沪科版数学八年级下册17.2一元二次方程的解法之专项计算篇
一、直接开平方法
1．用直接开平方法解下列方程：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：x2=49，
∴
故答案为：
（2）解：2（2x-1）2=32，
（2x-1）2=16，
∴2x-1=±4，
∴
故答案为：
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开方法求出一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用直接开方法求出一元二次方程即可.
2．用开平方法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：方程两边开平方得：
x=±0.8，
∴x1=0.8，x2=-0.8.
（2）解：方程两边同时除以3得：
a2=
方程两边开平方得：
a=±，
∴a1=，a2=-.
（3）解：移项得：4x2=48，
方程两边同时除以4得：
x2=12，
方程两边开平方得：
x=±，
∴x1=，x2=-.
（4）解：方程两边同时除以16得：
（a+0.25）2=
方程两边开平方得：
a+0.25=±，
∴a1=-0.25=0.5，a2=--0.25=1.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)方程两边开平方即可求解；
（2）由题意先将方程两边同时除以3，再把方程两边开平方即可求解；
（3）由题意，先移项，然后方程两边同时除以4，再把方程两边开平方即可求解；
（4）由题意先将方程两边同时除以16，再把方程两边开平方，然后将原方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
二、换元法（整体带入）
3．（2026九上·雨花期末）解方程：（x2+x）2-5（x2+x）+4=0.
【答案】解：∵，
∴，
∴或，
解可得，，
解可得，，
∴原方程的解为，，，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先利用因式分解法求出或，再分别根据公式法解方程求出x的值解答即可．
4．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知实数a满足
，求
的值.
【答案】解：∵ ，
∴原等式可变形为： ，
∴ ，
∴ =3或 =-1
当 =-1时，即a2+a+1=0，
△=1-4＜0，方程无解，
∴ =3.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据完全平方公式
可变形得，
，于是已知的方程可变形为：
，将
看作一个整体，解一元二次方程即可求得
的值。
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程单元检测b卷）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + ）．
令 + + =t，则
原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ﹣ ）×（ + + +…+ ）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
【答案】（1）解：设 + +…+ =t，
则原式=（1﹣t）×（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）×t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣t+t2+ t
=
（2）解：设x2+5x+1=t，
则原方程化为：t（t+6）=7，
t2+6t﹣7=0，
解得：t=﹣7或1，
当t=1时，x2+5x+1=1，
x2+5x=0，
x（x+5）=0，
x=0，x+5=0，
x1=0，x2=﹣5；
当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，
x2+5x+8=0，
b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，
此时方程无解；
即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由材料中的信息可设=t，则原式=（1-t）(t+)-（1-t-）×t，整理易求解；
（2）由题意可设x2+5x+1=t，则原方程可化为t2+6t﹣7=0，求得t的值，再将t的值代入x2+5x+1=t中，解关于x的一元二次方程即可求解。
6．（2025九上·邗江期中）阅读下列材料，解答问题：
换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）已知实数，满足，求的值；
（3）解方程：；
（4）解方程：．
【答案】（1），
（2）15
（3），，，
（4），
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
7．（2025九上·固安月考）阅读下面的材料：
解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下：
设，则．
原方程可转化为，解得．
当时，；
当时，．
综上，原方程的解为．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：
（1）解方程：；
（2）已知实数a，b满足，试求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【知识点】换元法解一元二次方程
三、因式分解
8．（2025九上·安定期中）解下列一元二次方程
（1）x2-4x+3=0
（2）2x2-5x+2=0
【答案】（1）解：因式分解得(x-1)(x-3)=0，
解得
（2）解：因式分解得(2x-1)(x-2)=0，
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
9．用因式分解法解下列方程：
（1）x(x-2)=0.
（2）8x2+8x+2=0.
（3）
（4）
【答案】（1）解：∵x(x-2)=0.
