河南省平顶山市鲁山县第五教研区2025-2026学年下学期中考一模九年级数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省平顶山市鲁山县第五教研区2025-2026学年下学期中考一模九年级数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-09 00:00:00 | ||
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文档简介
河南省鲁山县第五教研区2025-2026学年下学期中考一模九年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（）
A. B. C. D.
2.河南省是粮食大省，“粮安天下，中原担当”.将“中”“原”“粮”“仓”“担”“当”六个字按如图所示的顺序书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“中”字所在面相对的面上的字是（）
A. 粮 B. 仓 C. 担 D. 当
3.下列各式中，计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.若关于x的方程没有实数根，则m的值可以为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
5.如图，点O是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点N，若量角器上显示的度数为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.《孙子算经》中记载的“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分”说明了长度计量单位之间的关系：1秒10忽，1毫10秒，1厘10毫，1分10厘.3忽 （ ）
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
7.为深入贯彻生态文明思想，某中学积极开展“绿色校园”能源使用调查活动，如图，同学们统计了一周内校园不同区域的用电量（单位：千瓦时）．若一周内教学楼的用电量为960千瓦时，则这一周内图书馆的用电量为（）
A. 240千瓦时 B. 360千瓦时 C. 480千瓦时 D. 720千瓦时
8.如图，在中，平分交于点E，过点E作交于点D．若，则的长为（ ）
A. 4 B. C. D. 5
9.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，P是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.如图，点在数轴上，若点是无理数，请写出一个合适的值： .
12.有大小与材质完全相同的四张卡片，在它们的正面分别书写化学元素符号（氢），（碳），（铝），（铁），若将四张卡片放在一个暗箱内摇匀后随机抽取两张（不放回），则抽取的两张卡片上恰好都是金属元素的概率为 .
13.一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是 ．
14.如图，在中，，，，P为斜边上不与端点重合的一个动点，过点P作，垂足为Q，将沿直线翻折得对应，交于点E.若，则线段的长是 .
15.如图，在矩形中，，．矩形绕着点A旋转（旋转角），点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在矩形的对称轴上，则到的距离为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算或化简
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
2025年10月31日23时44分，我国成功发射了神舟二十一号载人飞船，此次发射标志着中国2025年载人航天发射任务的圆满收官.为普及航天知识，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀.从七（1）班和七（2）班各随机抽取8名学生，对这8名学生的竞赛成绩（单位：分）进行了收集、整理和分析.
【收集数据】
七（1）班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75；
七（2）班8名学生的竞赛成绩：95，90，79，90，83，85，61，75.
【整理数据】
小聪同学将七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图.
七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩折线统计图
【分析数据】
七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 特征数
平均数 中位数 众数 方差 优秀率
七（1）班
七（2）班
【解决问题】
请根据以上信息，解决以下问题：
(1) 填空： ， ， （填“”“”或“”）；
(2) 请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩较好，并简要说明理由；
(3) 该校七年级共有800人参加了此次竞赛，估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数.
18.(本小题12分)
如图，内接于，是的直径，是的中点，连接
(1) 请用无刻度的直尺和圆规，过点作直线于点，交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 求证：直线是的切线；
(3) 若，，则的长为 .
19.(本小题12分)
如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线（）交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B对应的刻度分别为6cm和2cm，直尺的宽度为3cm，，连接.（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）
(1) 求双曲线的函数表达式，并写出点C的坐标；
(2) 若横、纵坐标均为整数的点称为整点，则图中由曲线及线段，，围成的封闭区域内（含边界）的整点有 个；（直接写出结果）
(3) 沿x轴负方向平移直尺多少厘米时，恰好平分？
20.(本小题10分)
中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一，中原福塔由塔座、塔身、塔楼和桅杆四个部分组成，福塔顶部桅杆天线高达，某校综合与实践小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为一项课题活动，并制定了两种测量方案，实地测量数据如下表：
课题 测量中原福塔的高度
测量示意图 方案一 方案二
方案说明（点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内） 在点C处测得桅杆底部D的仰角为，前进后在点E处测得桅杆顶部A的仰角为 距地面高度为（）的无人机在点F处测得桅杆顶部A的仰角，中原福塔底部边缘G处的俯角
计算中原福塔的高度 …… ……
(1) 了解两种测量方案后，你认为方案 的测量结果误差较大，其结果与中原福塔的实际高度相比偏 （填“大”或“小”），请说明该方案产生较大误差的原因；
(2) 请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，）
21.(本小题10分)
汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元．
(1) 求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价．
(2) 为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
22.(本小题12分)
如图，已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合.
