个单位.y=2（x-3）2的顶点(3,0),对称轴是x=3，当 x<3时y随x的增大而减小；当 x>3时，y随x的增大而增大.解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5直线x=－1开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1) 画出函数 的图像.指出其开口方向、顶点与对称轴.
画出函数y= 2（x+1）2-2图像，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向上；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)y= 2（x+1）2-2知识要点二次函数y=a（x-h)2 +k的特点a＞0时，开口 , 最 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最 点是顶点;
对称轴是 ， 顶点坐标是 .向上低向下高直线x=h(h,k)向左平移
1个单位探究归纳怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？平移方法1向下平移
1个单位怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？平移方法2向左平移
1个单位向下平移
1个单位二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2(x- )2图像的对称轴是直线____，顶点是________.
3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图像上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
当堂练习 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 y1 〉y2 〉 y3向上( 1, －2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , －6 )向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3, 5 )y=－3(x－1)2－2y = 4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－64.完成下列表格:5.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?解：由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.6.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
课堂小结二次函数y=a(x-h)2的图像及性质图像性质对称轴是直线x=h;
顶点坐标是（h,0)
a的符号决定开口方向.左右平移平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质图像特点当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是直线x=h,
顶点坐标是（h,k).平移规律左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。30.2 二次函数的图像和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第三十章 二次函数1.会画二次函数一般式 y=ax2+bx+c 的图像；
2.配方法求二次函数一般式 y=ax2+bx+c 的顶点坐标与对称
轴；（重点）
3.掌握二次函数的性质；（重点）
4.二次函数的性质的综合应用.（难点）1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的______ 相同，______不同.形状位置 上加下减左加右减y=a(x-h)2+ky=ax2导入新课回顾与思考2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
（1）当a﹥0时，开口 ， 当a﹤0时，开口 ，向上向下 （2）对称轴是 ；（3）顶点坐标是 .直线x=h(h,k)直线x= –3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7 ）（2，－6）3.完成下列表格问题： 如何画出 的图像呢? 我们知道,像y =a(x-h)2+k 这样的函数,容易确定相应抛物线的顶 点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗？讲授新课问题引导用配方法怎样把函数y= x2-6x+21 转化成y=a(x-h）2+k的形式?提取二次项系数配方整理化简:去掉中括号解：配方你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.根据顶点式 确定开口方向,对称轴,顶点坐标.列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.∵a= > 0,∴开口向上;
对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).7.553.533.557.5描点、连线，画出函数 图像.（6,3）y问题：
(1)看图像说说抛物线 的增减性；
(2)怎样平移抛物线 可以得到抛物线 ？
解：（1）当x＞6时，y随x的增大而增大，
当x＜6时，y随x的增大而减小；
（2）把抛物线 先向右平移6个单位，再向上平
移3个单位即可得到抛物线 .归纳：二次函数 图像的画法：(1)“化” ：化成顶点式 ；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线.求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方.整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.化简:去掉中括号画出二次函数y＝－2x2－4x＋1的图像，并写出函数的对称轴、顶点坐标和最值.解： y＝－2x2－4x＋1
＝-2(x2+2x+1)+3
＝-2(1+x)2 +3根据顶点式y＝－2(x+1)2+3 确定开口方向,对称轴,顶点坐标.列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.∵a=-2＜0,∴开口向下;
对称轴:直线x=-1;顶点坐标:(-1,3).-15-5131-5-15描点、连线，画出函数 y＝－2(x+1)2+3 图像.●●●●●●●（-1,3）Ox48-8-44812y-4-8-12-16y＝－2(x+1)2+31.抛物线 的顶点坐标为（ ）
A.(3,-4) B.(3,4)
C.(-3,-4) D.(-3,4)当堂练习A2.如图，二次函数 的图像开口向上，图像经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴.
(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；
④a+b+c=0.其中正确结论的序号是________.
(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;
④a＞1.其中正确结论的序号是__________. ① ④② ③(2)直线 是二次函数 的对称轴；顶点坐标是( ).
