2025-2026学年湖南省湘潭市湘乡市东皋学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）（含答案）

2025-2026学年湖南省湘潭市湘乡市东皋学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025年“湘超”联赛吸引超230万人到现场观赛，将230万用科学记数法表示正确的是（　　）
A. 2.3×105 B. 2.3×106 C. 23×105 D. 0.23×107
2.下列运算正确的是（　　）
A. 5x2+2x2=7x4 B. a2 a3=a6 C. （ab3）2=a3b5 D. 4a2b÷2a2=2b
3.在写有实数0，1，，-π，0.1235，的六张卡片中，随机抽取一张，是无理数的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图所示的几何体的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点.若AC=8，BC=6，则CD的长为（　　）
A. 10
B. 6
C. 5
D. 4
7.在下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A. AB=AD，CB=CD B. AB∥CD，AD=BC
C. AB=CD，AD=BC D. ∠A=∠B，∠C=∠D
8.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，若AE=4，则AC的长为（　　）
A. 6
B.
C. 10
D.
9.某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同.若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程（　　）
A. B. C. D.
10.在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象如图，则一次函数y=abx+k的图象大致是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解ab-a2= .
12.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
13.在平面直角坐标系中，点M（a,b）与点N（3，-1）关于y轴对称，则a-b的值是 .
14.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（1，4）和点B（-2，m），则m的值为 .
15.如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB是⊙O的切线，B为切点，连接BC，若∠A=20°，则∠C的度数为 .
16.定义一种新运算：a※，例：2※（-1）=22-（-1）=5.若x※（-2x+1）=2，则x的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：.
18.(本小题9分)
先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值.
19.(本小题9分)
完成下列各题：
（1）如图，已知直线AB与⊙O相切于点C，且AC=BC，求证：OA=OB．
（2）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=3，求AC的长．
20.(本小题9分)
某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为A、B、C、D四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.
（1）本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中C组部分所占的圆心角α的度数；
（3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到A、B、C、D四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率.
21.(本小题9分)
2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元.
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
22.(本小题9分)
为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩.如图2，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为6米，与水平面的夹角为15°，且靠墙端离地高AC为5米（图中所有的点都在同一平面内）.（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
（1）求遮阳蓬边缘点B到墙体AC的距离BD；
（2）当太阳光线BF与地面CE的夹角为45°时，求阴影CF的长.
23.(本小题9分)
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证=．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明=．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：=；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC=1，AB=2，求DE的长；
②若BC=m，∠AED=α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．
24.(本小题9分)
如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（-1，0）、点B（5，0），交y轴于点C.
（1）求b,c的值.
（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点.
①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】a（b-a）
12.【答案】x＞-5
13.【答案】-2
14.【答案】-2
15.【答案】35°
16.【答案】1或
17.【答案】．
18.【答案】，2．
19.【答案】（1）证明：连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
又∵AC=BC，
∴OC垂直平分AB，
∴OA=OB；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，BO=DO=BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，∠ADB=30°，
∴AC=BD=2AB=6cm．
20.【答案】60
21.【答案】A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 至少需要购进B款纪念品200个
22.【答案】5.82米 2.38米
23.【答案】解：（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E=∠EAB，∠B=∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAB=∠CAD，
又∵∠E=∠EAB，
∴∠E=∠CAD，
∴CE=CA，
∴．
（2）①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD=∠BAD，CD=DE，
由（1）可知，，
又∵AC=1，AB=2，
∴，
∴BD=2CD，
∵∠BAC=90°，
∴BC===，
∴BD+CD=，
∴3CD=，
∴CD=；
∴DE=；
②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD=∠BAD，CD=DE，∠C=∠AED=α，
∴tan∠C=tanα=，
由（1）可知，，
∴tanα=，
∴BD=CDtanα，
又∵BC=BD+CD=m，
∴CD tanα+CD=m，
∴CD=，
∴DE=．
24.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（-1，0）、点B（5，0），
∴抛物线的表达式为：y=（x+1）（x-5）=x2-4x-5，
∴b=-4，c=-5；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y=x2-4x-5，
令x=0，则y=-5；
∴C（0，-5）
∴直线BC的表达式为：y=x-5，P（x0，-4x0-5），
①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，

则D（x0，x0-5），
∴S△PBC=OB PD=×5×（x0-5-+4x0+5）
=-+x0
=-（x0-2.5）2+，
∴当x0=2.5时，S的值取最大，最大值为；
②存在，理由如下：
由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE=PF，

由①可得，PE=x0-5-+4x0+5=-+5x0，
∵PF∥x轴，
∴F（4-x0，-4x0-5），
∴PF=|2x0-4|，
∴|2x0-4|=-+5x0，
解得x0=-1（舍）或x0=4或x0=-或x0=+（舍），
∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，-5），（-，-）．
第1页，共1页