(1) 求此抛物线对应的函数表达式；
(2) 若点，都在函数图象上，且，则 ；（填“”“”或“”）
(3) 将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，请直接写出m的取值范围.
23.(本小题12分)
综合与实践.如图，，点P在的平分线上，于点A．
(1) 【操作判断】
如图，过点P作于点C，补全图形，并判断四边形的形状；
(2) 【问题探究】
如图，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：；
(3) 【拓展延伸】
在（2）的条件下，若点M在射线上，连接，，射线与射线相交于点F，且，请直接写出的值．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】/（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】3或或
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．
17.【答案】【小题1】
【小题2】
解：七（1）班的竞赛成绩较好．
理由如下：
从平均数和优秀率的角度来说，两个班级竞赛成绩的平均分一样，但七（1）班的优秀率高于七（2）班，
∴七（1）班的竞赛成绩比七（2）班好．
【小题3】
解：（人）
答：估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数为人.
18.【答案】【小题1】
解：如图，直线即为所求.
【小题2】
证明：如图，连接交于点.
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴.
∵是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴.
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小题3】
19.【答案】【小题1】
解：由题意,得，，
∴，
将代入，得,
解得,
∴双曲线的函数表达式为；
∵直尺的宽度为，
∴.
∵当时,，
∴．
【小题2】
13
【小题3】
解：由题意,得，
∵恰好平分，，
∴．
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴．
设沿x轴负方向平移直尺,则，
把代入，得，
解得，
∴沿x轴负方向平移直尺时，恰好平分．
20.【答案】【小题1】
解：方案 二的测量结果误差较大，其结果与中原福塔的实际高度相比偏小；
原因：方案二在解答时，算出来不是的长度，的长度被忽略了，将的长作为点F到的距离（即）进行计算，导致误差较大；（合理即可）
【小题2】
解：设，则，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：中原福塔的高度约是．
21.【答案】【小题1】
设甲种汴绣工艺品每件的售价为x元，乙种汴绣工艺品每件的售价为y元．
根据题意，得，
解得．
答：甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元．
【小题2】
设购进甲种汴绣工艺品m件，全部售出后的总利润为w元．
根据题意，得．
∵，
∴m≥48．
又∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝48时，w取得最大值，最大值为，此时购进乙种汴绣工艺品（件）．
答：当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元．
22.【答案】【小题1】
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴此抛物线对应的函数表达式为；
【小题2】
【小题3】
解：m的取值范围是或.
当时，图象G的最高点为，最低点为，如图1，
依题意得：，
解得；
当时，图象G的最高点为，最低点为，如图2，
依题意得：，
解得；
当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图3，
依题意得：，
解得；
当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图4，
此时，图象G的最高点与最低点在直线的同侧，不符合题意舍去；
综上所述，m的取值范围为或．
23.【答案】【小题1】
解：补全图形如图所示.
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵点P在的平分线上,
∴平分，
∴，
∴为等腰直角三角形,
∴，
∴四边形为正方形；
【小题2】
证明：如图，过点P作于点D，
由（1），知四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
【小题3】
解：的值为或.
分以下两种情况讨论：
①当点M在线段上时,分别延长，交于点G，与交于点F，如图所示，
设，
∵，
∴，
由（2），知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴；
②当点M在的延长线上时，过点P作于点E，的延长线交于点H，的延长线交的延长线于点F，如图所示：
同（1）（2）可证，四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,即,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴.
