沪科版数学八年级下册期末培优演练之最值问题篇
一、蚂蚁爬行问题
1．（2025八上·期末）如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：正方体的部分展开图如图所示，连接PQ，即PQ的长度即为蚂蚁爬行的最短路程
由题意可得：PB=AB=6，AQ=2
∴BQ=6+2=8
∴
故答案为：C
【分析】根据正方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.
2．（2026七上·邛崃期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接AB，
，
则，
如图2，把右侧面展开到正面上，连接AB，
，
则；
如图3，把向上的面展开到正面上，连接AB，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是25cm，
故答案为：A .
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况：把左侧面展开到水平面上；把右侧面展开到正面上；把向上的面展开到正面上；分别利用勾股定理计算，再比较即可得解．
3．（2025八下·中江月考）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作点E关于点C的对称点F，连接AF，则AF 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 ，
由题意得，，CE=CF=2cm，，BC=10cm，
∴BF=BC+CF=12cm
∴，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm，
故答案为：A．
【分析】将杯子侧面展开， 作点E关于点C的对称点F，连接AF，则AF 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 ， 利用勾股定理求出AF即可．
4．（2026八上·德惠期末）如图，透明的圆柱形玻璃杯的高为7cm，底面周长为10cm，在杯子内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，且离杯口上沿2cm的点A处，若玻璃杯的厚度忽略不计，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开侧面，如下图所示，
取点A关于EF的对称点A'，连接A'B，A-L-B即为最短路径，
最短路径长为A'B的长
A'E=3，EM=5-2=3，BM=5，
A'B=
故答案为：D .
【分析】展形侧面并且点A关于EF的对称点A'，当A'、L、B共线时取最小值，由勾股定理求出A'B的值即可.
5．如图，已知圆柱底面的周长为4d m，圆柱高为 2 dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为 2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为
故选： A.
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.
二、轴对称最值
6．（2025八下·长沙月考）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 （ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长，
正方形的边长为8，且，
，，，
，
的最小值为10．
故选：D．
【分析】本题考查轴对称在最短路径问题中的应用，结合正方形的性质与勾股定理。点 B 与点 D 关于对角线 AC 对称，连接 BN，由轴对称性质得 BN = DN，则 DN + MN = BN + MN。当点 N 位于 BM 与 AC 的交点时，BN + MN 取最小值，即为线段 BM 的长。在Rt△ BCM 中，BC = 8，CM = CD - DM = 6，由勾股定理得 BM = = 10。故 DN + MN 的最小值为 10，对应选项 D。
7．（2025八下·珠海期中）如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故答案为：D．
【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形及矩形的判定与性质，解题需逐步推导图形关系。菱形的对角线互相垂直且平分，因此，，；由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；又因为，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形是矩形；矩形的对边相等，所以，在中，根据勾股定理，故。
8．（2025八上·拱墅月考）如图， △ABC是边长为2的等边三角形， D， E分别为BC， AC的中点， P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为( )
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接BE交AD于点P'，
是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，
∴ AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，
P'E+P'C=P'E+P'B=BE，
根据两点之间线段最短，
点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长.
所以P'E+P'C的最小值为：
故答案为：A .
【分析】根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB=PC，即可得到PE+PC的最小值即为BE的长.
9．（2025八下·顺德期中）如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，
，，
∵是等边三角形，
，，
，
在和中，，
∴
∴，
∴的值为定值，点F一定在一条直线上运动，
作点D关于的对称点G，连接，
根据轴对称可知，，
∴，
∴当最小时，最小，
∵当G、F、B在同一直线上时，最小，
∴的最小值为线段的长，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
，，
，
，
，
∴的最小值为，故C正确.
故选：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称求最短路径和勾股定理的综合运用，结合和均为等边三角形的性质，通过SAS证明，得出，确定点F的运动轨迹；利用轴对称的性质作点D关于的对称点G，将转化为，根据两点之间线段最短，当G、F、B三点共线时，取得最小值，即的长度；再结合已知条件判定为等边三角形，利用勾股定理求出的长，即为的最小值。
10．（2025八上·衡阳期末）如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线性质、垂线段最短及三角形的面积问题.利用角平分线性质将线段和转化为垂线段长度，结合面积法求垂线段.
