陕西西北工业大学附属中学2025-2026学年下学期高三数学4月第十一次模考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 陕西西北工业大学附属中学2025-2026学年下学期高三数学4月第十一次模考试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-10 00:00:00 | ||
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文档简介
陕西西安市西北工业大学附属中学 2025-2026 学年高三下学期第十一次模 考
数学试题
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知数据 的 80% 分位数是 7,则实数 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 直线 被圆 所截得的弦长为( )
A. 1 B. C. D. 2
4. 等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 45 B. 49 C. 56 D. 63
5. 已知单位向量 在单位向量 上的投影向量为 ，则 ( )
A. B.
C. D. 1
6. 当前, AI 已从一个研究领域变成一类赋能技术. 在医药健康领域, AI 已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面,显著提升了科研效率. 假设某实验室 AI 辅助新药分子筛选,事件 是 “AI 模型筛选出候选分子 ,事件 是 “AI 模型筛选出候选分子 . 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 记函数 的最小正周期为 . 若 ,且 的图象关于点 中心对称,则 ( )
A. 1 B. C. D. 3
8. 已知 为坐标原点,双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，线段 与 交于点 ，若 ， 的面积相等，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 任何一个复数 (其中 为虚数单位) 都可以表示成 的形式,通常称之为复数 的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现: , 我们称这个结论为棣莫弗定理. 公众号悦爱学堂 根据以上信息, 下列说法正确的是 ( )
A.
B. 的实部为
C.
D. 若 时,若 为偶数,则复数 为纯虚数
10. 设函数 ,则( )
A. 是偶函数 B.
C. 在区间 上单调递增 D. 为 的极小值点
三、单选题
11. 一个棱长为 2 的正方体内有一个内切球 ,若球 与正方体的三个面和球 相切,球 与正方体的三个面和球 相切,依次类推,球 与正方体的三个面和球 相切 ,设球 的半径为 ,体积为 ,则下列结论不正确的是( )
A. B. 数列 为等比数列
C. D.
四、填空题
12. 的二项展开式中 的系数是_____. (用数字作答)
13. 已知 为锐角,若 ,则 _____;
14. 已知抛物线 的焦点为 ,其准线 与坐标轴交于点 为 上一点, 的平分线与 轴交于点 ，则点 纵坐标的最大值为_____.
五、解答题
15. 在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，点 在边 上， 为 的平分线，且 ，求边长 的值.
16. 甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为 ,输的概率为 ,每局比赛的结果是独立的.
(1)当 时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案. 方案一:最终获胜者得 3 分，失败者得 -2 分；方案二: 最终获胜者得 1 分，失败者得 0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.
17. 如图，三棱柱 的所有棱长都为 2， 是 的中点， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知椭圆 分别为 的上顶点、右顶点, ,坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程.
(2)若 为 上不同的两点， 的面积为 ，直线 的斜率均存在且分别为 ， .
(i) 证明: 为定值;
(ii) 设 为线段 的中点,点 ,求 面积的最大值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时,若 在 上恒成立,求正整数 的最大值;
(3)若 在 上有零点,求证: .
(参考数据: )
参考答案
1. A
因为 ,且注意到 , 从而 .
故选: A.
2. C
共5个数, ,则第 分位数是第 4 个和第 5 个数的平均数,
因为第80%分位数是 7,则必有一数小于 7,一数大于 7,
故 ,得 .
故选:
3. A
圆 的圆心 ,半径 ,
点 到直线 的距离 ,
所以所求弦长为 .
故选: A
4. D
由题意, ,解得 ,
故 .
故选: D
5. B
因为向量 在向量 上的投影向量为 ,所以确定 与 的夹角为 ,所以 ,
所以 ,所以 .
故答案为: B.
6. A
因为 ,所以 .
所以 .
由 ,得 .
所以 .
