浙江嘉兴2025-2026学年下学期高三数学4月二模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江嘉兴2025-2026学年下学期高三数学4月二模试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-10 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年高三教学测试
数学 试题卷
(2026.4)
满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生注意:
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.
2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知 为实数，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则 的面积为
A. B. c. D.
4. 为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理. 已知初始碳排放浓度为 ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少 50% . 国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 0.08 ,若要使该发电厂烟气排放达标,则至少需要脱碳处理的次数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 若数列 满足: 从第二项起,每一项与它的前一项的差依次排成一列,组成的新数列是一个公差为 的等差数列,则称数列 为“ -等差数列”. 已知 为“ 2 - 等差数列”, 且 ,则
A. 91 B. 111 C. 121 D. 133
6. 已知 ，则 的值为
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左、右顶点分别为 ,点 为右支上异于 的一点,过 作 轴的垂线,垂足为 . 若 的面积 ,则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 2
8. 已知直线 与函数 的图象相切，若 ，则实数 的最小值为
A. B. c. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 数据9,10,10,11,12,14,16,17,19,21的第 60 百分位数为 14
B. 对于随机事件 与 ,若 ,则事件 与 相互独立
C. 已知一组样本数据 的平均值为 5,极差为 7,中位数为 6,则数据 的平均值为 9,极差为 14,中位数为 11
D. 若成对样本数据的线性相关程度越强, 则样本相关系数越接近 1
10. 已知 是由复数组成的数列， ( 为虚数单位)，且 ，则 A.
B.
C.
D. 若 ，则 的最小值为
11. 已知函数 ,关于 的不等式 在区间 内的整数解的个数为 ,下列说法正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为 338
C. 若存在实数 ,使 ,则 的最小值为
D. 若存在实数 ,使 ,则 的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 _____.
13. 已知 ， ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是_____.
14. 已知正方体 的棱长为 2,若球 同时满足条件:①与平面 ， 平面 的相切，②与棱 相切(即与棱 仅有一个公共点)，则球 的半径的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分)
已知数列 .
(1)求证:数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. (本题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为线段 的中点， 为线段 上的动点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
(第 16 题)
17.(本题满分 15 分)
已知椭圆 的长轴的长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 有唯一公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴于 和 .
(i) 求 面积的最大值;
(ii) 当点 运动时,求点 的轨迹方程.
18. (本题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 ， 时，求 在 上的最大值；
(2)当 时,若对任意的实数 ，直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的取值范围;
(3)若 . 证明:当 时， .
19. (本题满分 17 分)
在某个抽奖游戏中,抽奖箱内装有 个大小相同、质地均匀的小球,编号分别为 . 游戏规则如下: 从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回; 再从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回; 重复这个过程,直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止。游戏停止时,取球的总次数记作 表示 “共有 个小球,按规则取球 次后游戏停止” 的概率.
(1)求 和 的值；
(2)若小球的个数为 ，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 (用 表示).
2026 年高三教学测试 数学 参考答案
(2026.4)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1-4 CADC 5-8 BDBD
8.由 ,设切点 ,则 切线方程为: ,所以, 因为 ,所以 ,解得 显然, 在 单调递增,所以, 时, ,选
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 10. BCD 11. ACD
11.画出函数 的图象如图所示因为 的周期 ,所以区间 包含区间 和 337 个完整的周期
对于 A: 求不等式 的整数解,只需找直线 和 之间横坐标为整数的点,由图可知: 均满足,共有 338 个,正确;
对于 的整数解个数,即直线 和 之间横坐标为整数的点的个数. 取 ，则 ，故 错误；
对于 : 要使 ,则区间 和 337 个周期内各 2 个. 要使 最小,只需 内包含 1 和 2,因此 的最小值为 ,正确;
对于 D: 要使 ,则区间 和 337 个周期内各 2 个. 要使 最大,只需 内包含 2 和 3,因此 的最大值为 ,正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. -3 13.
14.
14.球 与平面 和平面 均相切,故球心 在二面角 的角平分面上.
为各自所在棱的中点,易知 平面 , 所以 即二面角 的平面角,且 平分 . 要使半径最小,球心 在 上.
作 ,则 平面 ,即球半径 . 又球 与 相切,故 . 因此, . 在 中, , ,因此 ,解得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 13 分)
已知数列 .
