课件19张PPT。九年级数学下册（HS）课件26张PPT。26.1 二次函数第26章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件1.掌握二次函数的概念.（重点）
2.能识别一个函数是不是二次函数. (重点)
3.能根据实际情况列二次函数关系式，求二次函数的值.（难点）导入新课情境引入 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？什么是正比例函数？ax2+bx+c=0 (a≠0)讲授新课 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.探究归纳 问题2 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？ 如图，设围成的矩形花圃为ABCD，靠墙的
一边为AD，垂直于墙面的两边分别为AB和CD.
设AB长为x m(0＜x＜10),先取x的一些值，进而
可以求出BC边的长，从而可得矩形的面积y.将计算结
果写在下表的空格中：单位：m1816141086421832425048423218 我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也就随之确定,即y是x的函数,试写出这个函数的关系式.问题1、2中的两个函数关系式有什么共同特点？y是x的一次函数？是反比例函数？想一想二次函数的定义： 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结温馨提示例1 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？
为什么？
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t2 ③y=x2
④ ⑤y=x2+x3+25 ⑥ y=(x+3)2-x2
④不是，右边是分式.⑤不是，x的最高次数是3.典例精析解： ①不一定，缺少a≠0的条件. ②、③是二次函数.⑥不是，化简整理后，y=6x+9，是一次函数. 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2 , y=ax2+bx , y=ax2+c等.方法归纳 例2 已知函数
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知,解得由（2）可知,解得m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视. 对于此类型题要紧扣概念的特征进行解题，本题考查的是正比例函数和二次函数的概念，在解题时，要注意二次函数次项的系数不为0.方法归纳合作探究问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.根据题意，求出这个函数关系式.即 例3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________.20(1+x) 20(1+x)220(1+x)2答：y=20x2+40x+20；典例精析例4 一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2).1113x分析：矩形面积=长×宽.
种植区域的一条边长为：_______________.
种植区域的另一条边长为：
_________________.实际问题中的变量关系问题常可通过建立函数模型来解决，常见的用二次函数模型来解决实际问题的有如下几种：
(1) 几何图形的面积、体积计算问题；
(2) 在特定情况下， 销售利润与售价的关系问题；
(3) 在特定情况下，银行存款本利与年利率的关系问题；
(4) 在特定情况下，总量与增长率（降低率）的关系问题.
二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.归纳总结（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2 ）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式．做一做解：（1）y=x2;
(2) y=(4+x)(3+2x).典例精析（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？ 解得此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.归纳总结做一做（1）求a的值.
(2) 求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？ 二次函数的一般式y=ax２＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0,
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.想一想当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数
为______，常数项为 .C-3x2-16124.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.特殊形式y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.见《学练优》本课时练习课后作业课件24张PPT。九年级数学下册（HS）课件26张PPT。第26章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件1. 二次函数y=ax2的图象与性质26.2 二次函数的图象与性质1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点.
（难点）
3.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）
导入新课情境引入讲授新课例1 画出二次函数y=x2的图象.9410194典例精析1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.练一练：画出函数y=-x2的图象. 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最低点．y说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.oxyy=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最高点．1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．二次函数y=ax2 的图象性质：知识要点2. 图像关于y轴对称; 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2二次函数y=ax2的性质观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.知识要点对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.知识要点解：分别填表，再画出它们的图象，如图84.520.5084.520.584.520.5084.520.5当a>0时，a越大，开口越小. -8 -4.5-2 -0.50 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．位置开
口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减知识要点解得 k=22练一练当堂练习 1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO 3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .k>14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O 5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 则y1 y2.
