表面涂色的正方体
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．一个四阶魔方（为4×4×4的立方体结构），两面涂色的小正方体有（????）个。
A．6 B．8 C．12 D．24
2．将一个表面涂色的正方体，切成27块大小相同的小正方体，一面涂色的有（????）块。
A．6 B．8 C．16 D．24
3．用相同的小正方形搭稍大的正方体，最少要（????）块。
A．4 B．6 C．8 D．16
4．把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块．这些小木块中，1面涂色和2面涂色的一共有（ ）块．
A．36 B．54 C．90 D．98
5．火车站为旅客提供打包服务，如果长宽高分别为a，b，c的箱子按如图的方式打包，则打包带长至少为（??）
A．4a＋4b＋10c B．a＋2b＋3c C．2a＋4b＋6c D．6a＋8b＋6c
6．如图，用棱长1cm的小正方体拼成大正方体后，在它的表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（????）个。
A．4 B．8 C．24 D．32
7．将若干个完全相同的正方体纸箱堆放于墙角，露在外面的面积最小的是（????）。
A．?? B．?? C． D．??
8．一个表面涂色的正方体，每条棱都被平均分成若干份，切开后得到若干个小正方体。其中三面涂色的小正方体有（????）个。
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
9．将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有( )个，最少有( )个。
10．把一个棱长4厘米的正方体木块的表面涂色，然后锯成几个棱长是1厘米的正方体小木块，这些小木块中，三面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。
11．一个小正方体的表面积是25平方厘米，用8个这种同样大小的小正方体拼成一个大正方体，大正方体的表面积是( )平方厘米．
12．把一个表面涂满红色的正方体的每条棱平均分成3份，再切成同样大的小正方体，一面涂红色的小正方体有( )个。
13．一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成3份，切成同样大的小正方体后，一面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成false份，切开后，两面涂色的小正方体有( )个。
14．将四个正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的有( )个面。
15．把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成若干个棱长为1厘米的小正方体后，若2面涂色的有36个，则1面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。
16．制作一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体纸盒，需要准备( )种大小不同的长方形，其中最大的长方形面积是( )平方厘米，最小的长方形面积是( )平方厘米．
三、判断题
17．一个正方体，先在它每个面上涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，如果两面涂色的小正方体有24个，那么这个正方体的体积是64立方厘米。( )
18．把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，三面涂色的小正方体有8个。( )
19．一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。( )
20．用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。( )
21．如图，因为图中的正方体和长方体是由相同数量的小正方体摆成的，所以它们的表面积和体积都相等。( )
四、解答题
22．五个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图），请你算一算，所有露在外面的面积是多少平方厘米？
23．用棱长1厘米的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？
……
完成下表。看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？
序号
三面涂色的个数
两面涂色的个数
一面涂色的个数
没有涂色的个数
①
8
0
0
0
②
8
12
6
1
③
8
24
④
⑤
（1）你能继续写出第⑥、⑦、⑧个正方体中四类小正方体的个数吗？
（2）如果摆成下面的几何体，你会数吗？
24．把一块长1.2米的长方体木料锯成2段，表面积增加了36平方分米，原来木料的体积是多少立方分米？
25．小明星期天在家自己动手烤了一个棱长18厘米的正方体大蛋糕，并在蛋糕的表面刷上了巧克力酱。他将蛋糕切成棱长3厘米的小正方体蛋糕。切完之后发现，有些蛋糕上有巧克力酱，有些则没有。那么涂有巧克力酱的小蛋糕一共有多少块？
26．(生活情境题)生产一个如图所示的长方体包装袋,至少需要多少平方分米的包装纸?(接头处忽略不计)
《表面涂色的正方体》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
C
C
C
C
C
1．D
【分析】两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱上（除去2个顶点）的中间位置，根据题意，每条棱上有4－2＝2个，正方体共有12条棱，用每条棱上两面涂色的小正方体的个数乘棱数即可。
【详解】（4－2）×12
＝2×12
＝24（个）
则两面涂色的小正方体有24个。
故答案为：D
2．A
【分析】把一个表面涂色的大正方体平均分成3行，3列，3层，共27个小正方体，这些小正方体原来露在外面的面被涂色，三面涂色的在原大正方体顶点处，两面涂色的在原大正方体的每条棱长上（不包括顶点），一面涂色的在原大正方体每个面的中心，没有涂色的在原大正方体的内部，据此求出一面涂色有多少块。
【详解】（3－2）×（3－2）×6
＝1×1×6
＝1×6
＝6（块）
将一个表面涂色的正方体，切成27块大小相同的小正方体，一面涂色的有6块。
故答案为：A
【点睛】本题考查立方体的知识，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
3．C
【分析】小正方体拼组大正方体时，大正方体的棱长至少有2个小正方体，由此即可得出至少所需要的小正方体的个数。
【详解】2×2×2＝8（块）
最少要8块
故答案为：C
【点睛】抓住小正方体拼组大正方体的方法，得出棱长上小正方体的个数，借助正方体的体积公式进行计算。
4．C
【详解】因为5÷1＝5，所以大正方体每条棱长上都有5块小正方体；
所以一面涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（块）
两面涂色的有：（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（块）
1面涂色和2面涂色的一共有：54+36＝90（块）
答：1面涂色和2面涂色的一共有90块．
故选：C
5．C
【详解】【解答】解：打包带的长度：a×2+b×4+c×6=2a+4b+6c
故答案为C
【分析】与a相等的有两条，与b相等的有4条，与c相等的有6条，把这些长度相加就是打包带的长度.