7. A
由函数的最小正周期 满足 ,得 ,解得 ,
又因为函数图象关于点 对称,所以 ,且 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故选: A
8. C
设 ,其中 ,又双曲线 的渐近线方程为
如图,取 ,即 ,设 到直线 的距离为 ,则 ,
所以 ,则 ,
因为 的面积相等,又 ,则 ,得到 ,
又直线 方程为 ,则 ,解得 ,
所以 ,又点 在双曲线上,所以 ,
整理得到 ,所以 .
9. AC
对于 ,因为 ,则 ,
所以 ,
又 ,所以 ,故 A 正确,
对于 ,令 ,则 ,所以 的实部为 ,故 错误,
对于 ,令 ,则 ,
所以 ,故 C 正确,
对于 ,若 时,则 ,
当 为偶数时,设 ,
所以 且为奇数时, 为纯虚数; 且为偶数时, 为实数,故 错误.
10. BD
的定义域为 ,故 为非奇非偶函数,故 A 错误,
由于 ,且 ,故 ,
当 时, ,此时 ,当 时, ,此时 ,
当 时, ,因此 正确,
对于 ,当 时, ,此时 ,因此 在 单调递减,故 错误,
对于 ,当 时, ,故 ,当
时, ,此时 ,因此 在 单调递减,在 单调递增, 为 的极小值点, 正确,
故选: BD
11. C
因为正方体棱长为 2,所以内切球 的半径 (内切球直径等于正方体棱长),
对于球 : 球 与正方体的三个面相切,故其球心坐标为 ;
球 与球 相切,两球心距离为 ,该距离等于 ,
由此得到递推关系: ,
整理得 ,
所以 是首项 ,公比 的等比数列.
对于 A: , A 正确;
对于 B: 以上已证明, B 正确;
对于 : 等比数列前 项和 ,因为 ,
所以 ,所以 错误;
对于 : 球的体积 ,
因为 是首项为 1,公比为 的等比数列,
所以
所以 ，D 正确；
故选: C.
12. 60
二项式 的通项公式为 ,
令 ,所以 的系数是 ,
故答案为: 60
13.
设 ,
两边平方相加得 .
又因为 ,
所以 ,所以 ,
又 为锐角,所以 ,所以 ,
所以 .
14.
抛物线 的准线方程为 ,
所以 .
当点 在原点时,易知 .
当点 不在原点时,设 ,则 .
由角平分线定理,得 .
设 ,则 .
因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立.
所以 ,所以 ,
所以 .
即 ,即 ,
解得 .
所以点 纵坐标的最大值为 .
15. (1) ;
(2)4
(1) ,由正弦定理得 ,
又 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,故 ,即 ,
又 ,所以 ;
(2)由(1)知， ，
又 为 的平分线,故 ,
其中 ，由三角形面积公式得 ，
又 ，
显然 ,即 ,
解得 .
16.
(1)记“甲最终以 2:1 获胜”为事件 ，记“甲最终以 2:0 获胜”为事件 ，“甲最终获胜”为事件 ， 于是 与 为互斥事件,
由于 ,
则 ,
即甲最终获胜的概率为 .
(2)曲(1)可知， ，
若选用方案一，记甲最终获得积分为 分，则 可取 ，
则 的分布列为:
3 -2
则 ,
若选用方案二,记甲最终获得积分为 分,则 可取1,0,
则 的分布列为:
Y 1 0
则 ,
所以 ,
由于 ,则 ,
于是 时,两种方案都可以选,
当 时, ,应该选第二种方案,
当 时, ,应该选第一种方案.
17.
(1)证明: 取 的中点 ,连接 ,
因为 是 的中点,所以 ,
又因为三棱柱 的所有棱长都是 2,
所以四边形 为菱形,所以 ,所以 ,
因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
在等边 中,因为 为 的中点,所以 ,
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)解:连接 ，因为三棱柱 的所有棱长都为 2，且 ， 可得 为等边三角形,且 为 的中点,所以 ,
由( 1 )知:平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ,所以 平面 ,
所以 两两垂直,以 为坐标原点,以 所在的直线分别为 轴, 轴和 轴,建立空间直角坐标系, 如图所示,
则 ,
所以 ，
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ，可得 ，所以 ，
因为 ，
设 与平面 所成的角为 ,则 ,
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
18.