2y轴向上（0,0）小上>课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。26.2 二次函数的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）
3.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系.（重点）情境引入xy讲授新课探究归纳解：先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象观察与思考向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质知识要点观察与思考探究归纳 把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.想一想当堂练习1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ． 2、填表：y = 2x2－４向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .在=2>2<25.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；
当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.课堂小结二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：
k正向上；
k负向下.见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。九年级数学下册（HS）课件14张PPT。2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质26.2 二次函数的图象与性质情境引入1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(难点）
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
问题1 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a≠0） 的图象有何关系？答：二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.答：应该可以.导入新课复习引入讲授新课互动探究解：先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象向上向上y轴x=2(0,0)(2,0)根据所画图象，填写下表：想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？二次函数 y=a(x-h)2（a ≠ 0）的性质知识要点向右平移
1个单位想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向左平移
1个单位二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系可以看作互相平移得到.左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.y=a(x-h)2当向左平移 ︱h︱ 时y=a(x+h)2当向右平移 ︱h︱ 时y=ax2做一做如果将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（ ）
A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2解析：左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.故选C.C1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线__ __，顶点是________.
3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
当堂练习 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 y1 ＞y2 ＞ y3 4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.向上直线x=3( 3, 0 )直线x=2直线x=1向下向上(2, 0 )( 1, 0)课堂小结二次函数y=a(x-h)2的图象及性质图象性质对称轴是x=h;
顶点坐标是（h,0)
a的符号决定开口方向.左右平移平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。九年级数学下册（HS）课件19张PPT。2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质26.2 二次函数的图象与性质1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.
(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. （难点）导入新课复习引入1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
(1)y=ax2
(2)y=ax2+c
(3)y=a(x-h)2
2.由y=-x2的图象怎样平移得到y=-x2-3的图象.并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性.3.由y=2x2的图象怎样平移得到y=2(x-3)2的图象.并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性.向下平移3个单位.y=-x2-3的顶点(0,-3),对称轴是x=0(或y轴），在y轴的左侧y随x的增大而增大， 在y轴的右侧，y随x的增大而减小.向右平移3个单位.y=2（x-3）2的顶点(3,0),对称轴是x=3，当 x<3时y随x的增大而减小；当 x>3时，y随x的增大而增大.讲授新课探究归纳解: 先列表-5.5-3-1.5-1.5-3-5.5-1描点、连线，画出这个函数的图象直线x=-1开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)y= 2（x+1）2-2试一试二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质知识要点向左平移
1个单位探究归纳平移方法1向下平移
1个单位平移方法2向左平移
1个单位向下平移
1个单位二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变. 例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?典例精析C(3,0)B(1，3) A解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)，∴ 0=a(3－1)2＋3.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?答：由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.练一练当堂练习向上( 1, －2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , －6 )向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3, 5 )y=－3(x－1)2－2y = 4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若
（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是 （ ）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④xyO2x=-1B3.求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值.解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-1=(x-1)2-2,
∴ 顶点坐标为（1，-2），对称轴是直线x=1.当x=1时，y最小值=-2.课堂小结一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质图象特点当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).平移规律左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.见《学练优》本课时练习课后作业课件23张PPT。九年级数学下册（HS）课件22张PPT。2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质26.2 二次函数的图象与性质1.会画二次函数一般式 y=ax2+bx+c 的图象.
2.配方法求二次函数一般式 y=ax2+bx+c 的顶点坐标与对称
轴.（重点）
3.掌握二次函数的性质.（重点）
4.掌握二次函数的字母系数与图象的关系.（难点）你能求出钢缆最低点到桥面的距离吗？导入新课桥梁工程示意图yx情境引入讲授新课温故知新y=a(x-h)2+k的图象和性质向上向下直线x=h直线x=h（h,k）（h,k）当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.探究归纳配方配方y=a(x-h)2+k 的对称轴 ________; 顶点坐标是__________.直线x=h(h,k)对称轴:顶点坐标:二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识要点(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6练一练典例精析-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1D练一练合作探究问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：＞＞＜＜＜＞问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：＞＞＞＞＜＝x=0时，y=c.＜＝＞＜＞＜x=0时，y=c.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系向上向下y左右正负知识要点练一练解析：由二次函数的图象得知：a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限.即正确答案是C.C1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D当堂练习2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .直线x=1（2）3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x= 0.5课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)配方法二次函数图像的特征与a、b、c的关系.见《学练优》本课时练习课后作业课件25张PPT。九年级数学下册（HS）课件23张PPT。九年级数学下册（HS）课件21张PPT。26.2 二次函数的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件 第5课时 图形面积的最大值2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值.（重点）导入新课复习引入向上向下当x位于对称轴左侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大.当x位于对称轴右侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴左侧时，y随x的增大而增大. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；讲授新课合作探究最小值最大值例1 求下列函数的最大值与最小值解：典例精析解：即x在对称轴的右侧.函数的值随着x的增大而减小.方法归纳1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.例2 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.例3 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 ＜ x ≤18.问题6 如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法归纳知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.根据几何图形的特征，求出图形的面积，构建二次函数模型，确定自变量的取值范围；
2.运用二次函数的图象与性质，求函数的最大（小）值.