6．C
【分析】从图中可以看出，大正方体是由棱长为1cm的小正方体拼成的，且大正方体的每条棱上有4个小正方体（因为能看到4层），所以大正方体的棱长为4cm。
一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间部分（不包括棱上和顶点处的小正方体）。对于大正方体的一个面，其边长为4个小正方体的棱长，那么每个面中一面涂色的小正方体组成的是一个边长为（4－2）的正方形（因为要去掉每条边两端的小正方体，这些小正方体是两面或三面涂色的）。所以每个面中一面涂色的小正方体数量为（4－2）×（4－2）＝2×2＝4个。因为大正方体有6个面，每个面有4个一面涂色的小正方体，所以用4×6即可得到一面涂色的小正方体总数。
【详解】（4－2）×（4－2）
＝2×2
＝4（个）
4×6＝24（个）
一面涂色的小正方体有24个。
故答案为：C
7．C
【分析】分别求出每个选项中的图形露在外面的正方形的个数，然后比较解答即可。
【详解】A．有9个面露在外面；
B．有9个面露在外面；
C．有8个面露在外面；
D．有9个面露在外面。
9＞8，所以露在外面的面积最小。
故答案为：C
【点睛】本题考查了露在外面的面，解答本题的关键是要先找出每个图形露在外面的有几个面，然后再结合题意分析解答即可。
8．C
【分析】根据三面涂色的处在顶点的位置，正方体有几个顶点就有几个三面涂色的小正方体。
【详解】正方体有8个顶点，即三面涂色的小正方体有8个。
故答案为：C
9． 12 0
【分析】体积为16立方厘米的长方体能够分成16个相同的小正方体，由此可知正方体的棱长是1厘米。因为16＝16×1×1＝8×2×1＝4×4×1＝4×2×2，即体积为16立方厘米的长方体三条棱长有4种可能：①16厘米，1厘米，1厘米；②8厘米，2厘米，1厘米；③4厘米，4厘米，1厘米；④4厘米，2厘米，2厘米。
其中，第①种长方体在切开后，3个面涂漆的小正方体有0个；
第②种长方体在切开后，3个面涂漆的小正方体有12个；
第③种长方体在切开后，3个面涂漆的小正方体有8个；
第④种长方体在切开后，3个面涂漆的小正方体有8个；
所以3个面涂漆的小正方体最多有12个，最少有0个。
据此解答。
【详解】16＝16×1×1＝8×2×1＝4×4×1＝4×2×2
即体积为16立方厘米的长方体三条棱长有4种可能：①16厘米，1厘米，1厘米；②8厘米，2厘米，1厘米；③4厘米，4厘米，1厘米；④4厘米，2厘米，2厘米。
当长方体棱长为16厘米，1厘米，1厘米时，3个面涂漆的小正方体有0个；
当长方体棱长为8厘米，2厘米，1厘米时，3个面涂漆的小正方体有12个；
当长方体棱长为4厘米，4厘米，1厘米时，3个面涂漆的小正方体有8个；
当长方体棱长为4厘米，2厘米，2厘米时，3个面涂漆的小正方体有8个。
12＞8＞0
所以3个面涂漆的小正方体最多有12个，最少有0个。
将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有12个，最少有0个。
【点睛】解题关键在于明确不同拼组方式下长方体的形状结构，依据正方体在长方体中的位置，特别是顶点、棱上等位置与表面的关系，来判断小正方体涂漆面的数量，从而确定三面涂漆小正方体数量的最值。
10． 8 24
【分析】把一个棱长4厘米的正方体的表面涂上红色，然后沿棱据成棱长1厘米的小正方体，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体，根据上面的结论，即可求得答案。
【详解】4÷1＝4（个）
所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；
共有：4×4×4＝64（个）
三面涂色的都在顶点处，所以一共有8个。
一面涂色的有：
（4－2）×（4－2）×6
＝2×2×6
＝24（个）
【点睛】此题考查了立方体的知识，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
11．100
【详解】略
12．6
【分析】每条棱都平均分成3份，则能切成3×3×3=27个同样大的小正方体，一个面涂色的在每个面的中间，所以有6个；据此解答即可。
【详解】把一个表面涂满红色的正方体的每条棱平均分成3份，再切成同样大的小正方体，一面涂红色的小正方体有6个。
【点睛】本题考查正方体表面涂色的规律，考查学生的观察、推理和理解能力。
13． 6 12（n－2）
【分析】每条棱都平均分成3份，每一层的9个小正方体，只有最中间一个小正方体是一个面涂色的；把每条棱平均分成n份，两面涂色的小正方体要从每条棱的中间找，每条棱上可以找到n－2个，乘12即可。