(1)由题可知， ， ，
即 ,解得 ,
则椭圆 .
(2)(i)(j)若直线 的斜率不存在，设点 ，
则 ，又因为 ，可解得 ，
由对称性,不妨取 ,即 ,
此时 ; 若取 ,同样可求得 ;
②若直线 的斜率存在，可设直线 ，点 ，
联立直线 与椭圆 ，整理得 ，
而 ,得 ,
根据韦达定理且直线 的斜率均存在,有 ,则 ,
得到 ,
得 ,
整理得 ,
则 ，因 ，故 ，
.
综上所述, ,得证.
(ii) ①若直线 的斜率不存在，由 (i) 可知， ，则 ， 此时 ；
②若直线 的斜率存在，由题可知，直线 ， ，
,故 ,
又因为 ,故 ,点 到直线 的距离 ,
因此 ，
由对称性,不妨假设 ,则 ,因此 ,
令 ，则 ，则 ，
要使得面积最大,则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,则 的最大值为 .
综上所述，因为 ，故 面积的最大值为 .
19.
(1)当 时,
① 当 时， 在 上单调递增；
② 当 时，由 ，得 ，
时, 单调递减.
时, 单调递增.
综上,
时, 在 上为增函数;
时, 在 上为减函数,在 上为增函数.
(2)当 时， ，
因 恒成立,所以 ,
即 ,
所以正整数 的最大值为 1 .
下证 时, 在 上恒成立.
设 ,
则 在 上单调递增, ,即 ,
所以 ,又 ,
所以 ,即 恒成立.
所以正整数 的最大值为 1 .
(3)由题意设 为 的零点 ，则 ，
即 ,则点 在直线 上,
所以 ,即 ,
当 时,设 ,所以 ,则 在 上单调递增,
所以 ,所以 ,又 时, ,
所以 时, ,则 ,
令 ,则 ,
时, 单调递减; 时, 单调递增,
所以 ,即 ,所以 .
数学试题
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知数据 的 80% 分位数是 7,则实数 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 直线 被圆 所截得的弦长为( )
A. 1 B. C. D. 2
4. 等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 45 B. 49 C. 56 D. 63
5. 已知单位向量 在单位向量 上的投影向量为 ，则 ( )
A. B.
C. D. 1
6. 当前, AI 已从一个研究领域变成一类赋能技术. 在医药健康领域, AI 已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面,显著提升了科研效率. 假设某实验室 AI 辅助新药分子筛选,事件 是 “AI 模型筛选出候选分子 ,事件 是 “AI 模型筛选出候选分子 . 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 记函数 的最小正周期为 . 若 ,且 的图象关于点 中心对称,则 ( )
A. 1 B. C. D. 3
8. 已知 为坐标原点,双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，线段 与 交于点 ，若 ， 的面积相等，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 任何一个复数 (其中 为虚数单位) 都可以表示成 的形式,通常称之为复数 的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现: , 我们称这个结论为棣莫弗定理. 公众号悦爱学堂 根据以上信息, 下列说法正确的是 ( )
A.
B. 的实部为
C.
D. 若 时,若 为偶数,则复数 为纯虚数
10. 设函数 ,则( )
A. 是偶函数 B.
C. 在区间 上单调递增 D. 为 的极小值点
三、单选题
11. 一个棱长为 2 的正方体内有一个内切球 ,若球 与正方体的三个面和球 相切,球 与正方体的三个面和球 相切,依次类推,球 与正方体的三个面和球 相切 ,设球 的半径为 ,体积为 ,则下列结论不正确的是( )
A. B. 数列 为等比数列
C. D.
四、填空题
12. 的二项展开式中 的系数是_____. (用数字作答)
13. 已知 为锐角,若 ,则 _____;
14. 已知抛物线 的焦点为 ,其准线 与坐标轴交于点 为 上一点, 的平分线与 轴交于点 ，则点 纵坐标的最大值为_____.