3.检查，求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .当堂练习2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.33. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）课堂小结建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定图形面积的最大值一个关键一个注意见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。九年级数学下册（HS）课件17张PPT。26.2 二次函数的图象与性质第26章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件3. 求二次函数的表达式 1.通过对待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法.（重点）
2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.(难点)导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写解析式）讲授新课探究归纳问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： 解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式. 解得∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）典例精析例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.归纳总结一般式法求二次函数解析式的方法 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得a=-1.∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.典例精析例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式. 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的解析式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的解析式. 归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.xyO12-1-2-3-421-13452.过点（2，4），且 当x=1时，y有最值为6，则其解析式是
.y=-2(x-1)2+6(2)△ABC的面积是6.课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法
求二次函数解析式见《学练优》本课时练习课后作业课件33张PPT。26.3 实践与探索第26章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件第1课时 运用二次函数解决实际问题1.能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题.（重点）
2.经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验. （难点）
3.感受数学建模思想和数学的应用价值.（难点）
导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？运动中的抛物线美丽的喷泉及拱桥讲授新课分析：篮球运动的轨迹为抛物线，可以根据已知条件，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题.典例精析3米4米4米O8米因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.解得 所以抛物线的解析式是 .当x=8时，则所以此球不能投中.判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.3米8米4米4米O想一想yx（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（1）跳得高一点儿；（8，3）（4，4） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（７，３）
●（2）向前平移一点儿.x 问题1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m . 水面下降 1m，水面宽度增加多少？互动探究 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？想一想 问题2 如何建立直角坐标系？ 问题3 解决本题的关键是什么？ yxo解：如图建立直角坐标系.解：建立合适的直角坐标系.yxo
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．
如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.练一练 例2 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？典例精析解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).●
C(2.5,0)●
D(-2.5,0) 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.2.根据建立好的坐标系求出该函数的解析式；
3.在实际问题中要注意自变量的取值范围内.1.首先要建立适当的平面直角坐标系；知识要点求解运动中的抛物线问题及拱桥问题的一般步骤 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价. 例3 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000， 即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000. 例4 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？ 即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.当堂练习1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .
每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)
3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.44.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.25.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
C6. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.课堂小结（二次函数的图象和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.实际问题数学模型转化的关键商品利润最大问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.见《学练优》本课时练习课后作业课件20张PPT。九年级数学下册（HS）0课件29张PPT。26.3 实践与探索第26章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS）
教学课件第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：讲授新课（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解析：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.h=20t-5t2（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？204解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2（4）球从飞出到落地要用多少时间？0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.想一想观察图象，完成下表0个1个2个x2-x+1=0无解0x2-6x+9=0，x1=x2=3-2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1知识要点有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0根的关系例1 求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x2-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x2-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.注意：由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．解：画出函数 y=x2-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.(1)用描点法作二次函数 的图象；(2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标；(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程的解.知识要点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).y = x2－2x－2解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
练一练问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____;
不等式ax2+bx+c>0的解集 是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________.
yx1=-1， x2=3x<-1或x>3-1方程ax2+bx+c=2的根是 ______________;
不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2， x2=4x<-2或x>4-20（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.
1(2,0)x=22Ox问题3 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么
函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解；（2）当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数.3-1Ox试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0;
③-x2+x+2<0.