∴x=0或x-2=0，
解之：x =0，x =2
（2）解：将原方程转化为
2（4x2+4x+1）=0
∴2（2x+1）2=0，
∴2x+1=0
解之：x =x =-
（3）解：将原方程转化为
（x-3）（x+2）=0
∴x-3=0或x+2=0
x =3，x =-2
（4）解：价格原方程转化为
2x+3=±（3x+2）
∴2x+3=3x+2或2x+3=-（3x+2）
解之：x =-1，x =1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程右边为0，左边是两个一次式的乘积形式，可将原方程转化为两个一元一次方程，然后求解即可.
（2）方程转化为2（4x2+4x+1）=0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可.
（3）原方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可.
（4）两边都是平方形式，因此可以利用直接开平方法解方程.
10．用因式分解法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：，
，
即，
，
∴；
（2）解： ，
，
，
x-3=0或x-6=0，
∴；
（3）解：4x2+12x+9=24x，
4x2-12x+9=0，
．
∴；
（4）解：令2x+1=y，
y2-4y+4=0，
(y-2)2=0，
∴，
∴.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项后，再因式分解，即可求解；
（2）先移项后提公因式（x-3）后，即可求解；
（3）先去括号，再根据完全平方差的公式进行因式分解，即可求得；
（4）令2x+1=y，换元后根据完全平方差公式进行因式分解，求出y，即可求得原方程的解.
11．一般地，对于二次三项式 0)，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即 常数项c可以分解成两个因数之积，即 把a1，a2，C1，C2按图排列：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 若它正好等于二次三项式 的一次项系数b，即 则二次三项式就可以分解为两个因式 与 之积，即 像这种借助十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
请用十字相乘法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：将方程的左边分解因式，得(x-5)(x+3)=0，
∴x-5=0，或x+3=0，
∴x1=5，x2=-3
（2）解：将方程的左边分解因式，得(2x+3)(x-2)=0，
∴2x+3=0，或x-2=0，
∴x1=-，x2=2.
（3）解：将方程的左边分解因式，得(x-2)(3x+1)=0，
∴x-2=0，或3x+1=0，
∴x1=2，x2=-
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】利用题目提供的因式分解法解一元二次方程.
四、配方法
12．用配方法解下列方程：
（1） .
（2） .
（3） .
【答案】（1）解：x2-x-=0，
移项得，x2-x=，
配方得，x2-x+=+，
即（x-）2=2，
开方得，x-=±，
∴；
（2）解：x2-x+1=0，
移项得，x2-x=-1，
配方得，x2-x+2=-1+2，
即（x-）2=1，
开方得，x-=1，
∴；
（3）解： ，
令 2x-1=y，
则原方程化为： y2+2y=1，
配方得， y2+2y+1=1+1，
即=2，
开方得，y+1=±，
∴ y=±-1，即2x-1=±-1，
∴.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“2”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得；
（3）令2x-1=y，再将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“1”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得y，再代入2x-1=y即可求得x.
13．（2026九上·长春期末）解一元二次方程：．
【答案】解：在一元二次方程中，，
∴，
∴方程无实数根.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
14．（2025八上·盘州期中）【阅读材料】问题：已知，求的值．
小明的做法： 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法： 因为 所以当时， 原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条件代入变形式进行解答．
【解决问题】
（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：
已知，求的值．
（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：
已知，求的值．
【答案】（1）－8
（2）2
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
15．（2025八上·宜宾期末）“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．例如，用配方法分解因式：．
解：．
（1）用配方法分解因式：；
（2）若与，请比较A、B的大小关系并说明理由；
（3）如图，中，．点M从点A开始以的速度向点C运动，同时点N从点C开始以的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）．
①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；
②求t为何值时S的值最大，最大值是多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；配方法的应用；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）仿照题干根据平方差公式求解；
（2）根据题意计算得到，根据平方的非负性得到，进而即可求解；
（2）①根据题意得到，再由三角形面积公式列代数式，由三角形边长为正求t的取值范围；
②利用配方法结合完全平方式的非负性求解．
（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
五、公式法
16．（2026九上·西城期末）解方程：
【答案】解： a=1， b=-2， c=-6.