【详解】如图所示：
每条棱都平均分成3份，每个面上可以找到一个小正方体一面涂色，总共有6个；
把每条棱平均分成n份，每条棱中间n－2个小正方体是两个面涂色的，12条棱一共12（n－2）个小正方体两面涂色。
【点睛】本题考查的是立体几何的染色问题，当长、宽、高都大于3时，三个面涂色，固定是8个，两个面涂色，从棱的中间找，一个面涂色，从面的中间找。
14．9
【分析】观察图可知，外面的3个正方体有露在外面的面，每个正方体有3个面露在外面，一共有3×3＝9（个）面露在外面。
【详解】将四个正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的有9个面。
【点睛】本题考查立体图形的切拼。几个立体图形拼在一起，表面积会发生变化。
15． 54 27
【分析】2面涂色的小正方体在每条棱除两端顶点外的位置，正方体有12条棱，已知2面涂色的有36个，那么每条棱上2面涂色的小正方体有36÷12＝3个，再加上两端的顶点处的2个小正方体，则每条棱上小正方体的总个数是3＋2＝5个。
1面涂色的小正方体在每个面除棱外的位置，每个面上1面涂色的小正方体有（5－2）×（5－2）＝9个，正方体有6个面，则1面涂色的小正方体总个数是9×6＝54个。
没有涂色的小正方体在大正方体的内部，组成一个比大正方体棱长少2的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出没有涂色的小正方体的个数。
【详解】大正方体每条棱上有小正方体：
36÷12＋2
＝3＋2
＝5（个）
1面涂色的有：
（5－2）×（5－2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（个）
没有涂色的有：
（5－2）×（5－2）×（5－2）
＝3×3×3
＝27（个）
则1面涂色的有54个，没有涂色的有（27）个。
【点睛】本题考查正方体表面涂色的特点，明确三个面涂色的小正方体位于8个顶点处；两面涂色的小正方体位于棱上（不包括8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于每个面的中间（不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在内部。
16． 3 20 12
【详解】略
17．√
【分析】如果一个大的正方体每条棱上有n个（n≥3）小正方体，则两面涂色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n－2）个，共有（n－2）×12个。已知两面涂色的小正方体有24个，据此列出方程，求出大正方体每条棱上小正方体的个数，再根据正方体的体积公式V＝a3，求出大正方体的体积。
【详解】解：设大正方体每条棱上有n个小正方体。
（n－2）×12＝24
（n－2）×12÷12＝24÷12
n－2＝2
n－2＋2＝2＋2
n＝4
正方体的体积：4×4×4＝64（立方厘米）
这个正方体的体积是64立方厘米。
原题说法正确。
故答案为：√
18．√
【分析】由于不管分成多少个小正方体，三面涂色的小正方体都是在8个顶点上，所以总是8个，由此即可判断。
【详解】由分析可知，不管正方体分成多少个，三面涂色的小正方体始终是8个。
故答案为：√。
【点睛】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处进行解答。
19．×
【分析】根据题意可知，每条棱上除去端点的两个小正方体是三面涂色的，中间部分都是两面涂色的，据此解答。
【详解】每条棱上有5－2＝3（个），一共有3×12＝36（个），所以两面涂色的小正方体有36个。
故答案为：×。
【点睛】此题主要考查表面涂色的小正方体，考查学生的空间想象能力，掌握规律是解题关键。
20．√
【分析】因为有27小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体8个顶点上，据此解答即可。
【详解】由分析可知：27＝3×3×3，即大正方体的每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
故答案为：√
【点睛】本题考查组合图形的涂色问题，熟练掌握正方体的特征是关键。
21．×
【分析】根据图得出它们的体积都是8个小正方体的体积；假设小正方体的棱长是1，由此分别求出正方体与长方体的表面积即可，再进行判断。
