三角函数中的范围问题 典型考点冲刺练 2026届高中数学高考三轮冲刺练

三角函数中的范围问题 典型考点冲刺练 2026届高中数学高考三轮冲刺练
一、单选题
1．已知函数false，将false的图象向右平移false个单位长度，得到函数false的图象，若false，总存在唯一实数false，使得false，则实数false的取值范围为（???）
A．false B．false C．false D．false
2．已知函数false，若false，且false在false上有最大值，则false的最小值为（???）
A．false B．false C．false D．false
3．已知函数false在区间false上单调递增，则false的最大值为（???）
A．false B．false C．false D．false
4．设函数false，已知false，且false在区间false上无零点，则false的最大值为（????）
A．false B．false C．false D．1
5．已知函数false在区间false上单调递增，则当false取最大值时，false在区间false上的值域为（???）
A．falseB．false C．false D．false
6．函数false的最小值为（????）
A．0 B．false C．1 D．2
7．已知函数false，false，则false的最大值与最小正周期分别为（????）
A．3，false B．3，false C．false，false D．false，false
8．已知函数false，当false时，false的最小值为（????）
A．false B．false C．false D．false
9．已知函数false，若false的图象在长度为false的任意闭区间上与直线false最少有3个交点，最多有4个交点，则false的取值范围为（???）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题
10．已知函数false，若false，false，则下列命题为真命题的是（???）
A．若false，则false
B．若false，则false的取值范围为false
C．若false，则false的最小值为false
D．若false，则false的取值范围为false
11．已知函数false，下列说法正确的是（?????）
A．若函数false为偶函数，则false
B．若false时，且false在false上单调，则false
C．若false时，false的图象在长度为false的任意闭区间上与直线false最少有3个交点，最多有4个交点，则false
D．若函数false在false上至少有两个最大值点，则false
12．已知函数false的图象是由曲线false上各点横坐标变为原来的false后，向右平移false个单位长度所得.记false，则（????）
A．false
B．曲线false关于点false中心对称
C．若false在区间false上单调递减，则false的取值范围是false
D．若false在区间false上有零点，则false的取值范围是false
三、填空题
13．已知函数false的定义域为false，false为偶函数，false为奇函数，则false的最大值为___________．
14．已知锐角false，false满足false，则false的最小值为______.
15．函数false的值域为__________.
16．已知false，false（i为虚数单位），则函数false的最大值为______.
17．函数false的值域为______.
四、解答题
18．已知函数false的最小正周期为false，且false.
(1)求false在false的值域；
(2)将false的图象向右平移false个单位长度，得到函数false的图象.若对任意false，false，当false时，false恒成立，求false的最小值.
19．已知函数false．
(1)求函数false的最小正周期；
(2)将函数false的图象向左平移false个单位长度，得到函数false的图象；再将函数false图象上各点的横坐标变为原来的false倍false（纵坐标不变），得到函数false的图象．
（i）若false在区间false上没有对称轴，求false的取值范围；
（ii）若关于false的不等式false在区间false上有解，求实数false的取值范围．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
C
B
C
B
D
ACD
题号
11
12
答案
ABD
ACD
1．B
【分析】利用三角函数图象变换得出false，由false求出false的取值范围，由false求得false，结合题意得出关于false的不等式，解之即可.
【详解】由三角函数的图象变换可得false，
当false时，false，则false，
因为false，则false，
因为false，总存在唯一实数false，使得false，
当false时，false，
由题意可知false，解得false，
故实数false的取值范围是false.
故选：B.
2．C
【分析】利用辅助角公式化简false，根据对称轴可求得false；根据false在false上有最大值可确定false，得到false，进而可确定最小值.
【详解】false；
false，false关于直线false对称，
false，结合false，解得：false；
当false时，false，
false在false上有最大值，false，解得：false；
false当false时，false取得最小值false.
故选：C.
3．B
【分析】由false，得到false，结合正切函数的性质，求得false，即可得到答案.
【详解】由函数false，因为false，可得false，
又因为false在false上单调递增，可得false，
解得false，
因为false，所以false，可得false，所以false的最大值为false．
故选：B．
4．D
【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出false，再利用函数在区间内无零点求出false的范围，最后利用正弦函数单调性求最大值．
【详解】false，所以false，
falsefalse在区间false上无零点，则false，解得false，
false，false，令false，则false，
false在false上单调递增，
false．
故选：D．
5．C
【分析】先由正弦函数的单调性和false在区间false上单调递增确定false的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可.
