河北石家庄二中2025-2026学年下学期高一数学4月第一次月考试卷（含答案）

石家庄二中高一下学期第一次月考数学试卷
(时间: 120 分钟, 分值: 150 分)
一、单选题
1. 已知复数 ，其中 为虚数单位，则 ( )
A. B. 1 C. D. 2
2. 设 、 为非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 中, ,则 ( )
A. 105°或15° B. 135°或45° C. 120° 或 30° D. 105°
4. 在梯形 中， ，点 在对角线 上，且 ，则 ()
A. B. C. D.
5. 设 的外心为 ,且 ,则向量 在向量 方向上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类, 每类九个问题, 《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就, 其中在卷五“三斜求积” 中提出了: 已知三角形三边 求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是: “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实， 一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即: . 即有 满足 ，且面积 ，请运用上述公式判断下列命题错误的是( )
A. 周长为 B. 三个内角满足
C. 外接圆的直径为 D. 内切圆的半径为
7. 已知 的三个内角 所对的边分别为 ,若
，则 的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
8. 已知平面向量 、 、 满足: 与 的夹角为锐角. ， ， ，且 的最小值为 ，向量 的最大值是( )。
A. 1 B. C. 3 D.
二、多选题
9. 已知复数 ( 为虚数单位), 在复平面内对应的点为 ,下列说法正确的是()
A. 若 ，则 在复平面内对应的点位于第二象限
B. 若 满足 ，则
C. 若 是方程 的根，则
D. 若 满足 ，则 的最大值为
10. 在 中,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 为锐角三角形.
B. 若 ,则点 的轨迹一定通过 的内心.
C. 若 为 重心,则
D. 若点 满足 ，则
11. 在锐角 中,角 所对的边分别为 ,且 ,则下列结论正确的有( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
三、填空题
12. 平面内 三点共线，则 _____.
13. 石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架. 电视塔以“宝石” 为创造母体，上、下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底O在同一平面内的三个测量基点 ,且在 处测得该塔顶点 的仰角分别为 米，则石家庄电视塔的塔高 为_____米.
14. 在 中,内角 的对边分别为 ,且 , 则 _____:若 所在平面内的一点 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题
15. 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
16. 如图，在梯形 中， 、 分别为 、 的中点,且 是线段 上的一个动点.
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的长；
(3)求 的取值范围.
17. 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
18. 已知平面四边形 中,对角线 为钝角 的平分线, 与 相交于点 , .
(1)求 的值；
(2)求 的长；
(3)若 ，求 的面积.
19. 我们知道复数有三角形式 ，其中 为复数的模， 为辐角主值. 由复数的三角形式可得出,若 ,则 . 其几何意义是把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 (如果 ,就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 倍. 已知在复平面的上半平面内 (包含实轴) 有一个菱形 ,其边
长为 ,点 所对应的复数分别为 . (1)若 ，求出 ；
(2)如图，若 ，以 为边作正方形 .
(i) 若 在 下方，是否存在复数 使得 长度为 若存在,求出复数 ; 若不存在,说明理由:
(ii) 若 在 上方,且向量 ,求 的范围.
石家庄二中高一下学期第一次月考数学
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B A A C D C D AC BCD ACD
7. ,
,即 ,
由正弦定理及余弦定理得 ,
,
又 ,整理得 ,
因为 ,所以 ,
所以 为等腰三角形. 故选: .
8. 由题 ,
因为 ,所以 ,
因 最小值为 ，且由二次函数分析可知，当 时， 取得最小值，
所以 ,解得 ,
又因为 与 的夹角为锐角,所以 ,故 :
因为 ,
将模长代入 .
将模长代入 .
设 ,即原式 , 因为 ,所以 . 因此, 的最大值为 . 故选: D.
10. 选项 : 若 ,则 ,因此角 为锐角，但 不一定为锐角三角形,故 错误:
选项 B: 因为 分别表示 方向上的单位向量,所以 的方向与 的角平分线一致.
若 ,则 的方向与 的角平分线一致,所以点 的轨迹一定通过 的内心,故 正确;
选项 C:若 为 的重心,设边 的中点为 ,
则 ,故 正确:
选项 D:设 的中点为 ，若点 满足 ，则点 为 外心， 于是有 . 又 ,
则
,故 D 正确.
11. ACD解:因为 ，又由余弦定理 ，
即 ,
所以 ,所以 ,即 ,
由正弦定理可得 ,
又 ,
,即 ,
,
为锐角, ,即 ,故选项 正确;
,故选项 B 错误:
,故选项 C 正确:
,
又 ,令 ,则 ,
由对勾函数性质可知, 在 上单调递增,
又 ,
,故选项 D 正确. 故选: ACD.
12.【答案】 由题可知, : 因为 三点共线,所以 和 共线,所以 ,解得 . 所以 ,故 .
13.280设 ,则 .
由 ,得 ,
由余弦定理得 ,解得 米, 14. .
因为 ,由正弦定理得
,
又 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 :
因为 ,易得 .
因为 ,所以 .
所以点 在以 为直径的圆上,要使 取得最小值,则点 在劣弧 上(不同于 , 两点),此时 ，
在 中,由余弦定理得 ,即
所以 ,当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 .
15.(1) 在 中,因 ,则由正弦定理化为
,
于是得 ,而 ,即 ,则
又 ,解得 ,
(2)由已知及(1)得 ，从而得 ，又 ， 由余弦定理 得: ， 即 ,而 ,解得 ,所以 的周长为 .
16.(1)由 分别为 的中点，则 ，
由图可得 ,则 ,
所以 .
(2)由(1)可知 ， ，
由 ，则 ，
,
可得 ,解得 .
( 3 )由图可得 ，
,
,
由 ，则 .
17.(1)根据题意 ,由正弦定理得 , 因为 ,故 ,消去 得 因为 ,所以 , 所以 .
(2)J方法一] 【利用锐角三角形求得 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为 是锐角三角形,又 ,所以 ,则
因为 ,所以 ,则 ,
从而 ,故 面积的取值范围是 .
[方法二]【由题意求得边 的取值范围,然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及(1)知 的面积 .
因为 仍然角三角形,且 ,
所以 即
又由余弦定理得 ,所以 即 ,
所以 ,故 面积的取值范围是 .
18.( 1 )因为 ，对角线 为钝角 的平分线，
所以 ，解得 或 (舍)，
所以 :
(2)由题意，在 中，由余弦定理可得
,
即 ,
整理可得 ,解得 或 (舍去),
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 :
(3)方法一:在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，因为 为钝角，所以 ，
因为 ,所以 ,
所以 ，所以 ，
在 中. 由余弦定理可得
，解得 ，
因为
,
所以 ；
方法二: 在 中,由 ,
可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又由于 ,从而 ,即 ,
所以 ,
,
所以 .
19.( 1 )连接 ，因为四边形 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 ,
所以 ,
所以 ,
(2)设 ，则 ，
设 对应的复数为 ,则 ,
(i) 设 对应的复数为 ,
,
设 对应的复数为 ,所以 ,
所以 ,
由已知可得 ,
所以 ,又 ,所以 , 所以 ,
(ii) 设 对应的复数为 ,
所以 ,
所以 ,又 ,
所以
所以 ,
所以 ,所以 ,
又 ，所以 ，所以 的范围为