(2) ①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0.
(3) ①-x2+x-2=0;
②-x2+x-2>0;
③-x2+x-2<0.x1=-1 , x2=21 ＜ x＜2x1＜-1 , x2＞2x2-4x+4=0 x=2 x≠2的一切实数 x无解-x2+x-2=0 x无解 x无解 x为全体实数知识要点有两个交点x1,x2
（x1＜x2）有一个交点x0没有交点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2.
y＞0，x2＜x或x＜x2 .y＞0，x1＜x＜x2.
y＜0，x2＜x或x＜x2.y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解
y＜0，所有实数；y＞0，无解
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 4;（3）20△＝0△＜0x1 ; x2x1 =x2
＝－b/2a没有实数根xx2x ≠ x1的一切实数所有实数x1 教学课件第3课时 利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解集1.能利用两个函数图象求方程或方程组的解.(重点）
2.能利用两个函数的图象，求不等式的解集.（重点）
3.通过研究函数图象与方程（组）的解和不等式的解集，联系体会数形结合思想的应用.导入新课复习引入1.已知一次函数y=ax+b的图象经过A(2，0)，B(0，-1)两点，则关于x的一元一次方程ax+b=0的解为_________；关于x的一元一次不等式ax+b≤0的解集为_________.
x=2x≤2ABC3.已知二次函数 ，该函数图象与y轴的交点坐标为_______,与x轴的交点坐标为_________________;画出该函数草图，根据图象可知当______________时，y＞0.(0，-6)(-6，0)，(1，0)x<-6或x>1x1=-4，x2=2x<-4或x>2-1x>-1讲授新课合作探究已知二次函数 的图象如图所示：x1=k1，x2=k2二次函数的图象与x轴的交点.(x2, h)典例精析例1 利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-1=3的近似根.解：(1)原方程可变形为x2+2x-4=0； (3)观察估计抛物线y=x2+2x-4和x轴的交点的横坐标；(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-4的图象；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-4与-3之间,另一个在1与2之间,分别约为-3.2和1.2.（4）由此可知,一元二次方程x2+2x-1=3的近似根为：x1≈3.2,x2≈1.2.想一想：还有没有别的办法求这个方程的近似根？(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-1的图象；(3)观察估计抛物线y=x2+2x-1和直线y=3的交点的横坐标；(2) 作直线y=3；方法二：由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-4与-3之间,另一个在1与2之间,分别约为-3.2和1.2.（4）由此可知,一元二次方程x2+2x-1=3的近似根为x1≈3.2,x2≈1.2.方法三：(1)作二次函数y=x2的图象；(2)作一次函数y=-2x+4的图象；(3)观察估计抛物线y=x2+2x-1和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-4与-3之间,另一个在1与2之间,分别约为-3.2和1.2.（4）由此可知,一元二次方程x2+2x-1=3的近似根为x1≈3.2,x2≈1.2.两个函数图象的交点坐标就是对应函数解析式所组成的方程组的解.函数解析式对应方程的根，就是该应函数图象与x轴交点的横坐标；归纳典例精析分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集.解：根据题目提供的条件，画出草图：方法归纳做一做C当堂练习1.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2,0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（ ）
A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5 C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=52.若二次函数y=ax2+bx+c(a＜0）的图象经过点（2,0），且其对称轴为x=-1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A.x＜-4或x＞2 B.-4≤x≤2 C.x≤-4或x≥2 D.-4＜x＜2DD3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（ ）
A.m≥-2 B.m≥5 C.m≥0 D.m≥4解析：方程ax2+bx+c=m有实数根，即表示二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=m有交点.A4.如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx-2交于A、B两点，且A（1,0），抛物线的对称轴是 .
（1） 求k和a、b的值；
（2）求不等式 kx+1＞ax2+bx-2的解集.
