第三单元因数与倍数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．要使3□5是3的倍数，□里最大可以填（????）。
A．7 B．9 C．4
2．要使12□这个数是3的倍数，□里不可以填的数字是（????）。
A．0 B．8 C．9
3．在“遨游汉字王国”综合性学习活动中，五（1）班同学收集了各种各样的“福”字，不超过50个。小明4个4个地数正好数完，小辉5个5个地数也正好数完。请你算算大家至少收集了（????）个“福”字。
A．16 B．20 C．25
4．要使45是3的倍数，里可以填（????）。
A．0 B．1 C．2
5．下面（????）既是24的因数，又是32的因数。
A．8 B．12 C．24
二、填空题
6．被3除余2，被5除余4，被7除余4的最小自然数是( )。
7．填空。
8．一个数既是16的倍数，又是16的因数，这个数是( )。
9．工人师傅准备用若干块长8分米，宽6分米的地砖铺一个大正方形，至少需要( )块这样的方砖，铺好的大正方形的边长是( )分米。
10．五年级学生参加队列训练，人数在70～80人之间，如果每6人站一排，或者每8人站一排，都没有剩余，那么五年级参加队列训练的有( )人。
11．已知a＝2×2×3×5，b＝2×3×5×7，那么a和b的最大公因数是( )。
12．如果false（X和Y都是非0自然数），那么X和Y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
13．有一些皮球，分给10个班或分给8个班都多2个，这些皮球至少有( )个。
14．在今年4月的太原疫情阻击战中，许多教师从“三尺讲台”化身“抗疫战士”，尽显师者担当。实验小学的志愿者每组6人或每组8人都正好分完，那么这个学校最少有( )名教师逆行抗疫。
15．设false＠false，其中false表示a与b的最小公倍数，false表示a、b的最大公因数。已知12＠false，则x＝( )。
三、判断题
16．两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( )
17．3.5＝0.5×7，所以3.5是0.5和7的倍数，0.5和7是3.5的因数。( )
18．三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。( )
19．将36分解质因数为：36＝2×2×9。( )
20．因为false，所以32是倍数，4是因数。( )
四、解答题
21．妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？
马蹄莲：10元/枝
郁金香：5元/枝
22．五年级（3）班学生在操场上排队，如果5人一排，剩4人，如果站成7人一排少5人。五年级（3）班一共有多少人？
23．同学们参加夏令营活动，分别按4人、5人、6人一组，结果都多3人，参加夏令营的同学至少有多少人？
24．一种长方形地砖长24厘米，宽18厘米，用这种地砖铺一块正方形地，至少需要多少块地砖？
25．2路公共汽车每5分钟发车一次，6路公共汽车每3分钟发车一次。这两路公共汽车早上8：00同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？
《第三单元因数与倍数》参考答案
题号
1
2
3
4
5
答案
A
B
B
A
A
1．A
【分析】根据3的倍数的特征：每一个数位上的数相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。
【详解】A．□如果是7，3＋7＋5＝15，15÷5＝3，□可以填7；
B．□如果是9，3＋9＋5＝17，17÷3＝5……2，□不能填9；
C．□如果是4，3＋4＋5＝12，12÷3＝4，□可以填4。
7＞4
□里最大填7。
故答案选：A
【点睛】本题考查3的倍数特征，根据3的倍数特征进行解答。
2．B
【分析】3的倍数的特征：各个数位之和能够被3整除，据此解答即可。
【详解】A．1＋2＋0＝3，3能够被3整除；故A不符合题意；
B．1＋2＋8＝11，11不能够被3整除；故B符合题意；
C．1＋2＋9＝12，12能够被3整除；故C不符合题意；
故答案为：B
【点睛】熟练掌握3的倍数的特征是解答本题的关键。
3．B
【分析】已知小明4个4个地数正好数完，说明“福”字的个数是4的倍数，小辉5个5个地数也正好数完，说明“福”字的个数也是5的倍数，那么“福”字的个数就是4和5的公倍数，要求至少收集的个数，就是求4和5的最小公倍数；4和5互质（公因数只有1），互质的两个数最小公倍数是它们的乘积；据此解答。
【详解】4×5＝20
所以大家至少收集了20个“福”字。
故答案为：B
4．A
【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上数的和能被3整除；据此逐项分析，进行解答。
【详解】A．4＋0＋5＝9；9能被3整除，是3的倍数，□内可以填0；
B．4＋1＋5＝10；10不能被3整除，不是3的倍数，□内不可以填1；
C．4＋2＋5＝11；11不能被3整除，不是3的倍数，□内不可以填2。
要使4□5是3的倍数，□里可以填0。
故答案为：A
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
5．A