五、解答题
15. 在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，点 在边 上， 为 的平分线，且 ，求边长 的值.
16. 甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为 ,输的概率为 ,每局比赛的结果是独立的.
(1)当 时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案. 方案一:最终获胜者得 3 分，失败者得 -2 分；方案二: 最终获胜者得 1 分，失败者得 0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.
17. 如图，三棱柱 的所有棱长都为 2， 是 的中点， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知椭圆 分别为 的上顶点、右顶点, ,坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程.
(2)若 为 上不同的两点， 的面积为 ，直线 的斜率均存在且分别为 ， .
(i) 证明: 为定值;
(ii) 设 为线段 的中点,点 ,求 面积的最大值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时,若 在 上恒成立,求正整数 的最大值;
(3)若 在 上有零点,求证: .
(参考数据: )
参考答案
1. A
因为 ,且注意到 , 从而 .
故选: A.
2. C
共5个数, ,则第 分位数是第 4 个和第 5 个数的平均数,
因为第80%分位数是 7,则必有一数小于 7,一数大于 7,
故 ,得 .
故选:
3. A
圆 的圆心 ,半径 ,
点 到直线 的距离 ,
所以所求弦长为 .
故选: A
4. D
由题意, ,解得 ,
故 .
故选: D
5. B
因为向量 在向量 上的投影向量为 ,所以确定 与 的夹角为 ,所以 ,
所以 ,所以 .
故答案为: B.
6. A
因为 ,所以 .
所以 .
由 ,得 .
所以 .
7. A
由函数的最小正周期 满足 ,得 ,解得 ,
又因为函数图象关于点 对称,所以 ,且 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故选: A
8. C
设 ,其中 ,又双曲线 的渐近线方程为
如图,取 ,即 ,设 到直线 的距离为 ,则 ,
所以 ,则 ,
因为 的面积相等,又 ,则 ,得到 ,
又直线 方程为 ,则 ,解得 ,
所以 ,又点 在双曲线上,所以 ,
整理得到 ,所以 .
9. AC
对于 ,因为 ,则 ,
所以 ,
又 ,所以 ,故 A 正确,
对于 ,令 ,则 ,所以 的实部为 ,故 错误,
对于 ,令 ,则 ,
所以 ,故 C 正确,
对于 ,若 时,则 ,
当 为偶数时,设 ,
所以 且为奇数时, 为纯虚数; 且为偶数时, 为实数,故 错误.
10. BD
的定义域为 ,故 为非奇非偶函数,故 A 错误,
由于 ,且 ,故 ,
当 时, ,此时 ,当 时, ,此时 ,
当 时, ,因此 正确,
对于 ,当 时, ,此时 ,因此 在 单调递减,故 错误,
对于 ,当 时, ,故 ,当
时, ,此时 ,因此 在 单调递减,在 单调递增, 为 的极小值点, 正确,
故选: BD
11. C
因为正方体棱长为 2,所以内切球 的半径 (内切球直径等于正方体棱长),
对于球 : 球 与正方体的三个面相切,故其球心坐标为 ;
球 与球 相切,两球心距离为 ,该距离等于 ,
由此得到递推关系: ,
整理得 ,
所以 是首项 ,公比 的等比数列.
对于 A: , A 正确;
对于 B: 以上已证明, B 正确;
对于 : 等比数列前 项和 ,因为 ,
所以 ,所以 错误;
对于 : 球的体积 ,
因为 是首项为 1,公比为 的等比数列,
所以
所以 ，D 正确；
故选: C.
12. 60
二项式 的通项公式为 ,
令 ,所以 的系数是 ,
故答案为: 60
13.
设 ,
两边平方相加得 .
又因为 ,
所以 ,所以 ,
又 为锐角,所以 ,所以 ,
所以 .
14.
抛物线 的准线方程为 ,
所以 .