1.一般地，我们可以用配方法将 配方成课堂小结2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 见《学练优》本课时练习课后作业课件13张PPT。30.3 由不共线三点的坐标
确定二次函数*导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件第三十章 二次函数1.通过对待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式
的方法；（重点）
2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系
式.(难点)问题1 一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几
个点的坐标求出它的解析式？问题2 求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写解析式）导入新课回顾与思考思考 二次函数有几个待定系数？能用待定系数法求其解析式吗？例1:已知三点A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，求由这三点所确定的二次函数表达式.待定系数法讲授新课典例精析解得所求二次函数的表达式为 .例2：二次函数的图像过点A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x=3，求二次函数的表达式.解：∵二次函数的对称轴为直线x=3∴二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k解得 a=1， k=-4∴二次函数的表达式y=(x-3)2-4即 y=x2-6x+5例3 ：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求二次函数的表达式. 小结：
已知定点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时，优先选用顶点式.解：∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又 ∵抛物线 过点（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3例4：已知二次函数与x轴两交点横坐标为1，3，且图像过（0，-3），求二次函数的表达式.由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3解：∴ 设y=a(x-1)(x-3).∴ a(0-1)(0-3)=-3,
∴a=-1∵图像经过（0，-3）∴ y=-(x-1)(x-3),
即 y=-x2+4x-3.二次函数关系式有三种表达方式：一般式： y＝ax2 ＋ bx＋c (a≠0) 顶点式：y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k (a≠0) 交点式：y ＝ a(x -x 1) (x -x2 ) (a≠0) (1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c (a≠0);
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k (a≠0);
(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)
可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0). 根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的表达式：
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图像经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
当堂练习解:∵该图像经过点（-2,8）和（-1,5），
∴{ 解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.8=4a-2b，5=a-b，2．已知二次函数的图像经过原点，且当x＝1时， y有最小值－1， 求这个二次函数的表达式．
解:∵当x=1时，y有最小值-1，
∴可设该二次函数的表达式为y=a(x-1)2-1.
又∵该函数图像经过原点，
∴0=a(0-1)2-1，a=1,
∴y=(x-1)2-1=x2-2x.3. 已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与 x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A 、C的坐标分别为 (8，0) 、(0，4)，求这个抛物线的表达式．解：∵抛物线的对称轴是过（3,0）的直线，
与y轴交于点C（0,4），
∴设该抛物线的解析式为y=a(x-3）2+b.
又∵A、C点的坐标分别为（8,0）、（0，4），
∴{ 解得
0=a(8-3)2+b,4=a(0-3)2+b,2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k，将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．1.求二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值，由已知条件列出关于a，b，c的方程或方程组，求出a，b，c，就可以写出二次函数的表达式．3.当给出与x轴的两个交点，可设交点式y ＝ a(x - x2)(x -x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。30.4 二次函数的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件第1课时 抛物线形问题第三十章 二次函数1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.（重点）
2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.(难点）导入新课情境引入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！讲授新课 例1 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？典例精析解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有解得 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.例2 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)4米当 时，
所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.所以水面的宽度增加了 m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为
● (2,-2)设二次函数解析式为 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?4 m4 m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= ∴y= +2；设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= ∴y= +2；知识要点解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 当堂练习1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.23.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米OA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. xy设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0), 点A坐标代入，得a= － 1；当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米.∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 1.25课堂小结实际问题数学模型 （二次函数的图像和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.见《学练优》本课时练习课后作业课件22张PPT。30.4 二次函数的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件 第2课时 实际问题中二次函数的最值问题第三十章 二次函数1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点)
3.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
4.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）导入新课情境引入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？
如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？同学们，你们会算吗？思考：在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.解决生活中面积的实际问题时，你会用到了什么知识？商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.那怎么获取最大利润呢？例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0时，
S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.讲授新课变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例题有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 ＜ x ≤18.问题6 如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确.变式3 用总长度为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行.设AB=x m,当x为多少是，矩形框架ABCD的面积最大，最大面积是多少？解：∵∴ 当x=3时，S有最大值，且S最大=12m2.ADBC 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000典例精析 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元.w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352. 例3 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.3当堂练习3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）4.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.255.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .
每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)
6. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定见《学练优》本课时练习课后作业课件16张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件30.4 二次函数的应用 第3课时 将二次函数问题转化为一元
二次方程问题第三十章 二次函数1.根据题意求出二次函数；(重点）
2.根据给定的函数值，将二次函数转化为一元二次方程求
解；(重点）
3.根据给定的函数值的范围，将二次函数转化为一元二次
不等式或不等式组求解.(难点） 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离.刹车距离是分析和处理道路交通事故的一个重要因素.下面我们一起来分析一交通事故：导入新课情景引入 甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方，同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了.事后经过现场勘察，测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离超过10m，当小于12m.根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为s甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车距离s乙(m)与车速x(km/h)之间的关系为s乙= x.
案例分析讲授新课问题：
（1）甲车刹车前的行驶速度是多少千米/时？甲车是否违章超速？
（2）乙车刹车前的行驶速度在什么范围内？乙车是否违章超速？ 解：（1）由题意，s甲=0.1x+0.01x2，甲车刹车前的行驶速度就是当甲车的刹车距离为12m时的车速，即
s甲=0.1x+0.01x2=12m 解得 x=30或x=－40（舍去）
所以甲车刹车前的行驶速度为30km/h，小于限速值40km/h，
故甲车没有违章超速； （2）由题意，s乙= x，乙车刹车前的行驶速度就是当乙车的刹车距离为10m到12m时的车速，即
10m﹤s乙= x﹤12m 解得 40km/h﹤ x﹤48km/h，
所以乙车刹车前的行驶速度范围为40km/h﹤ x﹤48km/h，大于限速值40km/h，故乙车违章超速；
归纳总结 当已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的某一个函数值y = m,就可以利用一元二次方程ax 2 + bx + c =m确定与它对应的x 的值. 典例精析例1 下如图，已知边长为1的正方形ABCD,在BC边上有一动点E，
连接AE，作EF AE，交CD边于点F.