11．（2025八上·舟山期中）如图，中，，，，D为边上一动点，垂直平分分别交于E，交于F．当时，连接，则的周长为 ；当D为上任意一点时，取中点G，则的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长；
∵，
∴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
∴，
取点关于轴的对称点，则，
∴，
当三点共线时，最小，
∵，G是AB的中点，
∴，即，
∴，
∴的最小值为．
故填：；．
【分析】根据角所对直角边等于斜边一半得，由勾股定理得，得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长；
建立平面直角坐标系，得出，取点关于轴的对称点，得出，
，当三点共线时，最小，先求出G点坐标为，根据两点间距离公式可求出的长，即可得出的最小值．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2)，点 B是正比例函数y=x图象上一动点，点 C 是y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为 .
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：作A 点关于直线y=x的对称点P，关于y轴的对称点 Q，连接 PQ交直线y=x于B，交y轴于C，
∵AC=CQ，BP=AB，
∴CQ+CB+BP.
∵P，B，C，Q四点共线，
∴此时△ABC 周长最小，最小值为 PQ 的长度.
由A(1，2)易知Q(-1，2)，P(2，1)，
∴PQ=
则△ABC 周长的最小值为 ，
故答案为：
【分析】作A 点关于直线y=x的对称点P，关于y轴的对称点 Q，连接 PQ交直线y=x于B，交y轴于C，利用“将军饮马”模型，可知△ABC 周长最小，最小值为 PQ 的长度，再根据勾股定理即可求解.
三、中点相关（中位线、斜边中线、倍长中线）
13．（2026八上·温岭期末） 如图， 在. 中， 点 D， E分别在边AB， BC上， 连接DE， 点F， G分别是AC， DE的中点， 连接FG， 若DE=6， 则 FG的最小值是（ )
A．1.8 B．2 C． D．2.5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；线段的中点；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 连接，
在中， ， ， ，
，
点为的中点，
，
分别是、边上的点， 且，
，
点在以点为圆心，半径为的圆弧上运动，
且当点三点共线时，最小，
，
故答案为：B.
【分析】连接，先根据中点求出BD和BE长，然后根据勾股定理求出DE长，再根据三角形斜边上中线的性质求出BE长，最后根据三角形三边关系求出最小值解答即可．
14．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质和垂线段最短的原理。首先连接AG，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，因此，求EF的最小值即可转化为求AG的最小值；根据垂线段最短的性质，当AG垂直于BC时，AG取得最小值；由平行四边形的邻角互补，可推出，在Rt△ABN中，利用直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理求出，即AG的最小值为，进而求出的最小值为。
四、点到直线距离（垂线段）
15．（2025八上·宜宾期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴当的值最小时，取得最大值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【分析】在中利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而求出EF的长度，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，CF的值最小，最后利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得．
16．（2024八上·青羊期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(0，2)，点B为x轴上的动点，以AB为边作等边三角形ABC，当OC最小时点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，当点运动到如下位置时，点位于轴上，
是等边三角形，
，AB=AC
，
，
，
点A坐标为(0，2)，
∴AO=2，
∵在△AOC中，，
∴，
此时，
如图，当点运动到如下位置时，点位于轴上，
是等边三角形，
此时
设直线的解析式为，，
则
解得
直线的解析式为
当取得最小值时，
设直线交轴于点
点在直线上，设
则
即
解得
当时，
故答案为：
【分析】先设点C位于x轴上，根据等边三角形三线合一可推出 的度数，，利用点A的坐标结合勾股定理即可求出此时点C的坐标；再设点C运动到y轴上，利用等边三角形的对称性可直接求得此时点C的坐标，利用待定系数法求得点所在的直线解析式，根据点到直线的距离垂线段最短确定当OC最小时点C位置，先利用勾股定理求出OC的长，再设点的坐标，根据勾股定理即可确定的坐标．
五、两点之间，线段最短
17．（2024八下·南沙期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点分别是线段上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ．
【答案】5；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，
∴，，
∴，
∵点的坐标为，
∴
∴，
∴，
过点C作轴于点C，且，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值转化为的最小值，当A，G，E三点共线时，取得最小值，
