2026年陕西省汉中市城固县初中学业水平模拟考试数学试卷（含答案）

2026年陕西省汉中市城固县初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：（ ）
A. 10 B. 6 C. 4 D.
2.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下面纹样的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
3.如图，，点A在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5.直线向左平移个单位长度，所得图像恰好经过点，则（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D.
6.如图，在中，，于点D，，若，则的长为（ ）．
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7.如图，点A，B，C，D在上，且，若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
8.已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … 0 1 …
y … …
下列关于该二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 对称轴为直线
C. 有最大值 D. 图象与x轴有两个交点
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
9.因式分解： ．
10.苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ．
11.晋商大院的窗格是刻在木上的算盘．横格如商路纵横，竖棂似银两码齐，连雕花都藏着“诚信通四海”的暗语．下列图案是曹家大院窗格的一部分，其中“”代表窗格上所贴的剪纸，则第10幅图中所贴剪纸“”的个数为 个．
12.如图，反比例函数的图象经过的顶点C，在轴负半轴上，点B的坐标为．若的面积为40，则反比例函数的表达式为 ．
13.如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点E在边上，且，点F为边上的一个动点，连接，，则的最大值为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
14.计算：
15.解不等式组：．
16.解方程：．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，已知，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）
18.(本小题6分)
如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：．
19.(本小题8分)
十二生肖是十二地支的形象化代表，是我国历史悠久的民俗文化符号．小辰收集了如图所示的五张不透明的生肖卡片（分别记作A，B，C，D，E），除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置．
(1) 小辰从这五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是 ；
(2) 小辰从这五张卡片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率．
20.(本小题6分)
王叔叔将一正方形菜园按照如图的方式划分为三块，分别种植青菜、萝卜和大葱．种植萝卜的地块的宽是，种植大葱的地块的宽是，这样划分后，种植萝卜和种植大葱的地块面积恰好相等，求种植青菜的地块面积．
21.(本小题6分)
鹳雀楼有“黄河第一楼”之称，是国内唯一一座采用唐代彩画艺术恢复的唐代建筑．小辰用所学知识测量鹳雀楼的高度．在垂直地面的鹳雀楼前阶梯下有一广场，小辰在阶梯前米的A处（米）测得鹳雀楼顶B的仰角为，走上阶梯，在D处测得楼顶B的仰角为，已知阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，请你帮小辰计算鹳雀楼楼身的高度．（，得数保留整数）
22.(本小题8分)
蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气．研究表明，蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量成一次函数关系，当容器内的含氧量约为（即）时，蜡烛会熄灭．数学小组使用氧气含量检测仪器定时测量一密闭容器中的氧气含量，记录数据如下．
… 10 20 30 …
… 49 48 47 …
(1) 求蜡烛熄灭前，y与t的函数关系式；
(2) 当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？
23.(本小题12分)
《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩（设为x，均为整数，且满分100分）进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图：
其中C等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 此次活动共抽取了 名学生的成绩，并补全频数分布直方图；
(2) 本次被抽取的所有成绩的中位数为 分，D组扇形所对应圆心角的度数是 °；
(3) 若该校共有1500名学生参加此次比赛，成绩不低于80分为优秀，请你估计成绩优秀的学生人数．
24.(本小题8分)
如图，为的直径，C为上的一点，连接，，并延长至点D，使，过点C作的切线，交的延长线于点E．
(1) 求证：；
(2) 若D是的中点，且，求的长．
25.(本小题8分)
用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图1，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为A，运动路径近似为抛物线，且，石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B，运动路径近似为抛物线，若点B的坐标为，的最高点距离水面．（小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点）
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 若横坐标为的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面，判断该石头能否飞越水鸭．
26.(本小题8分)
问题提出
(1) 如图1，在正方形中，E是上的一点，G是上的一点，且，求证：；（提示：延长至F，使，连接）
(2) 问题解决某城市老旧街区有一块四边形的临时施工区域，如图2，其中米，，，．因自来水管道抢修，需在边，上设置临时警示点E，F，并拉警示带形成区域．为避免阻碍交通，需控制为．试问区域面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】32
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】解：
．

15.【答案】解：，
解不等式①可得：；
解不等式②可得：；
所以该不等式组的解集为：．

16.【答案】解：，
，
，
，
，
．
检验，当时，，
所以，是原分式方程的解．

17.【答案】解：∵的周长等于，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
如图，点D即为所求．

18.【答案】证明：∵菱形中，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
【小题2】
解：根据题意，列表如下：
—
—
—
—
—
则共有20种等可能的情况，其中两人抽到的卡片中有一张是“马”的情况有8种，
则两人抽到的卡片中有一张是“马”的概率为．

20.【答案】解：设这块正方形菜园的边长为x米，依题意得：
，解得：．
所以种植青菜地块的长和宽为米，米．
所以种植青菜地块的面积为平方米．
答：种植青菜的地块面积为525平方米．

21.【答案】解：由题意可得：四边形是矩形，即米，，
∵阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，
∴，即，解得：米．
设米，米，
在中，，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
∴，解得：米．
答：鹳雀楼楼身的高度约为米．

22.【答案】【小题1】
解：设蜡烛熄灭前，y与t的函数关系式为，
由表格可知，当时，；当时，，
则，
解得，
蜡烛熄灭前满足，即，
解得，
因此，蜡烛熄灭前，y与t的函数关系式为；
【小题2】
解：蜡烛熄灭时，
将代入函数得：，
解得，
答：当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭．

23.【答案】【小题1】
解：此次活动共抽取学生数为：名；
∵C等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79，
∴C等级的人数为12，
∴D等级的人数为：，
．
【小题2】
78
108
【小题3】
解：．
答：估计成绩优秀的学生人数为720人．

24.【答案】【小题1】
证明：连接，则，
∴，
∵是切线，为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：取的中点，连接，设交于点，连接，延长交于点，连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：∵，
∴当时，解得，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴设，
把代入，得，解得，
∴；
【小题2】
解：由（1）知：，
∴当时，，
∵，
∴该石头能飞越水鸭．

26.【答案】【小题1】
解：延长至F，使，连接，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：存在；
延长至点，使，连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴当的面积最小时，的面积最小，
作，作的外接圆，连接，作，设的半径为，
则，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴当最小时，的面积最小，
∵，即，
∴，
∴当时，的面积最小为，
∴区域面积的最小值为平方米．

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