辽宁沈阳2025-2026学年下学期高三数学4月二模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁沈阳2025-2026学年下学期高三数学4月二模试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 282.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-10 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测 (二) 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 答题时请按要求用笔。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁。本试卷共 4 页，考试结束后，将答题卡交回。
第 1 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知平面向量 ,若 ，则 的值为( )
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
2. 已知全集 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 若以直线 为渐近线的双曲线经过点 ，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
5. " 的展开式中 的系数为 60" 是 " " 的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某实验室的 5 名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥. 过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥. 过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥. 两人同行时，过桥用时以较慢者为准. 5 名技术人员单独过桥时间分别为 1 分钟、 2 分钟、 5 分钟、 8 分钟、9 分钟. 则这 5 人全部过桥的最短时间为( )
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
7. 某精密仪器厂正在研发一种标准长度为 的金属垫片. 现随机抽取 200 个垫片测量其实际长度 (单位: )，按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图. 若规定长度在区间 内的垫片为合格品. 利用样本频率估计总体概率的方法,则任取一个垫片为合格品的概率为( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
8. 已知函数 的图象满足以下特征: 图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 . 则下列有关函数 及其性质的描述正确的是 ( )
A.
B. 为函数 图象的对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位长度后,将得到一个偶函数的图象
D. 函数 的单调递减区间为
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，则下列结论正确的有( )
A. 的虚部是 B. 在复平面对应的点位于第二象限
C. D.
10. 若正四面体的表面积为 ，则()
A. 该正四面体的棱长为 1 B. 该正四面体的高为
C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 曲线 在 处的切线与直线 垂直
B. 若点 是曲线 上的动点,则点 到直线 距离的最小值为
C. 曲线 的切线的倾斜角取值范围是
D. 若过点 可以作曲线 的三条切线,则
第 II 卷 (非选择题 共92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则 _____.
13. 在 中,已知 . 则 _____.
14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 . 若椭圆 上存在不同的两点 ，使得 . 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分) 在数列 中, .
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. (本题满分 15 分) 某科技公司研发的 AI 智能体在进行图像分类任务时，单次分类的准确率得分 (单位:分) 服从正态分布 .
(1)求正常情况下，该 AI 单次分类的准确率得分大于 99 分的概率；
(2)某天测试人员随机抽取了该 AI 的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于 99 分. 测试人员根据这两次测试结果，判断该 AI 智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查. 请问测试人员的判断是否合理？请说明理由.
附:若 ,则 0.9545, .
17. (本题满分 15 分) 如图,三棱柱 的所有棱长均为 2,且 .
(1)证明: ；
(2)若三棱柱 的体积为3，求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. (本题满分 17 分) 已知抛物线 ,过焦点 的直线与抛物线 相交于 两点，与抛物线 的准线相交于点 . 若以线段 为直径作圆，当此圆经过点 时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)证明: ；
(3)若点 在抛物线 上，且线段 的中点在直线 上，点 . 求 面积的最大值.
19. (本题满分 17 分) 由于人类对某种小型濒危动物的长期保护，使得其种群数量偏离平衡值的波动量 (单位: 千只) 与时间 (单位: 月) 满足函数 ，其函数图象呈现 “往复波动，渐趋平衡” 的特征.
定义:若函数 在 上满足:
1. 震荡性: 在 上无限次正负交替；
2. 衰减性:任意给定正实数 ，存在实数 ，使得当 时， . 则称 为震荡衰减函数.
(1)求 在 内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为 0 (不必证明)
(2)根据定义判断函数 在 上是否为震荡衰减函数. 如果是，给出证明; 如果不是, 说明理由.
(3)设 . 求证: 无最大值.
2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测(二) 参考答案及评分标准
第 1 卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. BD 10. ACD 11.ABD
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. -12
13. 14. (此处仅提供了参考答案的一种形式)
14. 解: 设 关于原点的对称点为 ,则
若 ,则 ,即 ,所以 .
若 ，由于椭圆的对称性，可得 . 综上 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:
(1)因为 ， 3 分
所以数列 是以 为首项,3 为公比的等比数列, 5 分
所以 . 6 分
(2)由(1)知 ，又因为 ， 所以 . 9 分
11 分
整理得: .
