2026年湖南省衡阳一中教育集团中考数学一自检试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年湖南省衡阳一中教育集团中考数学一自检试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 474.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-10 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年湖南省衡阳一中教育集团中考数学一自检试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 3.1415926 D.
2.去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000.将2430000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 243×104 B. 24.3×105 C. 2.43×106 D. 0.243×107
3.下列各式计算正确的是（ ）
A. a3 a2=a6 B. （a3）4=a7
C. a6÷a2=a4 D. （2a2b）3=2a6b3
4.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
6.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141.这组数据的中位数是（ ）
A. 130 B. 158 C. 160 D. 192
7.若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）
A. m＜﹣2 B. m＜0 C. m＞﹣2 D. m＞0
8.如图，直线m∥n,点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 20° C. 40° D. 50°
9.用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图（2）中BD的长是（ ）
A. B. C. D.
10.桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为（ ）
A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：m2-mn= ．
12.分式方程=的解为 ．
13.计算：= .
14.抛物线y=3（x+1）2+4的顶点在第 象限.
15.如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=12，则的长为 .
16.如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t（s），DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1＞y2.其中正确结论的序号是 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.计算：
四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
先化简，后求值：（x+1）2-（x-2）（x+2），其中x=3.
19.(本小题9分)
某校为了解学生寒假参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是______°；
（4）若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数.
20.(本小题9分)
春节贴春联的民俗起于宋代并在明代开始盛行.南宋诗人陆游在《己酉元日》中写道：“桃符呵笔写，椒酒过花斟.”这里的“桃符”就是春联.某超市在春节前夕欲购进A，B两种春联进行销售，已知购进1副A种春联与2副B种春联共需18元，购进2副A种和3副B种春联共需31元.
（1）求A种春联和B种春联的单价分别为多少元？
（2）该超市计划购买A种春联和B种春联共300副，总费用不超过2100元，那么最多能购买A种春联多少副？
21.(本小题9分)
如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E，F在矩形的边AD，AB上，FG交BC于点H.
（1）求证：AE=CD；
（2）连接GE，若CD=4，F是AB的中点，求GE和GH的长.
22.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于点A（a,3）和点B（3，-1）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是第四象限内双曲线上的点（不与点B重合），连接OP，过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC.若△POC的面积为，求点P的坐标.
23.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA，C是⊙O上一点（点C与点A不重合），且PC=PA，连接AC，BC，BP，BP交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，CD.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BD＞AD，AB=4，，求∠PAD的度数；
（3）记△PCE的面积为S1，△ABE的面积为S2，四边形PABC的面积为S，若满足，试证明：
①PC∥AB；
②PA AD=AC CD.
24.(本小题9分)
中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”.在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质.我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”.
（1）在下列关于x的函数中，是“之一函数”的是______（填序号）.
①y=2x；②；③y=x2-4x+3；
（2）①若关于x的二次函数y=mx2-4mx+m+2是“之一函数”，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（其中x1＜x2），与y轴交于点C，且mx1-x1+mx2-x2=0，求该二次函数的解析式.
②在①的条件下，点P是二次函数y=mx2-4mx+m+2图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得∠PCA=45°，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
（3）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点，已知c≥a＞0，且，试求：的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】m（m-n）
12.【答案】x=1
13.【答案】4
14.【答案】二
15.【答案】10π
16.【答案】①②④
17.【答案】解：
=1+3-+
=4．
18.【答案】2x+5；11．
19.【答案】100 36 600
20.【答案】A种春联单价为8元，B种春联单价为5元 最多能购买A种春联200副
21.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°．
∵四边形CEFG是正方形，
∴EF=CE，∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC．
在△AEF和△DCE中：
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD ，
22.【答案】一次函数的解析式为y=-x+2，反比例函数的解析式为
23.【答案】如图1，PA是⊙O的切线，连接OP，OC，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在△APO和△CPO中，
，
∴△APO≌△CPO（SSS），
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴半径OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线 ∵ AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠ADB=90°，
∴∠PAD=90°-∠BAD=∠ABP，
设∠ABP=∠PAD=θ，AD=b，DB=a，则，
∴AP=ABtanθ=4tanθ，
∵，则a＞b，
∴，
又∵（a+b）2=a2+b2+2ab
=
=
=，
∴或（不合题意，舍去），
又∵，
∴，
∵a＞b，
∴，
，
∴，
∴∠PAD=30° ①如图2，过点C作CF⊥PB于点F，
记△PAE的面积为S3，△BCE的面积为S4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
∴，
∴S3=S4，
∴S3+S2=S4+S2，即S△PAB=S△ABC，
∴C到AB的距离和P到AB的距离相等，
∴PC∥AB；②∵PA⊥AB，PC∥AB，
∴∠APC=180°-∠PAB=180°-90°=90°，
∴PA⊥PC，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PAC=45°，
∴∠CAB=90°-45°=45°，
∴∠ABC=90°-45°=45°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，
又∵∠ADP=∠ADB=90°，
∴∠PDC=360°-135°-90°=135°=∠ADC，
∵，
∴∠ACD=∠ABD，
又∵PC∥AB，
∴∠ABD=∠CPD，
∴∠ACD=∠CPD，
∴△ACD∽△CPD，
∴，
∴PC AD=AC CD，
又∵PA=PC，
∴PA AD=AC CD
24.【答案】③ ①二次函数的解析式为y=x2-4x+3；②点P坐标为 的最大值为
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 3.1415926 D.