连接，交于点，当E与Q重合时，取得最小值，
∵，
设直线的解析式，根据题意，得
，
解得，
故解析式为，
设直线的解析式为，根据题意，得
，
解得，
故解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故点．
故答案为：5；．
【分析】根据一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，得到，，结合点的坐标为，得到；过点C作轴于点C，且，连接，证明，从而得到，从而的最小值转化为的最小值，当A，G，E三点共线时，最小，利用一次函数解析式确定方程组求得交点坐标，利用两点间距离公式求得即可．
六、配方法解决最值问题
18．（2024九上·丰台期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：
无论取何实数，都有，
，即的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：
（1）直接写出的最小值 ；
（2）比较代数式与的大小，并说明理由；
（3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）3
（2）解：，理由如下：
∵，
∴
∴，
（3）解：如图，
设，则根据题意得，
∴
∵，
∴，
四边形面积的最大值为．
【知识点】配方法的应用；整式的大小比较；多边形的面积
【解析】【解析】（1）解：
，
，
∴的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】（1）将配方得，即可得到答案.
（2）根据作差法得将与相减后利用配方法即可比较大小.
（3）根据题意得，结合，设，则根据题意得，代入计算后配方得，即可得四边形面积的最大值.
（1）解：
无论取何实数，都有，
，即的最小值为3．
故答案为：3．
（2）解：
（3）解：四边形面积为：
四边形面积的最大值为．
19．（2023九上·兴隆期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为2．
（1）【尝试应用】请直接写出的最小值 ；
（2）【拓展应用】试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
（3）【创新应用】如图，在四边形ABCD中，，若，求四边形ABCD的面积最大值．
【答案】（1）8
（2）解：，
∵，
∴，
∴无论x取何实数，二次根式都有意义；
（3）解：∵，
∴四边形ABCD的面积，
∵，
∴，
∴四边形ABCD的面积
∵，
∴当，四边形ABCD的面积最大，最大值为．
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次函数的最值；配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
，
∵无论x取何实数，都有，
∴，
即的最小值为8；
故答案为：8.
【分析】（1）利用配方法先求出，再求出，最后求最值即可；
（2）利用配方法求出 ， 再求出 ， 最后作答求解即可；
（3）根据题意先求出四边形ABCD的面积，再求出， 最后利用配方法计算求解即可。
20．（2024八上·长沙期中）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：．
（1）把多项式配方成的形式，则________，________；
（2）若多项式，．
①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数；
②求多项式的最小值．
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
【答案】（1）2，1；
（2）①证明：，
多项式的值一定恒为正数；
②解：
，
的最小值为9；
（3）解：，
，
，
，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数，
，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】
（1）
解：
，
，，
故答案为：2，1；
【分析】
（1）若二次三项式的二次项系数为1，配方时可给原多项式加上再减去一次项系数一半的平方，则可将原式转化为一个完全平方式与一个常数和的形式；
（2）①利用配方法将多项式A转化成，则其值恒大于或等于1；
②同理将配方成，即可确定最小值；
（3）利用等式的性质和配方法可将原不等式变形为，由于，，都为正整数，则由平方式的非负性首先可得，即；其次再讨论的值，同理由平方式的非负性可得或或，再解不等式分别求出对应的的正整数解即可．
（1）解：
，
，，
故答案为：2，1；
（2）①证明：，
多项式的值一定恒为正数；
②解：
，
的最小值为9；
（3），
，
，
，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数，
，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
1 / 1沪科版数学八年级下册期末培优演练之最值问题篇
一、蚂蚁爬行问题
1．（2025八上·期末）如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2026七上·邛崃期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·中江月考）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A． B． C． D．
4．（2026八上·德惠期末）如图，透明的圆柱形玻璃杯的高为7cm，底面周长为10cm，在杯子内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，且离杯口上沿2cm的点A处，若玻璃杯的厚度忽略不计，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知圆柱底面的周长为4d m，圆柱高为 2 dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( ).