【分析】找因数的方法：用乘法，不重复、不遗漏；24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；32＝1×32＝2×16＝4×8，所以32的因数有：1、2、4、8、16、32；所以既是24的因数，又是32的因数的有：1、2、4、8；据此选择。
【详解】由分析可知：
既是24的因数，又是32的因数的有：1、2、4、8。
故答案为：A
【点睛】本题考查找因数和公因数，注意：两个数相同的因数叫做这两个数的公因数。
6．74
【分析】这个数减去4是5和7的公倍数，那么可能是39，74，109等等，再从中找出除以3余2的最小自然数。
【详解】false
false
被5除余4，被7除余4的数可能是39，74，109，144，179……
这里面除以3余2的最小自然数是74；
所以被3除余2，被5除余4，被7除余4的最小自然数是74。
【点睛】本题所采用的方法称为逐级满足法，先满足其中一个，再满足另外一个。
7．；6
【分析】因数是指能够整除一个数的数，falsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalse所以false的因数有：false
同理找出36的因数，falsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalse所以false的因数有：false
公因数是指两个数共有的因数，最大公因数是指两个数所有公因数里最大的数，据此解答即可。
【详解】false的因数有：false
false的因数有：false
false和false的公因数有：false；
false和false的最大公因数是：false。
8．16
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此分析。
【详解】一个数既是16的倍数，又是16的因数，根据分析，这个数是16。
9． 12 24
【分析】要求至少用多少块这样的砖才能铺成一个正方形，先求拼成的正方形的边长最小是多少分米，即求8和6的最小公倍数，求出拼成的正方形的边长，进而求出长需要几块，宽需要几块，然后相乘求出用砖的总块数。
【详解】8＝2×2×2
6＝2×3
8和6的最小公倍数是：2×2×2×3＝24，即铺好的大正方形的边长是24分米
（24÷8）×（24÷6）
＝3×4
＝12（块）
【点睛】解答此题的关键是明白，正方形的边长，是长方形地砖长和宽的最小公倍数，从而可以逐步求解。
10．72
【分析】根据题意可知，求五年级参加队列训练的人数，就是求在70和80之间的6和8的公倍数，首先把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，再找出在70和80之间的公倍数即可。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24
6和8的公倍数有：24，48，72，…；
在70和80之间的公倍数是72，所以五年级参加队列训练的有72人。
【点睛】此题属于公倍数的实际应用，利用求两个数的最小公倍数的方法解决问题。
11．30
【分析】求两个数的最大公因数，采用质因数分解法，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此解答。
【详解】a＝2×2×3×5，
b＝2×3×5×7，
a和b的最大公因数是：2×3×5＝30。
【点睛】此题的解题关键是掌握求几个数的最大公因数的方法。
12． Y X
【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，最小公倍数为较大的数；由此根据情况解决问题。
【详解】由false，说明X是Y的倍数，X和Y为倍数关系，X是较大数，Y是较小数；
所以X和Y的最大公因数是Y，最小公倍数是X。
【点睛】此题的解题关键是掌握当两个数为倍数关系时，两个数的最大公因数和最小公倍数的求法。
13．42
【分析】根据题意可知，这些皮球的个数减去2个后是10和8的最小公倍数，据此解答即可。
【详解】10＝2×5；
8＝2×2×2；
10和8的最小公倍数是2×5×2×2＝40；
40＋2＝42（个）；
【点睛】明确皮球的个数去掉2个就是10和8的最小公倍数是解答本题的关键。
14．24
【分析】根据“实验小学的志愿者每组6人或每组8人都正好分完”，说明志愿者人数是6和8的公倍数，求这个学校最少有几名教师逆行抗疫，找出6和8的最小公倍数即可。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24
所以这个学校至少有24名教师逆行抗疫。
【点睛】此题需要学生熟练掌握找两个数最小公倍数的方法，并灵活运用。
15．16
【分析】根据＠的运算定义可知：等于这两个数的最小公倍数加上它们的最大公因数，而两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，据此解答即可。
【详解】因为false＠false，假设12和x的最大公因数是y，最小公倍数是z，则：
12＠x
＝false
＝y＋z
＝52，
yz＝12x，
经过讨论可知：只有x＝16时，12和16的最大公因数是4，最小公倍数是48，
12＠16
＝false
＝4＋48
＝52，
所以x＝16。
【点睛】本题考查的是新定义新运算，最关键要得到两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，再进行讨论即可解答。