故数列 的前 项和 . 13 分
16. 解:
(1)准确率得分 ，即 . 由于 ， 2 分
所以根据正态分布的对称性与 “ 原则”,
可知 . 即 , 4 分
所以 .
即正常情况下，该 AI 单次分类的准确率得分大于 99 分的概率为 0.00135 . 7 分
(2)测试人员的判断是合理的. 9 分
理由: 在正常情况下, 单次分类得分大于99 分的概率仅为 0.00135 , 属于极小概率事件. 11 分连续两次出现这种极端结果的概率为 ,
几乎不可能在正常运行中发生, 但是现在却发生了. 13 分
因此，这一现象强烈暗示 AI 的算法或输入数据出现了异常，暂停研发更新并排查是合理的决策. ...15 分 17. 解:
(1)证明:因为三棱柱 的所有棱长均为 2 .
所以底面 为等边三角形,侧面 为菱形且 .
取 中点为 ，连接 .
则 、 . 3 分
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 . 5 分
因为 平面 ,
所以 . 6 分
(2)设 到平面 的距离为 .
三棱柱 的体积 ，所以 .
因为 ,
所以 平面 . 7 分
以 为坐标原点, 方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向
建立空间直角坐标系,则 .
所以 . 8 分
设平面 的一个法向量为 ,
则
取 ,则 . 10 分
设平面 的一个法向量为 ,
则
取 ,则 . 12 分
所以 . 14 分
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
18. 解:
(1)解法 1 : 抛物线 的焦点为 ，准线为 .
由抛物线定义 ，故 . 设 ，代入抛物线方程得 . 以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 . 因圆过 ，故圆心到点 的距离等于半径:
解得 . 3 分
代入 ，得 ，解得 . 4 分
因此,抛物线 的方程为 . 5 分
解法 2: 抛物线 的焦点为 ,准线为 .
由抛物线定义 ,故 .
设 ,代入抛物线方程得 ,即 .
设 ,则 .
因圆过 ,所以 . 代入得到 ,解得 .
因此,抛物线 的方程为 .
(2)解法 1:设过焦点 的直线方程为 ，与抛物线 联立得 . 设 ,由韦达定理得 . 6 分
直线与准线 的交点 的坐标为 . 7 分
由抛物线定义 .
计算 .
代入化简，利用 和 ，可证
即 . 10 分
解法 2: 设过焦点 的直线方程为 ，与抛物线 联立得 .
设 ,由韦达定理得 .
直线与准线 的交点 的坐标为 .
由抛物线定义 .
由三角形相似，计算 ,代入 . 得到
又因为 ,化简得
即 .
(3)设 的中点为 ，则 ， 11 分结合 ,得 ,进而 .
弦长 . (无范围 11 分) 12 分
直线 的方程为 ,
点 到直线的距离 13 分
面积 14 分
令 ,则 . 15 分
求导得 ,令 ,解得 ,并且
在 上单调递增,在 上单调递减. 16 分
此时 . 17 分
19. 解:
(1)
令 ,因 恒成立,故 ,解得 . 3 分
当 时, ; 当 时, ,故 为极小值点 4 分
当 时, ,故 为极大值点. 5 分
答: 在这些极值点处, 波动量的增长速率为 0 . 6 分
(2)由第 1 问知， .
因 是周期为 的周期函数. 当 时, ,正弦函数在该区间内无限次正负交替;
又 为常数. 故 无限次正负交替,满足震荡性. 8 分
因为 ,任意给定正数 ,若 ,取 . 当 时, .
若 ,则当 时, . 此时令 ,当 时, .
所以,对任意给定正数 ,存在实数 . 当 时, . 所以 满足衰减性.
综上, 满足震荡性和衰减性,是震荡衰减函数. 11 分
(3)因为 .
所以 .
显然
因为
.
所以,若 存在最大值点 ,则 . 12 分
下面研究 在 上的单调性
(i) 当 时, ,则 ,因为 .
(ii) 当 时, ,故
(iii) 当 时,
则
其中 为锐角, ,所以 . 14 分
令 ,则当 时, ,当 时, . 因为 为连续函数,所以结合 (i) (ii) (iii) 可知 在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减.