【详解】因为false，所以当false时，false，
因为false在区间false上单调递增，所以false，则false，即false，
所以false，所以false，解得false，则false的最大值为1，
此时false，
当false时，false，则false在区间false上的值域为false.
故选：C.
6．B
【分析】利用false以及倍角公式化简false即可求最值.
【详解】false
false，
当false时，false有最小值false.
故选：B
7．C
【分析】根据辅助角公式，对函数进行化简，进而根据正弦函数性质，求出函数最大值与最小正周期.
【详解】由题意得false，其中false，
则false最大值为false，最小正周期为false.
故选：C.
8．B
【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为false，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数false的最小值.
【详解】由false，
根据二倍角公式得false，
当false时，所以false，结合正弦函数图像可知，
false时，false的最小值为false,
最大值为false，故false，
因此false，所以false的最小值为false.
故选：B.
9．D
【分析】令false，解出后利用正弦函数性质可得相邻交点的最小距离和最大距离，再结合题意计算即可得.
【详解】令false，则false，
所以false，false或false，false，
则false，false或false，false，
所以相邻交点最小的距离为false，最大距离为false，
由false的图象在长度为false的任意闭区间上与直线false最少有3个交点，
最多有4个交点，故相邻四个交点之间的最大距离不大于false，
相邻五个交点之间的最小距离大于false，
又两个周期T的距离false内最多false个交点，
所以false，且false，所以false.
故选：D.
10．ACD
【分析】对A：false可化为false，结合正弦函数值域可得存在false，使得false，即可得A；对B：结合定义域与正弦函数图象计算即可得；对C：表示出false后代入计算即可得；对D：结合正弦函数图象可得false，再分false的不同取值计算即可得.
【详解】对A：由false，
则false，
化简得false，
由false，则false、false，
则恒有false，即false，故A正确；
对B：若false，需存在false，使得false，
当false时，false，则有false，
解得false，即false的取值范围为false，故B错误；
对C：由false，则false，
false，且false，
则false，false且false，
故false，
当且仅当false时，等号成立，故C正确；
对D：若false，则false，
则false，false，
即有false，false，
有false，解得false，即false，
若false，则false，又false，解得false；
若false，则false，又false，解得false；
又false时，有false，即false，
故false时，符合要求；
综上所述：false的取值范围为false，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】对于A项，根据正余弦函数奇偶性可得出false，从而求出false，可判断A；对于B项，根据正弦函数单调性列出不等式，求解可求出false范围，从而判断B；对于C项，当false时，根据false的解从而判断C；对于D项，false在false上至少有两个最大值点，则false，可求出false的大致范围，在false的范围下逐一讨论区间端点所在范围，可求出false的最终范围.
【详解】对于A项，要使函数false为偶函数，则false，
则false，故A项正确；
对于B项，false时，false，
因为false，所以false，
因为false在false上单调，所以有false，解得false，故B项正确；
对于C项，当false时，false，由题意false只有两个解，
所以false的图象在长度为false的区间上与直线false只有两个交点，不合题意，故C项错误；
对于D项，false，
故false，所以false，所以false.
因为false，所以false.
由于false，所以false，
则false，解得false；
②false，解得false；
③false，解得false；
④当false时，false，满足false在false上至少有两个最大值点；
综上所述，false.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】根据三角函数的平移伸缩规律分别求的false即可判断false项；求出false的解析式，带入验证即可判断false项；根据函数解析式，求得单调区间，结合false的范围和子集关系求解即可判断false项；根据函数解析式，求得false的零点，结合false的范围求解即可判断false项.
【详解】根据题意得false，所以false，则false，
又false，所以false，解得false，所以false，故false正确；
因为false，且false，
所以曲线false不关于点false中心对称，故false错误；
false，令false得false，
所以false的单调递减区间为false，
则false且false，
所以false解得false，故false正确；
令false得false，所以false轴正半轴上从左往右的三个零点依次为false，false，false，
由false得false，所以若false在区间false上有零点，
则false或false，解得false或false，故false正确.
故选：false.