16．×
【分析】根据两个数的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积，用两个数的积除以它们的最大公因数，再根据两个数的最小公倍数是最大公因数的整数倍进行验证，用两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数看是否为整数即可验证。
【详解】480÷8＝60
60÷8＝7.5
说明两数的最小公倍数不是两数的最大公因数的整数倍，所以两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60的说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题看似简单，解答本题如果只是用两个数的积除以它们的最大公因数，得出的结果就是最小公倍数，但经过验证发现是错误的。
17．×
【分析】在乘法算式中，要使三个数之间有因数和倍数的关系，则因数和积都要是整数，由此进行判断即可。
【详解】3.5＝0.5×7，因为3.5和0.5都不是整数，所以3.5、0.5和7三个数之间不存在因数和倍数关系。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答本题的关键是要明确有因数与倍数关系的两个数，必须是整数。
18．√
【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数可以知道，三个奇数相加的和一定是奇数，所以这三个自然数中必须有偶数，才能让和成为偶数，但会有两种情况：①偶数＋奇数＋奇数＝偶数；②偶数＋偶数＋偶数＝偶数。所以这三个自然数中至少有一个数是偶数。
【详解】由分析得：
三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。这种说法是正确的。
故答案为：√。
【点睛】本题通过借助奇偶数运算的性质，来验证题中结论。在这个过程中，对于奇偶数运算的性质由两个数扩充到三个数，分析的难度也随之增大了。
19．×
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数连乘的形式。据此解答。
【详解】36＝2×2×9，9是合数，不符合分解质因数的定义，故原题说法错误。
【点睛】本题主要考查分解质因数的方法。把一个合数写分解成几个质数连乘的形式是解答本题的关键。
20．×
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【详解】32÷4＝8，所以32是4的倍数，4是32的因数。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查因数与倍数的意义；关键明确因数和倍数不能单独存在。
21．不对，应找回几十或几十五。
【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。
【详解】根据5的倍数的特征可知找回13元不对。
因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几盆，总钱数也应是5的倍数，付了5的倍数元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。
【点睛】此题考查了5的倍数特征的实际运用。
22．44人
【分析】根据题意，5人一排，剩4人，如果站在成7人一排少5人，可以先求出5和7的最小公倍数，再求出两种排法相差的人数，将两者相加即可。
【详解】由分析可得：
5×7＝35（人）
4＋5＝9（人）
35＋9＝44（人）
答：五年级（3）班一共有44人。
【点睛】本题主要考查了最小公倍数的知识，解题的关键是找到两种排法的最小公倍数。
23．63人
【分析】同学们参加夏令营活动，分别按4人、5人、6人一组，结果都多3人，说明参加夏令营的人数比4人、5人、6人的公倍数多3，因为要求至少多少人，就用它们的最小公倍数加3即可。
【详解】4和5互质，它们的最小公倍数是20，20与6的最小公倍数是60，所以4人、5人、6人的最小公倍数是60。
60＋3﹦63（人）
答：参加夏令营的同学至少有63人。
【点睛】本题考查最小公倍数，解答本题的关键是掌握最小公倍数的求法。
24．12块
【解析】用长24厘米，宽18厘米的地砖铺成的正方形地，其边长既是18的倍数，也是24的倍数，所以是它们的公倍数，如果要求至少需要多少块地砖，那么正方形的边长最小，所以求的是18和24的最小公倍数。
【详解】18和24的最小公倍数是72；
false（块）
false（块）
false（块）
答：至少需要12块地砖。
【点睛】本题考查的是最小公倍数，对于最小公倍数、最大公因数的问题，通常有最小、至少、最大、最多等词眼。
25．15分钟
【分析】2路公共汽车每5分钟发车一次，那么2路发车的发车间隔时间就是5倍数；6路车每3分钟发车一次，那么6路车的发车间隔时间就是3的倍数；两辆车同时发车的间隔是5和3的公倍数，最少的间隔时间就是5和3最小公倍数。
【详解】5和3的最小公倍数是：
5×3＝15（分）
答：至少再过多15分钟又同时发车.
【点睛】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间间隔时间就是5和3的最小公倍数。