（1）CF的长可能等于 吗？
ABDCEF解：设BE=x,CF=y.∵ ∠BAE=∠CEF ,
∴ Rt△ABE∽Rt△ECF.∴ CF的长不可能等于 .（1）即ABDCEF（2）点E在什么位置是，CF的长为 ？设即解得∴ 当BE的长为 或 时，均有CF的 . 例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？解：要使月销售利润达到8000元，解方程
－10x2＋1400x－40000＝8000，
解得 x1＝60，x2＝80．
当销售单价定为每千克60元时，
月销售量为: 500－(60－50）×10＝400（千克），
月销售成本为：40×400＝16000（元）；
月销售单价定为每千克80元时，
月销售量为：500－（80－50）×10＝200（千克），
月销售成本为：40×200＝8000（元）；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元． 例3 一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=1.8t+0.064t2，他通过这段山坡需要多长时间？ 解：由函数关系可得：
85 =1.8t+0.064t2
解方程得： t1=25或t2 = －53.125（不符合实际舍去）
所以，他通过这段山坡需要25秒的时间当堂练习1.一人乘雪橇沿一条直线形的斜坡滑下，滑下的路程sm与下滑的时间满足关系式s=10t+t2，当滑下的路程为200m时，所用的时间为 .10s2.一根高2m的标杆直立在水平地面上，某时测得这根标杆的影长为3m，同一时刻测得一幢大楼的影子长x m，设这幢大楼的高度为y m，则y与x之间的关系式为 .当x=24m时，这幢大楼的高度为 .163.如图，在△ABC中，∠B=900，AB=12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果点P，Q同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积为108cm2．3课堂小结 当已知某个二次函数的函数值y = m,求对应的x 的值的基本方法：
1.根据题意先确定这个二次函数的解析式 y = ax 2 + bx + c；
2.令 y = m，构成ax 2 + bx + c= m的一元二次方程；
3.再解一元二次方程，求出符合题意的x 的值. 如果给出的是函数值y的范围，则二次函数可以转换化成一元二次不等式或一元二次不等式组求解. 注：见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。30.5 二次函数与一元二次方程的关系导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（JJ）
教学课件第三十章 二次函数1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解.（重点）
3.了解用图像法求一元二次方程的近似根. 我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.
问题：现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?导入新课回顾与思考思考
观察思考下列二次函数的图像与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.讲授新课观察图像，完成下表0个1个2个x2-x+1=0无解0x2-6x+9=0，x1=x2=3-2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1知识要点有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0根的关系例：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x2-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x2-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.解：画出函数 y=x2-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根. 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限A已知二次函数 的图像，利用图像回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？解：（1）x1=2,x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2 教学课件第三十章 二次函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、二次函数的定义要点梳理1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图像与x轴交点的横坐标．二、二次函数的图像和性质三、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像特征与系数a，b，c的关系四、二次函数图像的平移任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：五、二次函数解析式的求法1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
若已知条件是图像上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0七、二次函数的应用2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)应用二次函数的图像及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．1．二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．考点讲练例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．
方法二：代入公式 ， ，
则顶点坐标为(1,2)． 解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.1．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是( )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小C例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数
图像上，且x1 A. y1≤y2 B．y1 C．y1≥y2 D．y1>y2【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1 A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2 D例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4D【解析】由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选D.
【答案】 D1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .D例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝ (x－4)2－2.故选B.
抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.3.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可能（ ）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B例5 已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.待定系数法解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：解得, a=2,b=－3,c=5.∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.1.若已知图像上的任意三个点，则设一般式求解 析式；
2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求解析式，最后化为一般式；
3.若已知二次函数图像与x轴的交点坐标为 (x1，0)、(x2，0)时，可设交点式求解析式，最后化为一般式.5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
相同? a=1或－1
又?顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
? 顶点为(1,5)或(1,－5)
所以其解析式为:
(1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5
(3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5
例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）
A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【解答】∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴－ =3，解得m=－6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，
即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．
故选D．例7 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元） 利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等. 二次函数图像画法抛物线
开口方向抛物线的顶点坐标和对称轴二次函数的性质抛物线的平移最值 确定
解析式 应用课堂小结 见《学练优》河北中考热点专练课后作业
