15.3第1课时 分式方程及其解法 课件（共35张PPT）--2025-2026学年华东师大版八年级数学下册（新教材）

(共35张PPT)
华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件15.3第1课时分式方程及其解法第15章分式授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学15.3第1课时分式方程及其解法练习题一、选择题（每题3分，共18分）1.下列方程中，属于分式方程的是（）A. $$\frac{1}{2}x + 3 = 0$$ B. $$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 1$$ C. $$\frac{1}{x-1} = 2$$ D. $$x^2 - 2x = 3$$1.下列关于分式方程的说法，正确的是（）A.分母中含有字母的方程就是分式方程B.分式方程的解一定是整数C.解分式方程时，去分母后得到的整式方程的解，都是原分式方程的解D.解分式方程的核心是去分母，转化为整式方程求解1.解分式方程$$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$$时，去分母后得到的整式方程是（）A. $$x+1 = 2x$$ B. $$x = 2(x+1)$$ C. $$2x = x+1$$ D. $$x(x+1) = 2$$1.若分式方程$$\frac{x-3}{x-2} = \frac{m}{2-x}$$有增根，则增根是（）A. $$x=2$$ B. $$x=3$$ C. $$x=0$$ D. $$x=-2$$1.解分式方程$$\frac{2}{x-1} + 1 = \frac{x}{x-1}$$，正确的步骤是（）A.去分母得$$2 + 1 = x$$，解得$$x=3$$ B.去分母得$$2 + x-1 = x$$，解得无解C.去分母得$$2 + x+1 = x$$，解得无解D.去分母得$$2 + x-1 = x$$，解得$$x=1$$1.若$$x=2$$是分式方程$$\frac{ax-1}{x-1} = 2$$的解，则$$a$$的值为（）A. $$\frac{3}{2}$$ B. 2 C. $$\frac{5}{2}$$ D. 3二、填空题（每题3分，共18分）1.分母中含有______的方程叫作分式方程。2.解分式方程的一般步骤：去分母、______、解整式方程、______、写出原方程的解。3.解分式方程时，去分母的依据是______，通常在方程两边同乘各分母的______。4.若整式方程的解使原分式方程的______为0，则这个解是原分式方程的增根，原分式方程无解。5.解分式方程$$\frac{3}{x} = \frac{4}{x+1}$$，去分母后得到的整式方程是______。6.若分式方程$$\frac{x}{x-3} + 1 = \frac{m}{x-3}$$有增根，则$$m$$的值为______。三、判断题（每题2分，共10分）1. $$\frac{x}{2} + \frac{1}{x} = 3$$是分式方程（）2.解分式方程时，增根是原分式方程的解（）3.解分式方程$$\frac{1}{x-2} = \frac{3}{x}$$，去分母得$$x = 3(x-2)$$（）4.分式方程$$\frac{2}{x} = \frac{3}{x+1}$$的解是$$x=2$$（）5.所有分式方程都有增根（）四、解答题（共54分）1.（8分）判断下列方程是否为分式方程，并说明理由：（1）$$\frac{x+1}{3} = \frac{2x-1}{2}$$（2）$$\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} = 3$$（3）$$x^2 + \frac{1}{x} = 5$$（4）$$\frac{x-3}{5} = 0$$1.（8分）解下列分式方程：（1）$$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+3}$$（2）$$\frac{x-2}{x+2} = \frac{1}{2}$$1.（8分）解下列分式方程，并检验：（1）$$\frac{3}{x-1} = \frac{4}{x}$$（2）$$\frac{2x}{x+1} = 1$$1.（10分）解下列分式方程，指出是否有增根：（1）$$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$$（2）$$\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1$$1.（10分）已知$$x=1$$是分式方程$$\frac{ax+1}{x-2} = \frac{3}{2}$$的解，求$$a$$的值。1.（10分）当$$k$$为何值时，分式方程$$\frac{k}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{2k+2}{(x-1)(x-2)}$$有增根？参考答案一、选择题1. C 2. D 3. A 4. A 5. B 6. A二、填空题1.未知数2.解整式方程；检验3.等式的基本性质；最简公分母4.分母5. $$3(x+1) = 4x$$（或$$3x+3 = 4x$$）6. 3三、判断题1. √ 2.×（增根不是原分式方程的解）3. √ 4. √ 5.×（不是所有分式方程都有增根）四、解答题1.（1）不是分式方程，理由：分母中不含有未知数，是整式方程；（2）是分式方程，理由：分母中含有未知数$$x$$；（3）是分式方程，理由：分母中含有未知数$$x$$；（4）不是分式方程，理由：分母中不含有未知数，是整式方程。2.（1）去分母得$$x+3 = 2x$$，解得$$x=3$$；检验：当$$x=3$$时，分母$$x=3 \neq 0$$，$$x+3=6 \neq 0$$，故$$x=3$$是原方程的解；（2）去分母得$$2(x-2) = x+2$$，解得$$x=6$$；检验：当$$x=6$$时，分母$$x+2=8 \neq 0$$，故$$x=6$$是原方程的解。3.（1）去分母得$$3x = 4(x-1)$$，解得$$x=4$$；检验：当$$x=4$$时，$$x-1=3 \neq 0$$，$$x=4 \neq 0$$，故$$x=4$$是原方程的解；（2）去分母得$$2x = x+1$$，解得$$x=1$$；检验：当$$x=1$$时，$$x+1=2 \neq 0$$，故$$x=1$$是原方程的解。4.（1）去分母得$$1 + 3(x-2) = x-1$$，解得$$x=2$$；检验：当$$x=2$$时，分母$$x-2=0$$，故$$x=2$$是增根，原方程无解；（2）去分母得$$x^2 - 2(x-1) = x(x-1)$$，解得$$x=2$$；检验：当$$x=2$$时，分母$$x-1=1 \neq 0$$，$$x=2 \neq 0$$，故$$x=2$$是原方程的解，无增根。5.将$$x=1$$代入方程得$$\frac{a \times 1 + 1}{1-2} = \frac{3}{2}$$，即$$\frac{a+1}{-1} = \frac{3}{2}$$，解得$$a = -\frac{5}{2}$$。6.去分母得$$k(x-2) + (x-1) = 2k+2$$，整理得$$(k+1)x = 3k+3$$；分式方程的增根为$$x=1$$或$$x=2$$；①当$$x=1$$时，$$(k+1) \times 1 = 3k+3$$，解得$$k=-1$$；②当$$x=2$$时，$$(k+1) \times 2 = 3k+3$$，解得$$k=-1$$；综上，$$k=-1$$时，分式方程有增根。问题1 轮船在顺水时航行 80 km 所需的时间和在逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，问轮船在静水中的速度.