综上所述，的值为或.
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一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（）
A. B. C. D.
2.河南省是粮食大省，“粮安天下，中原担当”.将“中”“原”“粮”“仓”“担”“当”六个字按如图所示的顺序书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“中”字所在面相对的面上的字是（）
A. 粮 B. 仓 C. 担 D. 当
3.下列各式中，计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.若关于x的方程没有实数根，则m的值可以为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
5.如图，点O是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点N，若量角器上显示的度数为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.《孙子算经》中记载的“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分”说明了长度计量单位之间的关系：1秒10忽，1毫10秒，1厘10毫，1分10厘.3忽 （ ）
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
7.为深入贯彻生态文明思想，某中学积极开展“绿色校园”能源使用调查活动，如图，同学们统计了一周内校园不同区域的用电量（单位：千瓦时）．若一周内教学楼的用电量为960千瓦时，则这一周内图书馆的用电量为（）
A. 240千瓦时 B. 360千瓦时 C. 480千瓦时 D. 720千瓦时
8.如图，在中，平分交于点E，过点E作交于点D．若，则的长为（ ）
A. 4 B. C. D. 5
9.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，P是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.如图，点在数轴上，若点是无理数，请写出一个合适的值： .
12.有大小与材质完全相同的四张卡片，在它们的正面分别书写化学元素符号（氢），（碳），（铝），（铁），若将四张卡片放在一个暗箱内摇匀后随机抽取两张（不放回），则抽取的两张卡片上恰好都是金属元素的概率为 .
13.一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是 ．
14.如图，在中，，，，P为斜边上不与端点重合的一个动点，过点P作，垂足为Q，将沿直线翻折得对应，交于点E.若，则线段的长是 .
15.如图，在矩形中，，．矩形绕着点A旋转（旋转角），点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在矩形的对称轴上，则到的距离为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算或化简
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
2025年10月31日23时44分，我国成功发射了神舟二十一号载人飞船，此次发射标志着中国2025年载人航天发射任务的圆满收官.为普及航天知识，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀.从七（1）班和七（2）班各随机抽取8名学生，对这8名学生的竞赛成绩（单位：分）进行了收集、整理和分析.
【收集数据】
七（1）班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75；
七（2）班8名学生的竞赛成绩：95，90，79，90，83，85，61，75.
【整理数据】
小聪同学将七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图.
七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩折线统计图
【分析数据】
七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 特征数
平均数 中位数 众数 方差 优秀率
七（1）班
七（2）班
【解决问题】
请根据以上信息，解决以下问题：
(1) 填空： ， ， （填“”“”或“”）；
(2) 请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩较好，并简要说明理由；
(3) 该校七年级共有800人参加了此次竞赛，估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数.
18.(本小题12分)
如图，内接于，是的直径，是的中点，连接
(1) 请用无刻度的直尺和圆规，过点作直线于点，交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 求证：直线是的切线；
(3) 若，，则的长为 .
19.(本小题12分)
如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线（）交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B对应的刻度分别为6cm和2cm，直尺的宽度为3cm，，连接.（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）
(1) 求双曲线的函数表达式，并写出点C的坐标；
(2) 若横、纵坐标均为整数的点称为整点，则图中由曲线及线段，，围成的封闭区域内（含边界）的整点有 个；（直接写出结果）
(3) 沿x轴负方向平移直尺多少厘米时，恰好平分？
20.(本小题10分)
中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一，中原福塔由塔座、塔身、塔楼和桅杆四个部分组成，福塔顶部桅杆天线高达，某校综合与实践小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为一项课题活动，并制定了两种测量方案，实地测量数据如下表：
课题 测量中原福塔的高度
测量示意图 方案一 方案二
方案说明（点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内） 在点C处测得桅杆底部D的仰角为，前进后在点E处测得桅杆顶部A的仰角为 距地面高度为（）的无人机在点F处测得桅杆顶部A的仰角，中原福塔底部边缘G处的俯角
计算中原福塔的高度 …… ……
(1) 了解两种测量方案后，你认为方案 的测量结果误差较大，其结果与中原福塔的实际高度相比偏 （填“大”或“小”），请说明该方案产生较大误差的原因；
(2) 请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，）
21.(本小题10分)
汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元．
(1) 求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价．
(2) 为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
22.(本小题12分)
如图，已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合.