（2）根据对称性，可知y2道与x轴的另一个交点为（-4,0），
根据图象可以看出，kx+1＞ax2+bx-2的解集为-4＜x＜1.课堂小结变 形函数图象交点的横坐标变 形函数图象交点的横坐标变 形变 形解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围见《学练优》本课时练习课后作业课件46张PPT。第26章 二次函数学练优九年级数学下（HS）
教学课件小结与复习要点梳理考点讲练 课堂小结课后作业要点梳理1.二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数， )的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca ≠０[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．2.二次函数的图象二次函数的图象是一条 ，它是 对称图形，其对称轴平行于_____轴. [注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．抛物线 轴 y 3.二次函数的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)(1)一般式：____________________;(2)顶点式：____________________;y=a(x-h)2+k (a≠0)(3)交点式：____________________;y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)4.二次函数的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．y＝ax2[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减．5.二次函数的y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：a＞0 开口向上a ＜ 0 开口向下x=h(h , k)y最小=ky最大=k在对称轴左边， x ↗y↘ ；在对称轴右边， x ↗ y ↗ 在对称轴左边， x ↗y ↗ ；在对称轴右边， x ↗ y ↘6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系：△>0△＝0△＜0x=x1 ; x=x2没有实数根xx2x ≠ x1的一切实数所有实数x1A．最小值－3 B．最大值－3
C．最小值2 D．最大值2[解析] 由抛物线的开口向下，可得a<0，所以抛物线有最大值，最大值为－3.故选B.B1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ ）
A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2)
2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c= .
3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=_______.C-4例2 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的公共点是（-1，0），
（3，0），则这条抛物线的对称轴为_________.直线x=14.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则①抛物线的对称轴是 ；
②当y<5时，x的取值范围是 .
③在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”).直线x=200；②b<0；③a－b＋c<0；
④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：由抛物线的开口向下，可知a＜0，由对称轴在y轴的右侧可知a、b异号，即b＞0.由抛物线与y轴交于正半轴，可知c＞0，所以ac＜0.由对称轴x=1可知，2a+b=0.当x=1时，a＋b＋c＞0，当x=-1时，a－b＋c<0，所以错误的结论有①②④，共3个，故选C.C方法归纳向上向下y左右正负二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：① abc>0 ；② b2-4ac<0；③ b+2a<0；④ a+b+c>0. 其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③解析：由抛物线的开口向下，可知a＜0，由对称轴在y轴的右侧可知a、b异号，即b＞0.由抛物线与y轴交于正半轴，可知c＞0，所以abc＜0.又抛物线与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac>0；因对称轴小于x＜1，可得b+2a<0;x=1时，y=a+b+c>0.
故正确答案为A.A解析：由y＝ax2＋bx可知，抛物线经过原点，故可排除B、C选项.又y＝ax＋b经过一三象限时，a＞0，此时抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，故选A.A方法归纳此类问题通常从比较简单的图象（直线或双曲线）出发，获得与抛物线有关的字母的取值情况，然后由字母的取值情况来判断抛物线的大致位置.如果一致则有可能共存于统一坐标系中，如不一致，则说明不可能共存于统一坐标系中.解析：由y=k(x-k)可得y=kx-k2,因k2＞0，即一次函数y=k(x-k)交于y轴的负半轴，只有答案C符合要求，故选C.C 例5 你能求出图中抛物线的解析式吗？解析 图象中提供了我们解题的很多信息，如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是
（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴是直线x=2及顶点坐标是(1,4).你有几种方法可以求这条抛物线的解析式，你最喜欢哪一种？方法一：设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k.由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），∴有y=a(x-1)2+4，代入（-1,0）.