方程有两个不相等的实数根
方程的根为
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程，先找到a=1， b=-2， c=-6，再计算 判断得出方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式，写出方程的解即可解答.
17．（2021九上·安定期末）解方程， .
【答案】原方程因式分解得：
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
18．（2020九上·福州月考）解方程： ．
【答案】解：由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．
19．（2025九上·中山月考）【探究与应用】
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程．
【观察与分析】小张在解方程时，他的解答过程如下：
解：，，，（第一步）
．（第二步）
方程有两个不相等的实数根
（第三步）
，．（第四步）
【思考与应用】
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，，，即小张在第一步就出现解答错误；
∴小张的解答过程不正确．
（2）解：小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为
，，，
方程有两个不相等的实数根
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根的判别式△=b2-4ac中的a、b、c是针对一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0而言，故先将原方程化为一元二次方程的一般形式 ，再计算判别式的值；
（2）先将方程化为一元二次方程的一般形式，然后直出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可.
（1）解：∵，即，
∴，，，即小张在第一步就出现解答错误；
∴小张的解答过程不正确．
（2）解：小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为
，，，
方程有两个不相等的实数根
，
，．
20．（2025九上·安宁期末）用公式法解方程：．
【答案】解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法解方程即可求出答案.
21．（2025九上·滨海期中）用适当的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：这里a=3，b=6，c=2，
∴△=b2-4ac=36-4×3×2=12>0，
∴x==，
∴，
（2）解：，
，
（x-2）2=5，
∴x-2=
即x=2
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】⑴根据公式法解一元二次方程.
⑵根据配方法解一元二次方程.
六、数形结合（结合勾股定理）
22．（2025八上·揭东月考）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为___________；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数满足，求的值．
【答案】（1）13（2）（3）
【知识点】配方法解一元二次方程；勾股定理的实际应用-最短路径问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
1 / 1沪科版数学八年级下册17.2一元二次方程的解法之专项计算篇
一、直接开平方法
1．用直接开平方法解下列方程：
（1） ．
（2） ．
2．用开平方法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
二、换元法（整体带入）
3．（2026九上·雨花期末）解方程：（x2+x）2-5（x2+x）+4=0.
4．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知实数a满足
，求
的值.
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程单元检测b卷）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + ）．
令 + + =t，则
原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ﹣ ）×（ + + +…+ ）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
6．（2025九上·邗江期中）阅读下列材料，解答问题：
换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）已知实数，满足，求的值；
（3）解方程：；
（4）解方程：．
7．（2025九上·固安月考）阅读下面的材料：
解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下：
设，则．
原方程可转化为，解得．
当时，；
当时，．
综上，原方程的解为．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：
（1）解方程：；
（2）已知实数a，b满足，试求的值．
三、因式分解
8．（2025九上·安定期中）解下列一元二次方程
（1）x2-4x+3=0
（2）2x2-5x+2=0
9．用因式分解法解下列方程：
（1）x(x-2)=0.
（2）8x2+8x+2=0.
（3）
（4）
10．用因式分解法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
11．一般地，对于二次三项式 0)，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即 常数项c可以分解成两个因数之积，即 把a1，a2，C1，C2按图排列：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 若它正好等于二次三项式 的一次项系数b，即 则二次三项式就可以分解为两个因式 与 之积，即 像这种借助十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
请用十字相乘法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
四、配方法
12．用配方法解下列方程：
（1） .
（2） .
（3） .
13．（2026九上·长春期末）解一元二次方程：．
14．（2025八上·盘州期中）【阅读材料】问题：已知，求的值．
小明的做法： 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法： 因为 所以当时， 原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条件代入变形式进行解答．
【解决问题】
（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：
已知，求的值．
（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：
已知，求的值．
15．（2025八上·宜宾期末）“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．例如，用配方法分解因式：．
解：．
（1）用配方法分解因式：；
（2）若与，请比较A、B的大小关系并说明理由；
（3）如图，中，．点M从点A开始以的速度向点C运动，同时点N从点C开始以的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）．
①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；
②求t为何值时S的值最大，最大值是多少？
五、公式法
16．（2026九上·西城期末）解方程：
17．（2021九上·安定期末）解方程， .