A． B． C． D．
二、轴对称最值
6．（2025八下·长沙月考）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 （ ）
A． B． C．8 D．10
7．（2025八下·珠海期中）如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
8．（2025八上·拱墅月考）如图， △ABC是边长为2的等边三角形， D， E分别为BC， AC的中点， P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为( )
A． B． C．1 D．2
9．（2025八下·顺德期中）如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
10．（2025八上·衡阳期末）如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是
11．（2025八上·舟山期中）如图，中，，，，D为边上一动点，垂直平分分别交于E，交于F．当时，连接，则的周长为 ；当D为上任意一点时，取中点G，则的最小值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2)，点 B是正比例函数y=x图象上一动点，点 C 是y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为 .
三、中点相关（中位线、斜边中线、倍长中线）
13．（2026八上·温岭期末） 如图， 在. 中， 点 D， E分别在边AB， BC上， 连接DE， 点F， G分别是AC， DE的中点， 连接FG， 若DE=6， 则 FG的最小值是（ )
A．1.8 B．2 C． D．2.5
14．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
四、点到直线距离（垂线段）
15．（2025八上·宜宾期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024八上·青羊期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(0，2)，点B为x轴上的动点，以AB为边作等边三角形ABC，当OC最小时点C的坐标为 ．
五、两点之间，线段最短
17．（2024八下·南沙期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点分别是线段上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ．
六、配方法解决最值问题
18．（2024九上·丰台期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：
无论取何实数，都有，
，即的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：
（1）直接写出的最小值 ；
（2）比较代数式与的大小，并说明理由；
（3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值．
19．（2023九上·兴隆期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为2．
（1）【尝试应用】请直接写出的最小值 ；
（2）【拓展应用】试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
（3）【创新应用】如图，在四边形ABCD中，，若，求四边形ABCD的面积最大值．
20．（2024八上·长沙期中）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：．
（1）把多项式配方成的形式，则________，________；
（2）若多项式，．
①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数；
②求多项式的最小值．
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：正方体的部分展开图如图所示，连接PQ，即PQ的长度即为蚂蚁爬行的最短路程
由题意可得：PB=AB=6，AQ=2
∴BQ=6+2=8
∴
故答案为：C
【分析】根据正方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接AB，
，
则，
如图2，把右侧面展开到正面上，连接AB，
，
则；
如图3，把向上的面展开到正面上，连接AB，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是25cm，
故答案为：A .
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况：把左侧面展开到水平面上；把右侧面展开到正面上；把向上的面展开到正面上；分别利用勾股定理计算，再比较即可得解．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作点E关于点C的对称点F，连接AF，则AF 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 ，
由题意得，，CE=CF=2cm，，BC=10cm，
∴BF=BC+CF=12cm
∴，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm，
故答案为：A．
【分析】将杯子侧面展开， 作点E关于点C的对称点F，连接AF，则AF 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 ， 利用勾股定理求出AF即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开侧面，如下图所示，
取点A关于EF的对称点A'，连接A'B，A-L-B即为最短路径，
最短路径长为A'B的长
A'E=3，EM=5-2=3，BM=5，
A'B=
故答案为：D .
【分析】展形侧面并且点A关于EF的对称点A'，当A'、L、B共线时取最小值，由勾股定理求出A'B的值即可.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为 2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为
故选： A.