(1) 求此抛物线对应的函数表达式；
(2) 若点，都在函数图象上，且，则 ；（填“”“”或“”）
(3) 将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，请直接写出m的取值范围.
23.(本小题12分)
综合与实践.如图，，点P在的平分线上，于点A．
(1) 【操作判断】
如图，过点P作于点C，补全图形，并判断四边形的形状；
(2) 【问题探究】
如图，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：；
(3) 【拓展延伸】
在（2）的条件下，若点M在射线上，连接，，射线与射线相交于点F，且，请直接写出的值．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】/（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】3或或
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．
17.【答案】【小题1】
【小题2】
解：七（1）班的竞赛成绩较好．
理由如下：
从平均数和优秀率的角度来说，两个班级竞赛成绩的平均分一样，但七（1）班的优秀率高于七（2）班，
∴七（1）班的竞赛成绩比七（2）班好．
【小题3】
解：（人）
答：估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数为人.
18.【答案】【小题1】
解：如图，直线即为所求.
【小题2】
证明：如图，连接交于点.
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴.
∵是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴.
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小题3】
19.【答案】【小题1】
解：由题意,得，，
∴，
将代入，得,
解得,
∴双曲线的函数表达式为；
∵直尺的宽度为，
∴.
∵当时,，
∴．
【小题2】
13
【小题3】
解：由题意,得，
∵恰好平分，，
∴．
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴．
设沿x轴负方向平移直尺,则，
把代入，得，
解得，
∴沿x轴负方向平移直尺时，恰好平分．
20.【答案】【小题1】
解：方案 二的测量结果误差较大，其结果与中原福塔的实际高度相比偏小；
原因：方案二在解答时，算出来不是的长度，的长度被忽略了，将的长作为点F到的距离（即）进行计算，导致误差较大；（合理即可）
【小题2】
解：设，则，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：中原福塔的高度约是．
21.【答案】【小题1】
设甲种汴绣工艺品每件的售价为x元，乙种汴绣工艺品每件的售价为y元．
根据题意，得，
解得．
答：甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元．
【小题2】
设购进甲种汴绣工艺品m件，全部售出后的总利润为w元．
根据题意，得．
∵，
∴m≥48．
又∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝48时，w取得最大值，最大值为，此时购进乙种汴绣工艺品（件）．
答：当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元．
22.【答案】【小题1】
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴此抛物线对应的函数表达式为；
【小题2】
【小题3】
解：m的取值范围是或.
当时，图象G的最高点为，最低点为，如图1，
依题意得：，
解得；
当时，图象G的最高点为，最低点为，如图2，
依题意得：，
解得；
当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图3，
依题意得：，
解得；
当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图4，
此时，图象G的最高点与最低点在直线的同侧，不符合题意舍去；
综上所述，m的取值范围为或．
23.【答案】【小题1】
解：补全图形如图所示.
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵点P在的平分线上,
∴平分，
∴，
∴为等腰直角三角形,
∴，
∴四边形为正方形；
【小题2】
证明：如图，过点P作于点D，
由（1），知四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
【小题3】
解：的值为或.
分以下两种情况讨论：
①当点M在线段上时,分别延长，交于点G，与交于点F，如图所示，
设，
∵，
∴，
由（2），知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴；
②当点M在的延长线上时，过点P作于点E，的延长线交于点H，的延长线交的延长线于点F，如图所示：
同（1）（2）可证，四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,即,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴.
综上所述，的值为或.
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