2.去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000.将2430000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 243×104 B. 24.3×105 C. 2.43×106 D. 0.243×107
3.下列各式计算正确的是（ ）
A. a3 a2=a6 B. （a3）4=a7
C. a6÷a2=a4 D. （2a2b）3=2a6b3
4.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
6.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141.这组数据的中位数是（ ）
A. 130 B. 158 C. 160 D. 192
7.若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）
A. m＜﹣2 B. m＜0 C. m＞﹣2 D. m＞0
8.如图，直线m∥n,点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 20° C. 40° D. 50°
9.用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图（2）中BD的长是（ ）
A. B. C. D.
10.桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为（ ）
A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：m2-mn= ．
12.分式方程=的解为 ．
13.计算：= .
14.抛物线y=3（x+1）2+4的顶点在第 象限.
15.如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=12，则的长为 .
16.如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t（s），DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1＞y2.其中正确结论的序号是 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.计算：
四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
先化简，后求值：（x+1）2-（x-2）（x+2），其中x=3.
19.(本小题9分)
某校为了解学生寒假参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是______°；
（4）若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数.
20.(本小题9分)
春节贴春联的民俗起于宋代并在明代开始盛行.南宋诗人陆游在《己酉元日》中写道：“桃符呵笔写，椒酒过花斟.”这里的“桃符”就是春联.某超市在春节前夕欲购进A，B两种春联进行销售，已知购进1副A种春联与2副B种春联共需18元，购进2副A种和3副B种春联共需31元.
（1）求A种春联和B种春联的单价分别为多少元？
（2）该超市计划购买A种春联和B种春联共300副，总费用不超过2100元，那么最多能购买A种春联多少副？
21.(本小题9分)
如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E，F在矩形的边AD，AB上，FG交BC于点H.
（1）求证：AE=CD；
（2）连接GE，若CD=4，F是AB的中点，求GE和GH的长.
22.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于点A（a,3）和点B（3，-1）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是第四象限内双曲线上的点（不与点B重合），连接OP，过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC.若△POC的面积为，求点P的坐标.
23.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA，C是⊙O上一点（点C与点A不重合），且PC=PA，连接AC，BC，BP，BP交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，CD.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BD＞AD，AB=4，，求∠PAD的度数；
（3）记△PCE的面积为S1，△ABE的面积为S2，四边形PABC的面积为S，若满足，试证明：
①PC∥AB；
②PA AD=AC CD.
24.(本小题9分)
中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”.在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质.我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”.
（1）在下列关于x的函数中，是“之一函数”的是______（填序号）.
①y=2x；②；③y=x2-4x+3；
（2）①若关于x的二次函数y=mx2-4mx+m+2是“之一函数”，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（其中x1＜x2），与y轴交于点C，且mx1-x1+mx2-x2=0，求该二次函数的解析式.
②在①的条件下，点P是二次函数y=mx2-4mx+m+2图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得∠PCA=45°，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
（3）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点，已知c≥a＞0，且，试求：的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】m（m-n）
12.【答案】x=1
13.【答案】4
14.【答案】二
15.【答案】10π
16.【答案】①②④
17.【答案】解：
=1+3-+
=4．
18.【答案】2x+5；11．
19.【答案】100 36 600
20.【答案】A种春联单价为8元，B种春联单价为5元 最多能购买A种春联200副
21.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°．
∵四边形CEFG是正方形，
∴EF=CE，∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC．
在△AEF和△DCE中：
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD ，
22.【答案】一次函数的解析式为y=-x+2，反比例函数的解析式为
23.【答案】如图1，PA是⊙O的切线，连接OP，OC，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在△APO和△CPO中，
，
∴△APO≌△CPO（SSS），
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴半径OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线 ∵ AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠ADB=90°，
∴∠PAD=90°-∠BAD=∠ABP，
设∠ABP=∠PAD=θ，AD=b，DB=a，则，
∴AP=ABtanθ=4tanθ，
∵，则a＞b，
∴，
又∵（a+b）2=a2+b2+2ab
=
=
=，
∴或（不合题意，舍去），
又∵，
∴，
∵a＞b，
∴，
，
∴，
∴∠PAD=30° ①如图2，过点C作CF⊥PB于点F，
记△PAE的面积为S3，△BCE的面积为S4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
∴，
∴S3=S4，
∴S3+S2=S4+S2，即S△PAB=S△ABC，
∴C到AB的距离和P到AB的距离相等，
∴PC∥AB；②∵PA⊥AB，PC∥AB，
∴∠APC=180°-∠PAB=180°-90°=90°，
∴PA⊥PC，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PAC=45°，
∴∠CAB=90°-45°=45°，
∴∠ABC=90°-45°=45°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，
又∵∠ADP=∠ADB=90°，
∴∠PDC=360°-135°-90°=135°=∠ADC，
∵，
∴∠ACD=∠ABD，
又∵PC∥AB，
∴∠ABD=∠CPD，
∴∠ACD=∠CPD，
∴△ACD∽△CPD，
∴，
∴PC AD=AC CD，
又∵PA=PC，
∴PA AD=AC CD
24.【答案】③ ①二次函数的解析式为y=x2-4x+3；②点P坐标为 的最大值为
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