(1)求证:数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
解: (1) ,且
因此, 是以 为首项, 为公比的等比数列
( 2 )由( 1 ): ，因此
令
两式相减得:
所以,
16.(本题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，
底面 为线段 的中点， 为线段 上的动点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
解法一: (1) 平面 平面
又 平面 平面 为中点， 平面 平面 ， 平面 平面
(2)作 ，垂足为
平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ，因此， 即直线 与平面 所成角由题意， 设 ,则
与 相似,
整理得 ,即
因此, ,即 ,因此,
解法二: (1) 如图,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,则
设 ,则
设平面 的法向量为 ,则
,取
设平面 的法向量为 ,则
,取
,即平面 平面
(2)由(1)可知: ，平面 的法向量
记直线 与平面 所成角为 ,则
化简得: ,即: ,即
17. (本题满分 15 分)
已知椭圆 的长轴的长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 有唯一公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴于 和 .
(i) 求 面积的最大值;
(ii) 当点 运动时,求点 的轨迹方程.
解: (1) 由题意, ,解得:
因此,椭圆 的标准方程为:
(2)联立 得:
因为 与椭圆相切,故 ,化简得:
因此,
过点 且与 垂直的直线方程为:
令 得 ,令 得
(i)
当且仅当 时取等号,因此,
(ii) ,即 ,得
因为 ,所以 ,化简得:
因此,点 的轨迹方程为:
解法二: (2) 设切点 ,则切线
直线 ,即
令 得 ,令 得
(i)
(ii) 由 得 ,即
(ii) 由 得 ,即
因此,点 的轨迹方程为:
18. (本题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 ， 时，求 在 上的最大值；
(2)当 时，若对任意的实数 ，直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的取值范围;
(3)若 . 证明:当 时， .
解: (1) 时,
在 单调递减，
(2)直线 与曲线 恰有一个公共点，即方程 仅有一个解即方程 仅有一个解,令 ,则
因为对任意实数 ,方程 都仅有一个解
所以 在 上为单调函数,且值域为
(i) 当 时, 在 上单调递减,值域为 ,满足题意;
(ii) 当 时,令 ,得
时, 时,
因此, 在 单调递减,在 单调递增, 当 时, ; 当 时,
因此, 存在唯一零点 在 单调递增,在 单调递减与 在 上为单调函数矛盾,不符合题意;
(iii) 当 时,由 (ii) 知, 在 单调递增,在 单调递减
,要使 在 上为单调函数,需
解得:
且当 时, ,当 时, 值域为 ,满足综上所述，实数 的取值范围为 .
(3) 时，
要证 ,即证
又由 (1) 可知: ,即 ,得
因此,只要证 ,即证
(i) 时,
式得证
(ii) 时, ,因此只需证
即证 ,即证
令 ,则
因此, 在 上单调递增, ,
又 ，所以 成立，得证
综上所述, 时,
19. (本题满分 17 分)
在某个抽奖游戏中,抽奖箱内装有 个大小相同、质地均匀的小球,编号分别为 . 游戏规则如下:从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球, 记录下编号后放回; 重复这个过程, 直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止. 游戏停止时,取球的总次数记作 表示“共有 个小球,按规则取球 次后游戏停止”的概率.
(1)求 和 的值；
(2)若小球的个数为 ，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 (用 表示).
解: (1) 法一: 将 次摸到的小球的编号依次排列,记为
,即 :
时 ; 时 ; 时
共有 种,故
,即 ,且 :
当 时， ，有 种
当 时， ，有 种，以此类推......
因此,
法二: 的含义:摸球 2 次后停止，其反面为:
的含义是前 2 次未能停止,即前两次小球编号依次增大,有 种可能
因此,
的含义: 摸球 3 次后停止,其反面包含两种可能: ,或者
其中, 的含义是前 3 次未能停止,即前三次小球的编号依次增大,有 种可能
因此,
(2)法一:记 为“摸到 号球时，后续还需抽取奇数次，游戏才停止”的概率
则
设摸到 号球的下一次摸到的是 号球. 若 ,游戏停止; 若 ,则游戏继续.
记 ,则 ,又 ,故
因此,
法二: 共 个小球,则最多 次必停止,且
若 ,则说明前 次小球的编号依次增加,第 次编号任意
因此
若 ,则类似 (1) 的讨论:
其中, 的含义是前 次未能停止,即前 次编号依次增加,共 种可能因此
① 若 为偶数，则
② 若 为奇数，则
综上所述，
数学 试题卷
(2026.4)
满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生注意:
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.