18．（2020九上·福州月考）解方程： ．
19．（2025九上·中山月考）【探究与应用】
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程．
【观察与分析】小张在解方程时，他的解答过程如下：
解：，，，（第一步）
．（第二步）
方程有两个不相等的实数根
（第三步）
，．（第四步）
【思考与应用】
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程．
20．（2025九上·安宁期末）用公式法解方程：．
21．（2025九上·滨海期中）用适当的方法解方程：
（1）
（2）
六、数形结合（结合勾股定理）
22．（2025八上·揭东月考）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为___________；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数满足，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：x2=49，
∴
故答案为：
（2）解：2（2x-1）2=32，
（2x-1）2=16，
∴2x-1=±4，
∴
故答案为：
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开方法求出一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用直接开方法求出一元二次方程即可.
2．【答案】（1）解：方程两边开平方得：
x=±0.8，
∴x1=0.8，x2=-0.8.
（2）解：方程两边同时除以3得：
a2=
方程两边开平方得：
a=±，
∴a1=，a2=-.
（3）解：移项得：4x2=48，
方程两边同时除以4得：
x2=12，
方程两边开平方得：
x=±，
∴x1=，x2=-.
（4）解：方程两边同时除以16得：
（a+0.25）2=
方程两边开平方得：
a+0.25=±，
∴a1=-0.25=0.5，a2=--0.25=1.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)方程两边开平方即可求解；
（2）由题意先将方程两边同时除以3，再把方程两边开平方即可求解；
（3）由题意，先移项，然后方程两边同时除以4，再把方程两边开平方即可求解；
（4）由题意先将方程两边同时除以16，再把方程两边开平方，然后将原方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
3．【答案】解：∵，
∴，
∴或，
解可得，，
解可得，，
∴原方程的解为，，，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先利用因式分解法求出或，再分别根据公式法解方程求出x的值解答即可．
4．【答案】解：∵ ，
∴原等式可变形为： ，
∴ ，
∴ =3或 =-1
当 =-1时，即a2+a+1=0，
△=1-4＜0，方程无解，
∴ =3.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据完全平方公式
可变形得，
，于是已知的方程可变形为：
，将
看作一个整体，解一元二次方程即可求得
的值。
5．【答案】（1）解：设 + +…+ =t，
则原式=（1﹣t）×（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）×t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣t+t2+ t
=
（2）解：设x2+5x+1=t，
则原方程化为：t（t+6）=7，
t2+6t﹣7=0，
解得：t=﹣7或1，
当t=1时，x2+5x+1=1，
x2+5x=0，
x（x+5）=0，
x=0，x+5=0，
x1=0，x2=﹣5；
当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，
x2+5x+8=0，
b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，
此时方程无解；
即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由材料中的信息可设=t，则原式=（1-t）(t+)-（1-t-）×t，整理易求解；
（2）由题意可设x2+5x+1=t，则原方程可化为t2+6t﹣7=0，求得t的值，再将t的值代入x2+5x+1=t中，解关于x的一元二次方程即可求解。
6．【答案】（1），
（2）15
（3），，，
（4），
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
7．【答案】（1）；
（2）．
【知识点】换元法解一元二次方程
8．【答案】（1）解：因式分解得(x-1)(x-3)=0，
解得
（2）解：因式分解得(2x-1)(x-2)=0，
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
9．【答案】（1）解：∵x(x-2)=0.
∴x=0或x-2=0，
解之：x =0，x =2
（2）解：将原方程转化为
2（4x2+4x+1）=0
∴2（2x+1）2=0，
∴2x+1=0
解之：x =x =-
（3）解：将原方程转化为
（x-3）（x+2）=0
∴x-3=0或x+2=0
x =3，x =-2
（4）解：价格原方程转化为
2x+3=±（3x+2）
∴2x+3=3x+2或2x+3=-（3x+2）
解之：x =-1，x =1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程右边为0，左边是两个一次式的乘积形式，可将原方程转化为两个一元一次方程，然后求解即可.
