湖南新高考教研联盟2025-2026学年下学期高三数学4月第二次联考试卷（含答案）

高三数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的)
1. 若集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点为 ,则
A. B. C. D.
3. 已知单位向量 满足 ,则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 直线 与圆 的交点为 ,若 ，则 的值为
A. B. C. D.
5. 已知函数 的图象向左平移 个单位长度后关于原点对称,则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知数列 的通项公式为 ,数列 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则
A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503
7. 已知 是定义在 上的奇函数, 的图象关于 对称, ,则
A. 0 B. -3 C. 3 D. 4
8. 已知随机事件 发生的概率均为 ,且两两独立,那么这三个事件同时发生的概率可能为
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 若 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
10. 在舞台上，智能机器人 从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动 1 米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”. 与此同时，另一台机器人 从舞台中心正东方向 2 米的位置起步，移动规则与 相同，若相遇，则继续独立移动. 下列说法中正确的是
A. 机器人 移动 4 秒来到舞台中心的路径条数为 12
B. 已知机器人 移动 4 秒到达舞台中心，则其在 4 秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为
C. 机器人 在移动 3 秒来到舞台中心的正北方向上的概率为
D. 移动 1 秒后机器人 与 的距离为 米的概率为
11. 如图,对每个正整数 是抛物线 上的点, 过焦点 的直线 交抛物线于另一点 ,并记 为抛物线上分别以 与 为切点的两条切线的交点. 则 A.
B.
C. 若 ,则 的最小值为 2
D. 若 ,则
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 已知 ,则曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 如图，在平行四边形 中，已知 ，现将 沿 折起，得到三棱锥 ，且三棱锥 外接球的表面积为 ，则 _____.
数学试卷 第 2 页(共 5 页)
14. 已知数列 ,令 ,其中 ,且 ,定义 ,则 _____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了 200 组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表:
思维任务类型 信号同步性 合计
信号同步 信号不同步
逻辑推理 42 58 100
创造性想象 28 72 100
合计 70 130 200
(1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗 简述理由.
(2)根据小概率值 的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗
附: ,
0.050 0.010 0.001
。 3.841 6.635 10.828
16.(15 分)在 中，已知 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 中点，且 ，求 的面积.
17. (15 分) 如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， ， 是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 3，求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值.
18. (17分)已知椭圆 的上、下焦点分别为 ，右顶点为 ， 为锐角三角形且面积为 .
(1)求椭圆 的离心率.
(2)过 的直线 交椭圆 于 两点( 在 的左侧),且 的面积与 的面积相等.
(1)求直线 的斜率；
(ii) 若 ,求椭圆 的方程.
19.(17 分) 已知函数 .
(1)当 时,证明 有唯一极值点;
(2)讨论 的零点个数；
(3)若存在 ，当 时，总有 ，求符合条件的 的最小值.
高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B C D A C C ABC BD ABD
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分)
1. D 由 解得 ,由 解得 ,故得 .
2. 由 解得 ,则 .
3. B 由 得 ,则 ,解得 .
4. C 在 中， ，圆的半径为 4，可得圆心 到直线的距离为 2 ，
由 ,解得 .
5. D 函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 ,由其图象关于原点对称得 ,解得 ,又 ,得 的最小值为 .
6. A 由题意 ,故 .
7. 由题得 ,即 , ,得到函数 的一个周期为 4,故 .
8. C 由两个事件相互独立得到 ,设 ,则 ,解得 ,又考虑 ,解得 , 综上得 .
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分)
9. 由于 ,则 ,所以 正确. 正确. , D错误.
10. 机器人 移动 4 秒到达舞台中心,则机器人 需要有两步向西,剩下两步为东西各一步或者南北各一步，那么路径条数共有 种，故 A 错误；机器人 移动 4 秒到达舞台中心，由 可知，在 4 秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步，故所求概率为 ，故 正确；移动 3 秒机器人 移动到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心 1 米、3 米处，则距离为 3 米可能的情况有 1 种，距离为 1 米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步，即 种，故所求概率为 ，故 错误; 移动 1 秒后机器人 与 的距离为 米,即 向北 向西、 向东 向北、 向东 向南、 向南 向西, 共 4 种情况,而 与 在移动 1 秒后有 种情况,故所求概率为 ,故 正确.
11. 设直线 的方程为 ,将它与抛物线方程 联立,得 ,
由一元二次方程根与系数的关系得 ,所以 正确.
对任意固定的 ，利用导数知识易得抛物线 在 处的切线的斜率 ，
故 在 处的切线方程为: ①
类似地,可求得 在 处的切线方程为: ,②
由②-①,得 ,③
将③代入①并注意 得交点 的坐标为 .
由 可知, 是直角三角形,且 ,
由射影定理,知 , B 正确.
由两点间的距离公式,得 .
当 ,则 ,由对勾函数性质知, 时, 错误.
若 ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得:
,故 D 正确.
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 由 ,则 ,所以 ,又 , 所以 在点 处的切线方程为 ,即 .
13. 如图,过 作 ,且 ,过 作 ,且 ,
连接 ,根据题意可知 ,
由题意知 ,所以 ,
又 是平面 内的两条相交直线,所以 平面 ,
所以三棱柱 为直三棱柱。
则三棱锥 与直三棱柱 的外接球相同,设其半径为 .
由 ,知 ,设三角形 的外接圆半径为 ,则 ,求得 .