因为 15 分
在 上无最大值点. 无最大值点. 17 分
注意事项:
1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 答题时请按要求用笔。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁。本试卷共 4 页，考试结束后，将答题卡交回。
第 1 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知平面向量 ,若 ，则 的值为( )
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
2. 已知全集 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 若以直线 为渐近线的双曲线经过点 ，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
5. " 的展开式中 的系数为 60" 是 " " 的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某实验室的 5 名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥. 过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥. 过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥. 两人同行时，过桥用时以较慢者为准. 5 名技术人员单独过桥时间分别为 1 分钟、 2 分钟、 5 分钟、 8 分钟、9 分钟. 则这 5 人全部过桥的最短时间为( )
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
7. 某精密仪器厂正在研发一种标准长度为 的金属垫片. 现随机抽取 200 个垫片测量其实际长度 (单位: )，按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图. 若规定长度在区间 内的垫片为合格品. 利用样本频率估计总体概率的方法,则任取一个垫片为合格品的概率为( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
8. 已知函数 的图象满足以下特征: 图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 . 则下列有关函数 及其性质的描述正确的是 ( )
A.
B. 为函数 图象的对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位长度后,将得到一个偶函数的图象
D. 函数 的单调递减区间为
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，则下列结论正确的有( )
A. 的虚部是 B. 在复平面对应的点位于第二象限
C. D.
10. 若正四面体的表面积为 ，则()
A. 该正四面体的棱长为 1 B. 该正四面体的高为
C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 曲线 在 处的切线与直线 垂直
B. 若点 是曲线 上的动点,则点 到直线 距离的最小值为
C. 曲线 的切线的倾斜角取值范围是
D. 若过点 可以作曲线 的三条切线,则
第 II 卷 (非选择题 共92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则 _____.
13. 在 中,已知 . 则 _____.
14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 . 若椭圆 上存在不同的两点 ，使得 . 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分) 在数列 中, .
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. (本题满分 15 分) 某科技公司研发的 AI 智能体在进行图像分类任务时，单次分类的准确率得分 (单位:分) 服从正态分布 .
(1)求正常情况下，该 AI 单次分类的准确率得分大于 99 分的概率；
(2)某天测试人员随机抽取了该 AI 的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于 99 分. 测试人员根据这两次测试结果，判断该 AI 智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查. 请问测试人员的判断是否合理？请说明理由.
附:若 ,则 0.9545, .
17. (本题满分 15 分) 如图,三棱柱 的所有棱长均为 2,且 .
(1)证明: ；
(2)若三棱柱 的体积为3，求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. (本题满分 17 分) 已知抛物线 ,过焦点 的直线与抛物线 相交于 两点，与抛物线 的准线相交于点 . 若以线段 为直径作圆，当此圆经过点 时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)证明: ；
(3)若点 在抛物线 上，且线段 的中点在直线 上，点 . 求 面积的最大值.
19. (本题满分 17 分) 由于人类对某种小型濒危动物的长期保护，使得其种群数量偏离平衡值的波动量 (单位: 千只) 与时间 (单位: 月) 满足函数 ，其函数图象呈现 “往复波动，渐趋平衡” 的特征.
定义:若函数 在 上满足:
1. 震荡性: 在 上无限次正负交替；
2. 衰减性:任意给定正实数 ，存在实数 ，使得当 时， . 则称 为震荡衰减函数.
(1)求 在 内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为 0 (不必证明)
(2)根据定义判断函数 在 上是否为震荡衰减函数. 如果是，给出证明; 如果不是, 说明理由.
(3)设 . 求证: 无最大值.
2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测(二) 参考答案及评分标准
第 1 卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. BD 10. ACD 11.ABD
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. -12
13. 14. (此处仅提供了参考答案的一种形式)
14. 解: 设 关于原点的对称点为 ,则
若 ,则 ,即 ,所以 .
若 ，由于椭圆的对称性，可得 . 综上 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:
(1)因为 ， 3 分
所以数列 是以 为首项,3 为公比的等比数列, 5 分
所以 . 6 分
(2)由(1)知 ，又因为 ， 所以 . 9 分
11 分
整理得: .