2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知 为实数，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则 的面积为
A. B. c. D.
4. 为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理. 已知初始碳排放浓度为 ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少 50% . 国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 0.08 ,若要使该发电厂烟气排放达标,则至少需要脱碳处理的次数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 若数列 满足: 从第二项起,每一项与它的前一项的差依次排成一列,组成的新数列是一个公差为 的等差数列,则称数列 为“ -等差数列”. 已知 为“ 2 - 等差数列”, 且 ,则
A. 91 B. 111 C. 121 D. 133
6. 已知 ，则 的值为
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左、右顶点分别为 ,点 为右支上异于 的一点,过 作 轴的垂线,垂足为 . 若 的面积 ,则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 2
8. 已知直线 与函数 的图象相切，若 ，则实数 的最小值为
A. B. c. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 数据9,10,10,11,12,14,16,17,19,21的第 60 百分位数为 14
B. 对于随机事件 与 ,若 ,则事件 与 相互独立
C. 已知一组样本数据 的平均值为 5,极差为 7,中位数为 6,则数据 的平均值为 9,极差为 14,中位数为 11
D. 若成对样本数据的线性相关程度越强, 则样本相关系数越接近 1
10. 已知 是由复数组成的数列， ( 为虚数单位)，且 ，则 A.
B.
C.
D. 若 ，则 的最小值为
11. 已知函数 ,关于 的不等式 在区间 内的整数解的个数为 ,下列说法正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为 338
C. 若存在实数 ,使 ,则 的最小值为
D. 若存在实数 ,使 ,则 的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 _____.
13. 已知 ， ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是_____.
14. 已知正方体 的棱长为 2,若球 同时满足条件:①与平面 ， 平面 的相切，②与棱 相切(即与棱 仅有一个公共点)，则球 的半径的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分)
已知数列 .
(1)求证:数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. (本题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为线段 的中点， 为线段 上的动点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
(第 16 题)
17.(本题满分 15 分)
已知椭圆 的长轴的长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 有唯一公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴于 和 .
(i) 求 面积的最大值;
(ii) 当点 运动时,求点 的轨迹方程.
18. (本题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 ， 时，求 在 上的最大值；
(2)当 时,若对任意的实数 ，直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的取值范围;
(3)若 . 证明:当 时， .
19. (本题满分 17 分)
在某个抽奖游戏中,抽奖箱内装有 个大小相同、质地均匀的小球,编号分别为 . 游戏规则如下: 从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回; 再从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回; 重复这个过程,直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止。游戏停止时,取球的总次数记作 表示 “共有 个小球,按规则取球 次后游戏停止” 的概率.
(1)求 和 的值；
(2)若小球的个数为 ，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 (用 表示).
2026 年高三教学测试 数学 参考答案
(2026.4)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1-4 CADC 5-8 BDBD
8.由 ,设切点 ,则 切线方程为: ,所以, 因为 ,所以 ,解得 显然, 在 单调递增,所以, 时, ,选
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 10. BCD 11. ACD
11.画出函数 的图象如图所示因为 的周期 ,所以区间 包含区间 和 337 个完整的周期
对于 A: 求不等式 的整数解,只需找直线 和 之间横坐标为整数的点,由图可知: 均满足,共有 338 个,正确;
对于 的整数解个数,即直线 和 之间横坐标为整数的点的个数. 取 ，则 ，故 错误；
对于 : 要使 ,则区间 和 337 个周期内各 2 个. 要使 最小,只需 内包含 1 和 2,因此 的最小值为 ,正确;
对于 D: 要使 ,则区间 和 337 个周期内各 2 个. 要使 最大,只需 内包含 2 和 3,因此 的最大值为 ,正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. -3 13.
14.
14.球 与平面 和平面 均相切,故球心 在二面角 的角平分面上.
为各自所在棱的中点,易知 平面 , 所以 即二面角 的平面角,且 平分 . 要使半径最小,球心 在 上.
作 ,则 平面 ,即球半径 . 又球 与 相切,故 . 因此, . 在 中, , ,因此 ,解得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 13 分)
已知数列 .