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长，
正方形的边长为8，且，
，，，
，
的最小值为10．
故选：D．
【分析】本题考查轴对称在最短路径问题中的应用，结合正方形的性质与勾股定理。点 B 与点 D 关于对角线 AC 对称，连接 BN，由轴对称性质得 BN = DN，则 DN + MN = BN + MN。当点 N 位于 BM 与 AC 的交点时，BN + MN 取最小值，即为线段 BM 的长。在Rt△ BCM 中，BC = 8，CM = CD - DM = 6，由勾股定理得 BM = = 10。故 DN + MN 的最小值为 10，对应选项 D。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故答案为：D．
【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形及矩形的判定与性质，解题需逐步推导图形关系。菱形的对角线互相垂直且平分，因此，，；由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；又因为，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形是矩形；矩形的对边相等，所以，在中，根据勾股定理，故。
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接BE交AD于点P'，
是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，
∴ AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，
P'E+P'C=P'E+P'B=BE，
根据两点之间线段最短，
点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长.
所以P'E+P'C的最小值为：
故答案为：A .
【分析】根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB=PC，即可得到PE+PC的最小值即为BE的长.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，
，，
∵是等边三角形，
，，
，
在和中，，
∴
∴，
∴的值为定值，点F一定在一条直线上运动，
作点D关于的对称点G，连接，
根据轴对称可知，，
∴，
∴当最小时，最小，
∵当G、F、B在同一直线上时，最小，
∴的最小值为线段的长，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
，，
，
，
，
∴的最小值为，故C正确.
故选：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称求最短路径和勾股定理的综合运用，结合和均为等边三角形的性质，通过SAS证明，得出，确定点F的运动轨迹；利用轴对称的性质作点D关于的对称点G，将转化为，根据两点之间线段最短，当G、F、B三点共线时，取得最小值，即的长度；再结合已知条件判定为等边三角形，利用勾股定理求出的长，即为的最小值。
10．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线性质、垂线段最短及三角形的面积问题.利用角平分线性质将线段和转化为垂线段长度，结合面积法求垂线段.
11．【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长；
∵，
∴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
∴，
取点关于轴的对称点，则，
∴，
当三点共线时，最小，
∵，G是AB的中点，
∴，即，
∴，
∴的最小值为．
故填：；．
【分析】根据角所对直角边等于斜边一半得，由勾股定理得，得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长；
建立平面直角坐标系，得出，取点关于轴的对称点，得出，
，当三点共线时，最小，先求出G点坐标为，根据两点间距离公式可求出的长，即可得出的最小值．
12．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：作A 点关于直线y=x的对称点P，关于y轴的对称点 Q，连接 PQ交直线y=x于B，交y轴于C，
∵AC=CQ，BP=AB，
∴CQ+CB+BP.
∵P，B，C，Q四点共线，
∴此时△ABC 周长最小，最小值为 PQ 的长度.
由A(1，2)易知Q(-1，2)，P(2，1)，
∴PQ=
则△ABC 周长的最小值为 ，
故答案为：
【分析】作A 点关于直线y=x的对称点P，关于y轴的对称点 Q，连接 PQ交直线y=x于B，交y轴于C，利用“将军饮马”模型，可知△ABC 周长最小，最小值为 PQ 的长度，再根据勾股定理即可求解.
13．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；线段的中点；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 连接，
在中， ， ， ，
，
点为的中点，
，
分别是、边上的点， 且，
，
点在以点为圆心，半径为的圆弧上运动，
且当点三点共线时，最小，
，
故答案为：B.