13．false
【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值.
【详解】因false为偶函数，则false①，
又false为奇函数，则false②，
由①－②，整理得false，则false，其中false，
故当false时，即false时，false的最大值为false.
故答案为：false.
14．false/false
【分析】根据两角和的余弦公式及弦切互化得false，从而利用二倍角的正弦公式和余弦公式化简得false，最后根据false为锐角及正弦函数的性质求得最小值.
【详解】因为false，所以false，
所以false，
因为false为锐角，所以两边同除false得false，
所以false.
因为false为锐角，所以当false时，false有最大值为1，此时false取到最小值为false.
故答案为：false
15．false
【分析】化简false可得false，令false且false，所以函数false的值域等价于false在区间false上的值域，利用二次函数求出false在区间false上的值域即可.
【详解】由题可得：falsefalse
false，令false，则false，令false，
所以函数false的值域等价于false在区间false上的值域，
由于false，所以当false时，false，false，
则函数false的值域为false，
故答案为：false
16．false/false
【分析】先根据复数的运算法则求出false的值，再将函数false化简，最后根据三角函数的性质求出最大值即可.
【详解】因为false，整理得false，
所以false，解得：false，false，
所以false，
利用辅助角公式化简得false，
又因为余弦函数false的值域是false，
所以当false时，false取得最大值，
即false.
故答案为：false.
17．false
【分析】根据三角函数的诱导公式化简函数false，然后利用函数的奇偶性和基本不等式即可求解.
【详解】因为false，所以false；
因为false为奇函数，当false时，false，所以false；
当false时，false，所以false，当且仅当false时，等号成立；
故false，所以false的值域为false.
故答案为：false.
18．(1)false
(2)false
【分析】（1）整理可得false，根据周期和false求false，以false为整体，结合正弦函数的有界性运算求解；
（2）根据图像变换可知false，分析可知函数false在false内单调递减，结合正弦函数的单调性运算求解.
【详解】（1）由题意可知：false
false
false，
因为函数false的最小正周期为false，且false，
则false，可得false，即false，
又因为false，可得false，
所以false.
因为false，则false，
可得false，即false，
所以false在false的值域为false.
（2）将false的图象向右平移false个单位长度，
得到函数false，
若false，即false，
且false，false，false，可知函数false在false内单调递减，
则false，
因为false，则false，
可得false，解得false，
所以false的最小值为false.
19．(1)false
(2)（i）false；（ii）false或false．
【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式把false合并，然后利用最小正周期计算公式可得答案；
（2）利用平移伸缩法则可得到false的解析式，（i）法一：利用false，得到false的范围，然后使它在相邻两条对称轴之间即可，法二：求出false的对称轴，使区间false在相邻两条对称轴之间即可，（ii）利用三角恒等变换化简，令false，然后把问题转化为关于false的不等式有解问题，法一：利用二次函数实根分布可得答案；法二：从反面入手，把能成立问题转化为恒成立问题，然后利用实根分布可得答案；法三：利用分离参数，把问题转化为求函数最值问题.
【详解】（1）false，
false
false
false
false函数false的最小正周期为false；
（2）（i）将函数false的图象向左平移false个单位长度，得到
false
false
将函数false图象上各点的横坐标变为原来的false倍false（纵坐标不变），
得到函数false
（i）（法一）
false，而false，
false.
false.
解得false.
又false，
false当false时，false；
当false时，false
综上可知，false的取值范围是false.
（法二）
令false，
则false的对称轴方程为false，.
又false在区间false上没有对称轴，
false，
解得false，
（后同法一）；
（ii）由false，
可得false，
即false，．
即false，
即false，其中false，
因为false，则false，
令false，
则关于false的不等式false在false上有解，
（法一）
设false，
则false或false，
解得false或false；
（法二）
依题意先研究：当false在false上恒成立时false的取值范围，再求其补集即可．
设false，
则false即false.
解得false
false满足题意的false的取值范围是false或false．.
（法三）
由false可得false，
当false，即false时，不等式不成立，舍去；.
当false，即false时，false有解，
设false，令false，
则false在false上单调递增，所以当false时，
false即可，解得false；
当false，即false时，false有解，
此时false，
而false在false上单调递增，所以当false时，
false即可，解得false；
综上可知，false或false．