设 ,则 ,在 中,设 ,
则 ,
代入 ,解得 或 (舍), .
14.2 由题意知 ,且 ,所以 是 的个位数。
由于
以此类推可知, 周期为 5,
下分析,设 ,对每个 ,先计算 ,
时, 相减得 ;
时, 相减得 ;
时, 相减得 ,
同理可计算 与 时, 与 ,
故 是以 1,2,1,2,1 循环的周期数列, 是以 循环的周期数列.
故 .
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1)逻辑推理任务中信号同步的频率: ; 2 分
创造性想象任务中信号同步的频率: ; 4 分
思维任务类型与信号同步性有关,因为两类任务的同步频率存在明显差异 . 6 分
(2)零假设 : 思维任务类型与信号同步性无关， 7 分
根据表中数据可得, , 11 分
根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立,即思维任务类型与信号同步性无关. 13 分
16.(1) ,
,即 , 2 分
, 4 分
或 , 5 分
又 为三角形的内角且 . 7 分
(2)法一:在 中，由余弦定理，得 , 8 分
在 中,由余弦定理,得 , 9 分
又因为 为 中点,所以 ,
所以 ,故 , 11 分
在 中,由正弦定理,得 ,所以 , 13 分
所以 . 15 分
法二:在 中，由余弦定理，得 ,① 8 分在 中,因为 为 中点,所以 ,
由余弦定理,得 ,② 9 分
由② ①,得 ,③ 10 分
将 代入③式，解得 ， 11 分
将 代入②式，解得 ， 13 分
所以 的面积 . 15 分
[第(1)问用和差化积公式解答以及第(2)问用中线公式解答可酌情给分]
17.(1) 取 的中点 ,连接 ,
分别是 和 的中点, ; 1 分
和 都垂直于平面 ,且 , 2 分
， 四边形 FMCD 为平行四边形, , 4 分
又 平面 平面 平面 . 6 分
(2)设 到平面 的距离为 ，
则 ，故 . 8 分
法一:由于 垂直于平面 ,建立如图空间直角坐标系 , 9 分
,
,
设 ,则 ,
10 分
设平面 的法向量为 ,则由 得
取 ,得 ,因此平面 的一个法向量 . 12 分
由于 垂直于平面 ,因此 是平面 的一个法向量. 13 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
平面 与平面 夹角的余弦值的最大值为 . 15 分
法二:延长 和 交于点 ,过 作 于 ,
平面 又 且 ，
平面 ,
为平面 与平面 的夹角, 11 分由 ,得 ,
而 ,所以 ,当且仅当 时等号成立; 13 分 ，
平面 与平面 夹角的余弦值的最大值为 . 15 分
18.(1)法一:因为 ， 2 分
所以 ,又 为锐角三角形,所以 ,即 为等边三角形,
所以 ,即 . 4 分
法二: 由题意得 消去 得 , 2 分
同除以 得 ,即 ,解得 或 ,
因为 为锐角三角形,所以 ,即 ,故 . 4 分
(2) ， 和 到直线 的距离相等，
当 和 在直线 同侧时， ，直线 的斜率为 ； 6 分
当 和 在直线 异侧时,直线 过 的中点 ,
直线 的斜率 ,
综上,直线 的斜率为 或 . 8 分
( ii ) 当直线 的斜率为 时,设直线 的方程为 ,
联立 消去 ,得 ,
解得 或 所以 , 10 分
(不合题意,舍去); 11 分
(另解:在 中, ,故 ,从而 ,不合题意)
当直线 的斜率为 时,设直线 的方程为 ,
联立 消去 ,得 ,
故 . 13 分
, 14 分
由 (i) 知 垂直平分 ,故 ,
所以 ,故 , 16 分此时椭圆 的方程为 ,
综上所述: 椭圆 的方程为 . 17 分
19.(1) ,令 ,
则 , 1 分
① 当 时， ， ， ，故 ； 2 分
② 当 时，令 ,
因为 ,故 单调递减,
因为 ,所以 ,使得 ,
且当 时 ,当 时 , 4 分
综合①②，得 ，且当 时 ，当 时 ，
所以 有唯一极值点,即 有唯一极值点. 5 分
(2)①当 时，由 (1) 知 在 上单调递增，在 上单调递减，
,又 使得 ,
且当 时 单调递增,当 时 单调递减,
当 时, ,
,又 存在唯一 ,使得 ,
因此 有 2 个零点 和 ; 7 分
② 当 时， 有唯一零点 ； 8 分
③ 当 时,当 时, ,
又 有唯一零点 . 9 分
综上所述: 当 时, 有 2 个零点; 当 时, 有 1 个零点. 10 分
(3)原问题等价于存在 ，当 时，总有 .
设 ,则 ,
设 ,则 , 11 分
若 单调递增,
当 时, ,即 ,
单调递减,
当 时, ,即 ,命题成立. 12 分
下面仅需考虑 的情况:
由 (1) 知 在 上单调递减,其中 ,故 在 上均单调递减,
① 如果 ，即 ，
则 单调递增, ,即 ,
又 在 上单调递减,故 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,即 ,
故取 ,当 时,总有 ,命题成立. 14 分
② 如果 ，即 ，故由零点存在定理知 ，使得 ，且当 时， ， 单调递减, ,即 (不合题意,舍去). 16 分
综上: 的最小值为 . 17 分