【分析】连接，先根据中点求出BD和BE长，然后根据勾股定理求出DE长，再根据三角形斜边上中线的性质求出BE长，最后根据三角形三边关系求出最小值解答即可．
14．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质和垂线段最短的原理。首先连接AG，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，因此，求EF的最小值即可转化为求AG的最小值；根据垂线段最短的性质，当AG垂直于BC时，AG取得最小值；由平行四边形的邻角互补，可推出，在Rt△ABN中，利用直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理求出，即AG的最小值为，进而求出的最小值为。
15．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴当的值最小时，取得最大值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【分析】在中利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而求出EF的长度，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，CF的值最小，最后利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得．
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，当点运动到如下位置时，点位于轴上，
是等边三角形，
，AB=AC
，
，
，
点A坐标为(0，2)，
∴AO=2，
∵在△AOC中，，
∴，
此时，
如图，当点运动到如下位置时，点位于轴上，
是等边三角形，
此时
设直线的解析式为，，
则
解得
直线的解析式为
当取得最小值时，
设直线交轴于点
点在直线上，设
则
即
解得
当时，
故答案为：
【分析】先设点C位于x轴上，根据等边三角形三线合一可推出 的度数，，利用点A的坐标结合勾股定理即可求出此时点C的坐标；再设点C运动到y轴上，利用等边三角形的对称性可直接求得此时点C的坐标，利用待定系数法求得点所在的直线解析式，根据点到直线的距离垂线段最短确定当OC最小时点C位置，先利用勾股定理求出OC的长，再设点的坐标，根据勾股定理即可确定的坐标．
17．【答案】5；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，
∴，，
∴，
∵点的坐标为，
∴
∴，
∴，
过点C作轴于点C，且，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值转化为的最小值，当A，G，E三点共线时，取得最小值，
连接，交于点，当E与Q重合时，取得最小值，
∵，
设直线的解析式，根据题意，得
，
解得，
故解析式为，
设直线的解析式为，根据题意，得
，
解得，
故解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故点．
故答案为：5；．
【分析】根据一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，得到，，结合点的坐标为，得到；过点C作轴于点C，且，连接，证明，从而得到，从而的最小值转化为的最小值，当A，G，E三点共线时，最小，利用一次函数解析式确定方程组求得交点坐标，利用两点间距离公式求得即可．
18．【答案】（1）3
（2）解：，理由如下：
∵，
∴
∴，
（3）解：如图，
设，则根据题意得，
∴
∵，
∴，
四边形面积的最大值为．
【知识点】配方法的应用；整式的大小比较；多边形的面积
【解析】【解析】（1）解：
，
，
∴的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】（1）将配方得，即可得到答案.
（2）根据作差法得将与相减后利用配方法即可比较大小.
（3）根据题意得，结合，设，则根据题意得，代入计算后配方得，即可得四边形面积的最大值.
（1）解：
无论取何实数，都有，
，即的最小值为3．
故答案为：3．
（2）解：
（3）解：四边形面积为：
四边形面积的最大值为．
19．【答案】（1）8
（2）解：，
∵，
∴，
∴无论x取何实数，二次根式都有意义；
（3）解：∵，
∴四边形ABCD的面积，
∵，
∴，
∴四边形ABCD的面积
∵，
∴当，四边形ABCD的面积最大，最大值为．
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次函数的最值；配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
，
∵无论x取何实数，都有，
∴，
即的最小值为8；
故答案为：8.
【分析】（1）利用配方法先求出，再求出，最后求最值即可；
（2）利用配方法求出 ， 再求出 ， 最后作答求解即可；
（3）根据题意先求出四边形ABCD的面积，再求出， 最后利用配方法计算求解即可。
20．【答案】（1）2，1；
（2）①证明：，
多项式的值一定恒为正数；
②解：
，
的最小值为9；
（3）解：，
，
，
，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数，
，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】
（1）
解：
，
，，
故答案为：2，1；
【分析】
（1）若二次三项式的二次项系数为1，配方时可给原多项式加上再减去一次项系数一半的平方，则可将原式转化为一个完全平方式与一个常数和的形式；
（2）①利用配方法将多项式A转化成，则其值恒大于或等于1；
②同理将配方成，即可确定最小值；
（3）利用等式的性质和配方法可将原不等式变形为，由于，，都为正整数，则由平方式的非负性首先可得，即；其次再讨论的值，同理由平方式的非负性可得或或，再解不等式分别求出对应的的正整数解即可．
（1）解：
，
，，
故答案为：2，1；
（2）①证明：，
多项式的值一定恒为正数；
②解：
，
的最小值为9；
（3），
，
，
，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数，
，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
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