故数列 的前 项和 . 13 分
16. 解:
(1)准确率得分 ，即 . 由于 ， 2 分
所以根据正态分布的对称性与 “ 原则”,
可知 . 即 , 4 分
所以 .
即正常情况下，该 AI 单次分类的准确率得分大于 99 分的概率为 0.00135 . 7 分
(2)测试人员的判断是合理的. 9 分
理由: 在正常情况下, 单次分类得分大于99 分的概率仅为 0.00135 , 属于极小概率事件. 11 分连续两次出现这种极端结果的概率为 ,
几乎不可能在正常运行中发生, 但是现在却发生了. 13 分
因此，这一现象强烈暗示 AI 的算法或输入数据出现了异常，暂停研发更新并排查是合理的决策. ...15 分 17. 解:
(1)证明:因为三棱柱 的所有棱长均为 2 .
所以底面 为等边三角形,侧面 为菱形且 .
取 中点为 ，连接 .
则 、 . 3 分
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 . 5 分
因为 平面 ,
所以 . 6 分
(2)设 到平面 的距离为 .
三棱柱 的体积 ，所以 .
因为 ,
所以 平面 . 7 分
以 为坐标原点, 方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向
建立空间直角坐标系,则 .
所以 . 8 分
设平面 的一个法向量为 ,
则
取 ,则 . 10 分
设平面 的一个法向量为 ,
则
取 ,则 . 12 分
所以 . 14 分
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
18. 解:
(1)解法 1 : 抛物线 的焦点为 ，准线为 .
由抛物线定义 ，故 . 设 ，代入抛物线方程得 . 以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 . 因圆过 ，故圆心到点 的距离等于半径:
解得 . 3 分
代入 ，得 ，解得 . 4 分
因此,抛物线 的方程为 . 5 分
解法 2: 抛物线 的焦点为 ,准线为 .
由抛物线定义 ,故 .
设 ,代入抛物线方程得 ,即 .
设 ,则 .
因圆过 ,所以 . 代入得到 ,解得 .
因此,抛物线 的方程为 .
(2)解法 1:设过焦点 的直线方程为 ，与抛物线 联立得 . 设 ,由韦达定理得 . 6 分
直线与准线 的交点 的坐标为 . 7 分
由抛物线定义 .
计算 .
代入化简，利用 和 ，可证
即 . 10 分
解法 2: 设过焦点 的直线方程为 ，与抛物线 联立得 .
设 ,由韦达定理得 .
直线与准线 的交点 的坐标为 .
由抛物线定义 .
由三角形相似，计算 ,代入 . 得到
又因为 ,化简得
即 .
(3)设 的中点为 ，则 ， 11 分结合 ,得 ,进而 .
弦长 . (无范围 11 分) 12 分
直线 的方程为 ,
点 到直线的距离 13 分
面积 14 分
令 ,则 . 15 分
求导得 ,令 ,解得 ,并且
在 上单调递增,在 上单调递减. 16 分
此时 . 17 分
19. 解:
(1)
令 ,因 恒成立,故 ,解得 . 3 分
当 时, ; 当 时, ,故 为极小值点 4 分
当 时, ,故 为极大值点. 5 分
答: 在这些极值点处, 波动量的增长速率为 0 . 6 分
(2)由第 1 问知， .
因 是周期为 的周期函数. 当 时, ,正弦函数在该区间内无限次正负交替;
又 为常数. 故 无限次正负交替,满足震荡性. 8 分
因为 ,任意给定正数 ,若 ,取 . 当 时, .
若 ,则当 时, . 此时令 ,当 时, .
所以,对任意给定正数 ,存在实数 . 当 时, . 所以 满足衰减性.
综上, 满足震荡性和衰减性,是震荡衰减函数. 11 分
(3)因为 .
所以 .
显然
因为
.
所以,若 存在最大值点 ,则 . 12 分
下面研究 在 上的单调性
(i) 当 时, ,则 ,因为 .
(ii) 当 时, ,故
(iii) 当 时,
则
其中 为锐角, ,所以 . 14 分
令 ,则当 时, ,当 时, . 因为 为连续函数,所以结合 (i) (ii) (iii) 可知 在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减.
因为 15 分
在 上无最大值点. 无最大值点. 17 分
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