当点 在原点时,易知 .
当点 不在原点时,设 ,则 .
由角平分线定理,得 .
设 ,则 .
因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立.
所以 ,所以 ,
所以 .
即 ,即 ,
解得 .
所以点 纵坐标的最大值为 .
15. (1) ;
(2)4
(1) ,由正弦定理得 ,
又 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,故 ,即 ,
又 ,所以 ;
(2)由(1)知， ，
又 为 的平分线,故 ,
其中 ，由三角形面积公式得 ，
又 ，
显然 ,即 ,
解得 .
16.
(1)记“甲最终以 2:1 获胜”为事件 ，记“甲最终以 2:0 获胜”为事件 ，“甲最终获胜”为事件 ， 于是 与 为互斥事件,
由于 ,
则 ,
即甲最终获胜的概率为 .
(2)曲(1)可知， ，
若选用方案一，记甲最终获得积分为 分，则 可取 ，
则 的分布列为:
3 -2
则 ,
若选用方案二,记甲最终获得积分为 分,则 可取1,0,
则 的分布列为:
Y 1 0
则 ,
所以 ,
由于 ,则 ,
于是 时,两种方案都可以选,
当 时, ,应该选第二种方案,
当 时, ,应该选第一种方案.
17.
(1)证明: 取 的中点 ,连接 ,
因为 是 的中点,所以 ,
又因为三棱柱 的所有棱长都是 2,
所以四边形 为菱形,所以 ,所以 ,
因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
在等边 中,因为 为 的中点,所以 ,
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)解:连接 ，因为三棱柱 的所有棱长都为 2，且 ， 可得 为等边三角形,且 为 的中点,所以 ,
由( 1 )知:平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ,所以 平面 ,
所以 两两垂直,以 为坐标原点,以 所在的直线分别为 轴, 轴和 轴,建立空间直角坐标系, 如图所示,
则 ,
所以 ，
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ，可得 ，所以 ，
因为 ，
设 与平面 所成的角为 ,则 ,
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
18.
(1)由题可知， ， ，
即 ,解得 ,
则椭圆 .
(2)(i)(j)若直线 的斜率不存在，设点 ，
则 ，又因为 ，可解得 ，
由对称性,不妨取 ,即 ,
此时 ; 若取 ,同样可求得 ;
②若直线 的斜率存在，可设直线 ，点 ，
联立直线 与椭圆 ，整理得 ，
而 ,得 ,
根据韦达定理且直线 的斜率均存在,有 ,则 ,
得到 ,
得 ,
整理得 ,
则 ，因 ，故 ，
.
综上所述, ,得证.
(ii) ①若直线 的斜率不存在，由 (i) 可知， ，则 ， 此时 ；
②若直线 的斜率存在，由题可知，直线 ， ，
,故 ,
又因为 ,故 ,点 到直线 的距离 ,
因此 ，
由对称性,不妨假设 ,则 ,因此 ,
令 ，则 ，则 ，
要使得面积最大,则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,则 的最大值为 .
综上所述，因为 ，故 面积的最大值为 .
19.
(1)当 时,
① 当 时， 在 上单调递增；
② 当 时，由 ，得 ，
时, 单调递减.
时, 单调递增.
综上,
时, 在 上为增函数;
时, 在 上为减函数,在 上为增函数.
(2)当 时， ，
因 恒成立,所以 ,
即 ,
所以正整数 的最大值为 1 .
下证 时, 在 上恒成立.
设 ,
则 在 上单调递增, ,即 ,
所以 ,又 ,
所以 ,即 恒成立.
所以正整数 的最大值为 1 .
(3)由题意设 为 的零点 ，则 ，
即 ,则点 在直线 上,
所以 ,即 ,
当 时,设 ,所以 ,则 在 上单调递增,
所以 ,所以 ,又 时, ,
所以 时, ,则 ,
令 ,则 ,
时, 单调递减; 时, 单调递增,
所以 ,即 ,所以 .
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