2026年甘肃省兰州市城关区天庆实验中学中考数学一模试卷（含答案）

2026年甘肃省兰州市城关区天庆实验中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，是有理数的为（　　）
A. B. π C. 0 D.
2.下列计算中，正确的是（　　）
A. B.
C. D. =2
3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图∠1=45°，∠2=125°，则∠3+∠4=（　　）
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
4.如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系的第二象限内，①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心为原点O，位似比为3：1.点P（-6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　）
A.
B. （-2，3）
C.
D. （-3，2）
5.苯（C6H6）的环状结构模型由德国化学家奥古斯特 凯库勒于1865年提出，该模型为有机化学中芳香族化合物的研究奠定了重要基础.随着研究的不断深入，发现一个苯分子中6个碳原子形成了正六边形的结构，如图1.其示意图如图2，点O为该正六边形的中心，连接OB，若OB=1，则相邻两个碳原子的核间距（即正六边形的边长）为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
6.已知直线y=x+a+2不经过第二象限，则关于x的方程（a+1）x2+3x+2=0的实数根的个数为（　　）
A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法确定
7.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x（表格中x从左到右增大）与函数值y的对应值如下表：
x 0 x1 x2 1 3 x3
y 1 y1 y2 0 1 y3
下列判断正确的是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3
8.如图，电路图上有A，B，C三个开关和一个正常的小灯泡L，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两.问金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
10.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其对角线交于原点O，若点B的坐标为（m,-5），点D的坐标为（12，n），则BD的长为（　　）
A. 20
B. 24
C. 26
D. 28
11.如图，⊙O的半径为x cm,正方形ABCD的边长为y cm,阴影部分的面积为Scm2.下列说法中，不正确的是（　　）
A. 若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数
B. 若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数
C. 若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为反比例函数
D. 若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为反比例函数
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.分解因式：25n-m2n= .
13.在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙、丙、丁四位运动员10次训练成绩的平均时间x（秒）和方差s2如下表所示.要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的运动员代表国家参加冬奥会短道速滑比赛，应该选择 .
甲 乙 丙 丁
x/秒 12.1 13.1 12.1 13.1
s2 0.6 0.6 0.9 0.5
14.如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且，依次取AB、BC、CD、AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是 .
15.如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图.通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，AC=BD=1m,点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2.
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：（x+2y）（x-2y）-x（x-y）.
17.(本小题6分)
解方程：.
18.(本小题6分)
解不等式组：.
19.(本小题6分)
如图所示，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A（-2，a）和点B（b,-1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4.
（1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积.
20.(本小题6分)
项目学习：
项目背景：某地区田地边因下大雨形成了一个塌陷洞口，数学兴趣小组成员要测量塌陷口最大直径，因为靠近有危险，该小组的同学围绕“塌陷洞口的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 塌陷洞口的测量与计算
驱动问题 如何测量塌陷洞口的直径数据
活动内容 利用三角形、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明 甲组：如图1，A，B两点分别为塌陷开口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）.因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO，并延长到点C，连接BO，并延长到点D，使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可.
乙组：如图2，A，B两点分别为塌陷开口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）.因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可.
丙组：如图3，根据塌陷周围地形状况，在安全地面选取合适的点P.测量A，P两点间的距离以及∠PAB和∠APB，测量三次取平均值，得到数据：AP=8m,∠PAB=79°，∠APB=64°.
参考数据 sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75
计算 …
交流展示 …
请根据上述材料，回答下面的问题.
（1）甲、乙两组的方案哪个可行？______（填“甲”或“乙”），并说明可行的理由.
（2）根据丙组的测量方案，计算塌陷洞口的最大直径（即A，B两点间的距离，结果精确到1m）.
21.(本小题6分)
一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式.
（2）该运动员身高1.82m,在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
22.(本小题6分)
有一破损的水管，截面如图.请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）.
23.(本小题6分)
AI技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种AI软件“D模型”和“M模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：x≥90，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70），下面给出了部分信息：
抽取的对“D模型”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84；
抽取的对“M模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68.
抽取的对“D模型”、“M模型”的评分统计表
品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比
D模型 88 b 98 45%
M模型 88 87.5 c 40%
抽取的对“D模型”评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，c=______；
（2）根据以上数据，你认为哪个AI软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）此次测验中，有300人对“D模型”进行评分，260人对“M模型”进行评分，估计此次测验中对“D模型”、“M模型”两种AI软件评分为A等级的共有多少人？
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD=4，cos∠CAB=，求AB的长．
25.(本小题6分)
阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF.我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF.
请回答：在图2中，∠GAF的度数是______.
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，求BE的长度.
（2）如图4，△ABC中，AC=4，BC=6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD.当∠ACB= ______时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值.
26.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点A，直线l（点A不在l上）和⊙C，给出如下定义：若点A关于直线l的对称点A′在⊙C上，则称点A是⊙C关于直线l的映像点，称线段AA′的长度为点A与⊙C的映像距离.
（1）如图，⊙O的半径为1，直线l1：y=x+2.
①在点A1（-2，2），，A3（-2，1）中，点______是⊙O关于直线l1的映像点，该点与⊙O的映像距离为______；
②点B是⊙O关于直线l1的映像点，当点B与⊙O的映像距离最小时，点B的坐标为______；
（2）已知点E（-2，-1），F（2，-1），点D在y轴的正半轴上且△DEF为等边三角形.点T（t,2），⊙T的半径为1.若△DEF上存在⊙T关于直线l2：y=（k+1）x-2k的映像点，直接写出t的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】D
12.【答案】n（5+m）（5-m）
13.【答案】甲
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】-4y2+xy．
17.【答案】．
18.【答案】-4＜x≤2．
19.【答案】， 15
20.【答案】甲 12 m
21.【答案】y=-0.2x2+3.5 球出手时，他跳离地面的高度为0.23m
22.【答案】作图如图，⊙O即为所作．

23.【答案】15;89;97 “D模型”软件更受用户的喜爱，理由见详解 239人
24.【答案】（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴cos∠DAC=cos∠CAB=，
在Rt△ACD中，AD=4，
∴cos∠DAC=，
∴AC=6，
在Rt△ABC中，
cos∠CAB=，
∴AB=9．
25.【答案】解：阅读材料：45°；
（1）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F，
∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠B=180°-∠D=90°，
∵AD=CD=10，
∴四边形AFCD是正方形，
∴CF=10，
根据上面结论，可知BE=DE+BF，
设BE=x,
∵DE=4，
∴BF=BE-DE=x-4，
∴CB=CF-BF=10-x+4=14-x,
CE=CD-DE=10-4=6，
∵∠C=90°，
∴CE2+CB2=BE2，
∴36+（14-x）2=x2，
解得：x=，
故BE=；
（2）135°．
过点A作AF⊥CA，取AF=AC，
连接BF，CF，
∵∠BAF=∠BAC+∠CAF=90°+∠BAC，
∠DAC=∠BAD+∠BAC=90°+∠BAC，
∴∠BAF=∠DAC，
又∵AC=AF，AB=AD，
∴△FAB≌△CAD（SAS），
∴BF=CD，
∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可，
在△BCF中，BF≤BC+CF，
当B、C、F三点共线时，
BF取最大值，此时BF=BC+CF，
在等腰直角三角形ACF中AC=AF=4，∠ACF=45°，
∴CF=AC=4，
∵CB=6，
BF最大为：4+6，此时∠BCA=180°-∠ACF=135°．
26.【答案】A3;;（） -4≤t≤或
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