(1)求证:数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
解: (1) ,且
因此, 是以 为首项, 为公比的等比数列
( 2 )由( 1 ): ，因此
令
两式相减得:
所以,
16.(本题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，
底面 为线段 的中点， 为线段 上的动点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
解法一: (1) 平面 平面
又 平面 平面 为中点， 平面 平面 ， 平面 平面
(2)作 ，垂足为
平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ，因此， 即直线 与平面 所成角由题意， 设 ,则
与 相似,
整理得 ,即
因此, ,即 ,因此,
解法二: (1) 如图,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,则
设 ,则
设平面 的法向量为 ,则
,取
设平面 的法向量为 ,则
,取
,即平面 平面
(2)由(1)可知: ，平面 的法向量
记直线 与平面 所成角为 ,则
化简得: ,即: ,即
17. (本题满分 15 分)
已知椭圆 的长轴的长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 有唯一公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴于 和 .
(i) 求 面积的最大值;
(ii) 当点 运动时,求点 的轨迹方程.
解: (1) 由题意, ,解得:
因此,椭圆 的标准方程为:
(2)联立 得:
因为 与椭圆相切,故 ,化简得:
因此,
过点 且与 垂直的直线方程为:
令 得 ,令 得
(i)
当且仅当 时取等号,因此,
(ii) ,即 ,得
因为 ,所以 ,化简得:
因此,点 的轨迹方程为:
解法二: (2) 设切点 ,则切线
直线 ,即
令 得 ,令 得
(i)
(ii) 由 得 ,即
(ii) 由 得 ,即
因此,点 的轨迹方程为:
18. (本题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 ， 时，求 在 上的最大值；
(2)当 时，若对任意的实数 ，直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的取值范围;
(3)若 . 证明:当 时， .
解: (1) 时,
在 单调递减，
(2)直线 与曲线 恰有一个公共点，即方程 仅有一个解即方程 仅有一个解,令 ,则
因为对任意实数 ,方程 都仅有一个解
所以 在 上为单调函数,且值域为
(i) 当 时, 在 上单调递减,值域为 ,满足题意;
(ii) 当 时,令 ,得
时, 时,
因此, 在 单调递减,在 单调递增, 当 时, ; 当 时,
因此, 存在唯一零点 在 单调递增,在 单调递减与 在 上为单调函数矛盾,不符合题意;
(iii) 当 时,由 (ii) 知, 在 单调递增,在 单调递减
,要使 在 上为单调函数,需
解得:
且当 时, ,当 时, 值域为 ,满足综上所述，实数 的取值范围为 .
(3) 时，
要证 ,即证
又由 (1) 可知: ,即 ,得
因此,只要证 ,即证
(i) 时,
式得证
(ii) 时, ,因此只需证
即证 ,即证
令 ,则
因此, 在 上单调递增, ,
又 ，所以 成立，得证
综上所述, 时,
19. (本题满分 17 分)
在某个抽奖游戏中,抽奖箱内装有 个大小相同、质地均匀的小球,编号分别为 . 游戏规则如下:从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球, 记录下编号后放回; 重复这个过程, 直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止. 游戏停止时,取球的总次数记作 表示“共有 个小球,按规则取球 次后游戏停止”的概率.
(1)求 和 的值；
(2)若小球的个数为 ，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 (用 表示).
解: (1) 法一: 将 次摸到的小球的编号依次排列,记为
,即 :
时 ; 时 ; 时
共有 种,故
,即 ,且 :
当 时， ，有 种
当 时， ，有 种，以此类推......
因此,
法二: 的含义:摸球 2 次后停止，其反面为:
的含义是前 2 次未能停止,即前两次小球编号依次增大,有 种可能
因此,
的含义: 摸球 3 次后停止,其反面包含两种可能: ,或者
其中, 的含义是前 3 次未能停止,即前三次小球的编号依次增大,有 种可能
因此,
(2)法一:记 为“摸到 号球时，后续还需抽取奇数次，游戏才停止”的概率
则
设摸到 号球的下一次摸到的是 号球. 若 ,游戏停止; 若 ,则游戏继续.
记 ,则 ,又 ,故
因此,
法二: 共 个小球,则最多 次必停止,且
若 ,则说明前 次小球的编号依次增加,第 次编号任意
因此
若 ,则类似 (1) 的讨论:
其中, 的含义是前 次未能停止,即前 次编号依次增加,共 种可能因此
① 若 为偶数，则
② 若 为奇数，则
综上所述，
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