18.2.2 第2课时 菱形的判定定理2 课件(共27张PPT) --2025-2026学年华东师大版八年级数学下册（新教材）
文档属性
| 名称 | 18.2.2 第2课时 菱形的判定定理2 课件(共27张PPT) --2025-2026学年华东师大版八年级数学下册（新教材） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-10 00:00:00 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件18.2.2第2课时菱形的判定定理2第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册18.2.2第2课时菱形的判定定理2练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕菱形的判定定理2（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）设计，注重基础巩固与简单应用，贴合课时重点，帮助掌握判定方法的运用，衔接上一课时内容，强化知识衔接。一、选择题（每题10分，共30分）1.下列条件中，能判定一个平行四边形是菱形的是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角相等D.邻角互补2.已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，那么这个平行四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定3.下列说法错误的是（）A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形一定是菱形D.菱形的对角线互相垂直且平分二、填空题（每题10分，共30分）1.平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC⊥BD，则四边形ABCD是________，依据是________。2.若四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直且平分，则四边形ABCD是________，理由是________。3.已知平行四边形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，且AC⊥BD，则这个平行四边形的面积是________。三、解答题（每题20分，共40分）1.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（要求写出已知、求证、证明过程）。2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作AC的垂线，交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，求证：四边形AFCE是菱形。参考答案一、选择题：1.B 2.B 3.C二、填空题：1.菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形2.菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是平行四边形，且该平行四边形对角线互相垂直3. 24三、解答题：1.已知：平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O。求证：四边形ABCD是菱形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC（平行四边形对角线互相平分）。又∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠COB=90°。在△AOB和△COB中，OA=OC，∠AOB=∠COB，OB=OB，∴△AOB≌△COB（SAS），∴AB=BC。∴平行四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或直接依据对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC。∴∠EAO=∠FCO。又∵EF⊥AC，∴∠AOE=∠COF=90°。在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF。又∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探索 取两根长度不等的细木棒，让这两个细木棒的中点如图重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，转动其中一根木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形呢
1
试一试 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
作法: (1) 作两条互相垂直的直线m、n，记交点为 O ；
(2) 以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC ；
(3) 以点 O 为圆心、另一适当长
为半径作弧，在直线 n 上截取
相等的两线段 OB、OD；
(4) 顺次连结所得的四个点.
n
m
D
C
B
A
O
n
m
D
C
B
A
问题1 所画平行四边形是菱形吗？
O
是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
问题2 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
不一定！反例：比如筝形
几何语言
在 □ ABCD 中，AC⊥BD，
∴ □ ABCD 是菱形.
菱形的判定定理 2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
知识要点
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
【定理证明】
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ ABCD 是菱形.
四边形
判定一个四边形是菱形的思路：
归纳总结
四条边都相等
菱形
平行四边形
一条邻边相等
菱形
对角线互相垂直
菱形
思考与动手：
1. 在一张纸上用尺规作图作出边长为 10 cm 的菱形；
2. 想办法用一张长方形纸剪出一个菱形；
3. 利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？
请向同学们展示你的作品，全班交流.
想一想 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD 的形状吗？
A
C
D
B
四边形 ABCD 是菱形吗，为什么
证明：分别过点 A 作 AE⊥ BC，交 BC 于点 E， AF⊥DC 于点 F .
∵ AD∥BC，AB∥DC ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ □ ABCD 的面积
= BC×AE = DC×AE
∵ AE = AF，
∴ BC = CD.
∴ □ ABCD 是菱形 .
A
C
D
B
例1 如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
证明：∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
即 AC⊥BD.
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
典例精析
【练一练】
1. 如图，在 □ ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.
∵ AC 平分∠DAB，
∴∠DAC =∠BAC.
∴∠DAC =∠ACD.
∴ AD = CD.
∴ 平行四边形 ABCD 为菱形.
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2.
∵ EF 垂直平分 AC，∴ AO = OC.
在△AOE 和△COF 中，
∵∠1 =∠2，AO = OC，∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.又∵ EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例2 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F.求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
典例精析
返回
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥ AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为( )
A．4 B．8
C．6 D．10
B
2．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，E，F分别是边AB，AD的中点，连结EF，EO，FO，则下列结论错误的是( )
A．EF＝DO
B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形
D．四边形EBOF是菱形
D
返回
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，AD交EF于点O，则∠AOF＝________°．
90
返回
【点拨】如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠2＝∠3.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.∴AE＝DE.
∴平行四边形AEDF为菱形．∴AD⊥EF.∴∠AOF＝90°.
返回
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝8．点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交 BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的长为________．
5.5
5．如图，已知四边形ABCD的四条边都相等，等边三角形AMN的顶点M，N分别在边BC，CD上，且AM＝AB，则∠C的度数为( )
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【点拨】∵四边形ABCD的四条边都相等，∴AB＝AD，四边形ABCD是菱形．∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥ BC.∴∠DAB＋∠B＝180°.∵△AMN是等边三角形，∴∠MAN＝60°，AM＝AN.
又∵AM＝AB，∴AB＝AD＝AM＝AN.∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND.
∴由三角形的内角和定理得∠BAM＝∠NAD.
返回
∴设∠BAM＝∠NAD＝x，则∠AMB＝∠B＝180°－60°－2x＝120°－2x.
又∵∠BAM＋∠B＋∠AMB＝180°，
∴x＋2(120°－2x)＝180°，解得x＝20°.
∴∠C＝∠BAD＝2×20°＋60°＝100°.