∴a(-1-1)2+4=0，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4.解：方法二：设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由图象可知抛物线与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），∴有y=a(x+1)(x-3)，代入（1,4）.∴4=a(1+1)×(1-3)，
∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3).方法归纳知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用最熟悉的方法.7.已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，－8)，则二次函数的解析式是 .y=-2(x-1)2-6解：设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由图象可知抛物线与x轴相交于点（-6,0），（2,0），与y轴的交点为（0,3），∴有y=a(x+1)(x-3)，代入（0,3）.∴3=a(0+6)×(0-2)，∴a=-0.25，∴抛物线的解析式为y=-0.25(x+6)(x-2).例6 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题：
①写出方程ax2+bx+c=0的根；
②写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
求k的取值范围.解析：本题结合图象从中发现信息进行解题.解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3；（2）由图象可知当-11;(4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与二次函数图象有两个交点，∴k的取值范围为k<5.方法归纳根据二次函数的图象求一元二次方程的近似解或不等式的解集，要注意观察图象与x轴的交点.一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标的值；不等式的解集就是当函数值大于0或小于0时自变量的取值范围.9.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根C解析：y=ax2+bx+c-8相当于将y=ax2+bx+c向下平移8个单位，此时y=ax2+bx+c-8与x轴只有一个交点，即ax2+bx+c-8=0有两个相等的实数根.故选C.x1＝－1，x2＝3 14例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．[解析] (1)将x＝65，y＝55和x＝75，y＝45代入y＝kx＋b中解方程组即可．
(2)根据利润等于每件利润乘以销售量得到利润W与销售单价x之间的关系式．综合顶点式和自变量的取值范围可求得最大利润．
(3)令利润W≥500，将二次函数转化为一元二次不等式，然后求解集并作出判断．（2） W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.（3）由W≥500，得500≤-x2+180x-7200.解得 70≤x≤110.
∵60≤x≤87，故销售单价的范围为70≤x≤87.方法归纳求解与二次函数有关的最优化问题时，关键是要通过分析题意，运用二次函数及其性质建立数学模型，然后再利用配方法或公式法求得最大值.一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；定点横坐标不在自变量取值范围时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值. 11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析．(2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49(万元）(3) 没有利润，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.[解析] (1)由∠ABC＝90°，∠A＝45°，可知AE＝DE＝x，根据轴对称的性质得到EF＝AE＝x，所以可求BF的长．
(2)利用梯形的面积公式就可以确定S与x的函数关系式．
(3)将二次函数化为顶点式，然后确定最值．解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.
∴BF=2x-30.方法归纳与面积有关的二次函数问题，一般以图形中某一动线段的长为未知数，利用三角形、四边形的有关性质以及图形之间的相互关系，可以构建图形面积和相关线段长或线段长与线段长之间的二次函数关系.处理这类问题，关键是根据题意和几何图形的特点求出其面积的二次函数表达式，再通过配方成顶点式或利用最值公式求解.解：（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)（2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,(0＜x＜20).
因为0＜10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200.
故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m,而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式．[解析] 利用菱形的四条边相等及对边平行结合直角坐标系可求出A、B、C三点的坐标，根据三点的坐标可以通过设一般式y=ax2+bx+c来求抛物线的解析式，因为点C是抛物线的顶点，所以也可以通过设顶点式y＝a(x－h)2＋k来求抛物线的解析式．解：（1）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，M由抛物线的对称性可知，AM=BM.在Rt△AOD和Rt△BMC中，
∵OD=MC，AD=BC，
∴Rt△AOD≌Rt△BMC.
∴OA=MB=MA.13.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0,3）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).由图象可知抛物线与x轴相交于点(1,0)，(-3,0)，与y轴交于点（0,3），∴有y=a(x-1)(x+3)，代入（0,3）.∴3=a(0-1)×(0+3)，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3)=-x2-2x+3.（2）存在，理由如下：作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C'，由抛物线的性质可知点C‘在抛物线上，点C'的坐标是（-2,3），连接点C'A交抛物线的对称轴直线x=-1与点Q，点Q即为所求.设直线C'A的解析式为y=kx+m，代入（-2,3）和（0，1）可得k=-1，m=1.所以Q的坐标为（-1,2）；二次函数二次函数的图象与性质用数形结合的方法去研究和运用求二次函数的解析式根据题目给出的条件，选择合适的方法解决问题二次函数的应用建立二次函数模型，将实际问题数学化，运用二次函数知识解决实际问题课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。九年级数学下册（HS）课件26张PPT。九年级数学下册（HS）课件10张PPT。九年级数学下册（HS）