【详解】两个图形的体积相等；正方体的表面积：2×2×6＝24
长方体的表面积：
（4×1＋4×2＋1×2）×2
＝（4＋8＋2）×2
＝28
所以长方体的表面积大些，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题运用正方体、长方体的表面积公式进行解答即可。
22．4400平方厘米
【分析】从正面能看到3个正方形的面；从上面能看到4个正方形的面；从右面能看到4个正方形的面，所以露在外面的面的总数为：4＋3＋4＝11个；已知正方体的棱长为20厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”可得一个面的面积；最后用一个面的面积乘露在外面的面的数量可得露在外面的总面积。
【详解】4＋3＋4＝11（个）
20×20×11
＝400×11
＝4400（平方厘米）
答：所有露在外面的面积是4400平方厘米。
23．表格及规律详解；
（1）见详解
（2）4个；10个；20个
【分析】观察图形可知，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，两面涂色的小正方形位于大正方体的每条棱上（顶点除外），一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间位置，没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，据此完成表格并得出规律；
（1）根据上述得到的规律，继续写出第⑥、⑦、⑧个正方体中四类小正方体的个数；
（2）分别数出各个立体图形每层正方体的个数，然后再相加即可求出各有多少个正方体。
【详解】（1）表格如下：
序号
三面涂色的个数
两面涂色的个数
一面涂色的个数
没有涂色的个数
①
8
0
0
0
②
8
12
6
1
③
8
24
24
8
④
8
36
54
27
⑤
8
48
96
64
发现规律：三面涂色的小正方体，都在大正方体的顶点处。正方体有8个顶点，所以不管棱长是多少的正方体，三面涂色的块数都是8块。
两面涂色的小正方体，都在大正方体的棱上。每条棱上两面涂色的小正方体的块数等于这条棱上小正方体的所有块数减去顶点处两块三面涂色的小正方体。因为正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体的总块数＝12×（每条棱上小正方体的块数－2）。
一面涂色的小正方体，都在大正方体的面上。每个面上一面涂色的小正方体的块数＝（每条棱上小正方体的块数－2）×（每条棱上小正方体的块数－2），正方体有6个面，所以一面涂色的小正方体的总块数＝（每条棱上小正方体的块数－2）×（每条棱上小正方体的块数－2）×6。
没有涂色的小正方体的块数＝所有小正方体的块数－三面涂色的块数－两面涂色的块数－一面涂色的块数。
（1）根据上面的规律，继续写出第⑥、⑦、⑧个大正方体中4类小正方体的块数如下：
（2）第一层有1个，第二层有3个，则共有1＋3＝4（个）
第一层有1个，第二层有3个，第三层有6个，则共有1＋3＋6＝10（个）
第一层有1个，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个
则共有：1＋3＋6＋10
＝4＋6＋10
＝10＋10
＝20（个）
24．216立方分米
【详解】1.2米＝12分米??36÷2×12＝216(立方分米)
25．152块
【分析】先用大蛋糕的棱长除以小蛋糕的棱长，得到大蛋糕的一个棱长可切成多少个小蛋糕，再将其相乘，得到总共可以切成的棱长为3厘米的小蛋糕的数量。只有从大蛋糕表面切出的小蛋糕才涂有巧克力酱，即没涂巧克力酱的蛋糕组成了一个比大蛋糕的棱长更小的正方体，（18－3×2）得到没涂巧克力酱的小蛋糕组成的正方体的棱长，再除以小蛋糕的棱长，得到一个棱长上没有巧克力酱的小蛋糕的数量，再将其相乘，得到没有巧克力酱的小蛋糕的数量，最后用总数量减去没有巧克力酱的小蛋糕的数量，即可得到涂有巧克力酱的小蛋糕的数量。
【详解】（18÷3）×（18÷3）×（18÷3）＝6×6×6＝36×6＝216（块）
（18－3×2）÷3＝（18－6）÷3＝12÷3＝4（块）
4×4×4＝16×4＝64（块）
216－64＝152（块）
答：涂有巧克力酱的小蛋糕有152块。
【点睛】此题考查了“表面涂色的正方体”这一内容，做题时要注意判断出，哪部分的小蛋糕是涂了巧克力酱的，哪部分是没涂的。
26．4×0.8+4×5×2+5×0.8×2=51.2(dm2)
【详解】略