【答案】A
6．如图，在 ABCD中，AB＝AD＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P运动的过程中，PE＋PA＋PF的最小值等于________．
7.8
返回
7．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AB＝3，BC＝4，则四边形AFCE的面积为________．
返回
华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件18.2.2第2课时菱形的判定定理2第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册18.2.2第2课时菱形的判定定理2练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕菱形的判定定理2（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）设计，注重基础巩固与简单应用，贴合课时重点，帮助掌握判定方法的运用，衔接上一课时内容，强化知识衔接。一、选择题（每题10分，共30分）1.下列条件中，能判定一个平行四边形是菱形的是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角相等D.邻角互补2.已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，那么这个平行四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定3.下列说法错误的是（）A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形一定是菱形D.菱形的对角线互相垂直且平分二、填空题（每题10分，共30分）1.平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC⊥BD，则四边形ABCD是________，依据是________。2.若四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直且平分，则四边形ABCD是________，理由是________。3.已知平行四边形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，且AC⊥BD，则这个平行四边形的面积是________。三、解答题（每题20分，共40分）1.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（要求写出已知、求证、证明过程）。2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作AC的垂线，交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，求证：四边形AFCE是菱形。参考答案一、选择题：1.B 2.B 3.C二、填空题：1.菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形2.菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是平行四边形，且该平行四边形对角线互相垂直3. 24三、解答题：1.已知：平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O。求证：四边形ABCD是菱形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC（平行四边形对角线互相平分）。又∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠COB=90°。在△AOB和△COB中，OA=OC，∠AOB=∠COB，OB=OB，∴△AOB≌△COB（SAS），∴AB=BC。∴平行四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或直接依据对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC。∴∠EAO=∠FCO。又∵EF⊥AC，∴∠AOE=∠COF=90°。在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF。又∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探索 取两根长度不等的细木棒，让这两个细木棒的中点如图重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，转动其中一根木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形呢
1
试一试 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
作法: (1) 作两条互相垂直的直线m、n，记交点为 O ；
(2) 以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC ；
(3) 以点 O 为圆心、另一适当长
为半径作弧，在直线 n 上截取
相等的两线段 OB、OD；
(4) 顺次连结所得的四个点.
n
m
D
C
B
A
O
n
m
D
C
B
A
问题1 所画平行四边形是菱形吗？
O
是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
问题2 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
不一定！反例：比如筝形
几何语言
在 □ ABCD 中，AC⊥BD，
∴ □ ABCD 是菱形.
菱形的判定定理 2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
知识要点
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
【定理证明】
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ ABCD 是菱形.
四边形
判定一个四边形是菱形的思路：
归纳总结
四条边都相等
菱形
平行四边形
一条邻边相等
菱形
对角线互相垂直
菱形
思考与动手：
1. 在一张纸上用尺规作图作出边长为 10 cm 的菱形；
2. 想办法用一张长方形纸剪出一个菱形；
3. 利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？
请向同学们展示你的作品，全班交流.
想一想 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD 的形状吗？
A
C
D
B
四边形 ABCD 是菱形吗，为什么
证明：分别过点 A 作 AE⊥ BC，交 BC 于点 E， AF⊥DC 于点 F .
∵ AD∥BC，AB∥DC ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ □ ABCD 的面积
= BC×AE = DC×AE
∵ AE = AF，
∴ BC = CD.
∴ □ ABCD 是菱形 .
A
C
D
B
例1 如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
证明：∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
即 AC⊥BD.
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
典例精析
【练一练】
1. 如图，在 □ ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.
∵ AC 平分∠DAB，
∴∠DAC =∠BAC.
∴∠DAC =∠ACD.
∴ AD = CD.
∴ 平行四边形 ABCD 为菱形.
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2.
∵ EF 垂直平分 AC，∴ AO = OC.
在△AOE 和△COF 中，
∵∠1 =∠2，AO = OC，∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.又∵ EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例2 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F.求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
典例精析
返回
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥ AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为( )
A．4 B．8
C．6 D．10
B
2．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，E，F分别是边AB，AD的中点，连结EF，EO，FO，则下列结论错误的是( )
A．EF＝DO
B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形
D．四边形EBOF是菱形
D
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3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，AD交EF于点O，则∠AOF＝________°．
90
返回
【点拨】如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠2＝∠3.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.∴AE＝DE.
∴平行四边形AEDF为菱形．∴AD⊥EF.∴∠AOF＝90°.
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4．如图，在菱形ABCD中，AB＝8．点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交 BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的长为________．
5.5
5．如图，已知四边形ABCD的四条边都相等，等边三角形AMN的顶点M，N分别在边BC，CD上，且AM＝AB，则∠C的度数为( )
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【点拨】∵四边形ABCD的四条边都相等，∴AB＝AD，四边形ABCD是菱形．∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥ BC.∴∠DAB＋∠B＝180°.∵△AMN是等边三角形，∴∠MAN＝60°，AM＝AN.
又∵AM＝AB，∴AB＝AD＝AM＝AN.∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND.
∴由三角形的内角和定理得∠BAM＝∠NAD.
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∴设∠BAM＝∠NAD＝x，则∠AMB＝∠B＝180°－60°－2x＝120°－2x.
又∵∠BAM＋∠B＋∠AMB＝180°，
∴x＋2(120°－2x)＝180°，解得x＝20°.
∴∠C＝∠BAD＝2×20°＋60°＝100°.
【答案】A
6．如图，在 ABCD中，AB＝AD＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P运动的过程中，PE＋PA＋PF的最小值等于________．
7.8
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7．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AB＝3，BC＝4，则四边形AFCE的面积为________．
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