分式方程的概念
1
分析 设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等 . 如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？
思考 上面问题中我们得到的两个方程有什么特点？
分母中都含有未知数.
分式方程的概念
分式方程的特征
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
(1) 是等式；
(2) 方程中含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
知识要点
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)．
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
方程的最简公分母是：(x + 3)(x - 3).
解：方程两边都乘以 (x + 3)(x - 3)，约去分母，得
80(x - 3) = 60(x + 3)，
解这个整式方程，得 x = 21.
x = 21 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 21 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 21 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
归纳总结
例1 解方程：
解 ：方程两边都乘以 (x2－1)，约去分母，得
解这个整式方程，得 x = 1.
典例精析
x = 1 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 1 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 1 和 x2 - 1 的值都为 0，相应的分式方程无意义.
因此 x = 1 虽是整式方程 x + 1 = 2 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
80(x-3)=60(x+3)
两边同乘(x+3)(x-3)
当x=21时，(x+3)(x-3)≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 1 = 2
两边同乘(x2－1)
当 x=1 时，(x2－1)=0
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验——必不可少的步骤
怎样检验？
归纳总结
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为 0，即为增根.
如例1 中，把 x = 1 代入 x －1，其值为 0，
可知 x = 1 是原分式方程的增根.
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a时
最简公分母是
否为零？
否
是
解 方程两边都乘以 x ( x - 7 ) ，约去分母，得 100 ( x - 7 ) = 30x.
解这个整式方程，得 x = 10 .
例2 解方程：
检验: 把 x = 10 代入 x ( x - 7)，得 10×(10 - 7) ≠ 0
所以 x = 10 是原方程的解.
典例精析
例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值．
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零．
典例精析
解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.
① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；
② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即
x＝2 或 x＝－2.
当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4；
当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6.
∴ m 的值是 1，－4 或 6.
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A
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A
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D
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C
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5．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为_____________________．
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－1
【解】方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，约去分母，
得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)，解得x＝10.
检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0，
∴原方程的解为x＝10.
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【解】方程两边同乘以(x－1)(x＋2)，
得x(x＋2)－3＝(x－1)(x＋2)，解这个方程，得x＝1.
经检验，x＝1是原方程的增根，∴原方程无解．
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【答案】C
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【答案】D
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【答案】D
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘
步骤
(去分母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)
(3) 忘记检验
定义
分母中含未知数的方程叫作分式方程