（2）方程转化为2（4x2+4x+1）=0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可.
（3）原方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可.
（4）两边都是平方形式，因此可以利用直接开平方法解方程.
10．【答案】（1）解：，
，
即，
，
∴；
（2）解： ，
，
，
x-3=0或x-6=0，
∴；
（3）解：4x2+12x+9=24x，
4x2-12x+9=0，
．
∴；
（4）解：令2x+1=y，
y2-4y+4=0，
(y-2)2=0，
∴，
∴.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项后，再因式分解，即可求解；
（2）先移项后提公因式（x-3）后，即可求解；
（3）先去括号，再根据完全平方差的公式进行因式分解，即可求得；
（4）令2x+1=y，换元后根据完全平方差公式进行因式分解，求出y，即可求得原方程的解.
11．【答案】（1）解：将方程的左边分解因式，得(x-5)(x+3)=0，
∴x-5=0，或x+3=0，
∴x1=5，x2=-3
（2）解：将方程的左边分解因式，得(2x+3)(x-2)=0，
∴2x+3=0，或x-2=0，
∴x1=-，x2=2.
（3）解：将方程的左边分解因式，得(x-2)(3x+1)=0，
∴x-2=0，或3x+1=0，
∴x1=2，x2=-
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】利用题目提供的因式分解法解一元二次方程.
12．【答案】（1）解：x2-x-=0，
移项得，x2-x=，
配方得，x2-x+=+，
即（x-）2=2，
开方得，x-=±，
∴；
（2）解：x2-x+1=0，
移项得，x2-x=-1，
配方得，x2-x+2=-1+2，
即（x-）2=1，
开方得，x-=1，
∴；
（3）解： ，
令 2x-1=y，
则原方程化为： y2+2y=1，
配方得， y2+2y+1=1+1，
即=2，
开方得，y+1=±，
∴ y=±-1，即2x-1=±-1，
∴.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“2”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得；
（3）令2x-1=y，再将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“1”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得y，再代入2x-1=y即可求得x.
13．【答案】解：在一元二次方程中，，
∴，
∴方程无实数根.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
14．【答案】（1）－8
（2）2
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；配方法的应用；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）仿照题干根据平方差公式求解；
（2）根据题意计算得到，根据平方的非负性得到，进而即可求解；
（2）①根据题意得到，再由三角形面积公式列代数式，由三角形边长为正求t的取值范围；
②利用配方法结合完全平方式的非负性求解．
（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
16．【答案】解： a=1， b=-2， c=-6.
方程有两个不相等的实数根
方程的根为
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程，先找到a=1， b=-2， c=-6，再计算 判断得出方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式，写出方程的解即可解答.
17．【答案】原方程因式分解得：
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
18．【答案】解：由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，，，即小张在第一步就出现解答错误；
∴小张的解答过程不正确．
（2）解：小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为
，，，
方程有两个不相等的实数根
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根的判别式△=b2-4ac中的a、b、c是针对一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0而言，故先将原方程化为一元二次方程的一般形式 ，再计算判别式的值；
（2）先将方程化为一元二次方程的一般形式，然后直出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可.
（1）解：∵，即，
∴，，，即小张在第一步就出现解答错误；
∴小张的解答过程不正确．
（2）解：小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为
，，，
方程有两个不相等的实数根
，
，．
20．【答案】解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：这里a=3，b=6，c=2，
∴△=b2-4ac=36-4×3×2=12>0，
∴x==，
∴，
（2）解：，
，
（x-2）2=5，
∴x-2=
即x=2
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】⑴根据公式法解一元二次方程.
⑵根据配方法解一元二次方程.
22．【答案】（1）13（2）（3）
【知识点】配方法解一元二次方程；勾股定理的实际应用-最短路径问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
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