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苏科版2025—2026学年八年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，某校八年级某班的全体同学最喜欢的球类运动用的扇形统计图来表示，下面说法中错误的是（ ）
A．喜欢足球的人数最多
B．喜欢乒乓球的人数占全班总人数的25%
C．喜欢排球的人数占全班总人数的
D．喜欢足球的人数是喜欢篮球的人数的2倍
2．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解某中学1200名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是2%，则做50次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
3．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．4
4．如图，正方形ABCD的边长为2cm，则图中涂色部分的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
5．某校九年级随机抽查一部分学生进行了1分钟仰卧起坐次数的测试，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的人数是（ ）
A．3人 B．5人 C．10人 D．12人
6．如图，在 中， ， ， ，D为边 上一动点， 于点E， 于点F，则 的最小值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
7．在下列各事件中，可能性最大的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．掷一枚骰子点数小于等于
C．有张彩票，其中张是获奖彩票，从中抽一张就得奖
D．一个袋子中有个红球，个白球，从中摸出一个是白球
8．如图，在正方形中，点E、M、N分别是上的点，且，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
9．如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（ ）
A．7.5 B．15 C．18 D．20
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④S△CEF=2S△ABE，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则的值为 .
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有 ．（填序号）
13．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
14．如图，正方形ABCD的面积为100，ΔABP为直角三角形，∠P=90 ，且PB=6，则AP的长为 .
15．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
16．如图，点为正方形的两条对角线的交点．若正方形的周长为，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得到．
（1）如图2，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是___________________．（用，表示）
（2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式．
（3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值．
18．如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB=1
（1）求 ABCD的面积；
（2）求对角线 BD 的长.
19．甲、乙两人用如图的两个分格均匀的转盘A、B做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下列问题：
（1）用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果．
（2）求甲、乙两人获胜的概率．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别 成绩范围 频数
A 60～70 2
D 70～80 m
C 80～90 9
D 90～100 n
（1）分别求m，n的值；
（2）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
21．江苏卫视《最强大脑》曾播出一期“辨脸识人”节目，参赛选手以家庭为单位，每组家庭由爸爸妈妈和宝宝3人组成，爸爸、妈妈和宝宝分散在三块区域，选手需在宝宝中选一个宝宝，然后分别在爸爸区域和妈妈区域中正确找出这个宝宝的父母，不考虑其他因素，仅从数学角度思考，已知在某分期比赛中有A、B、C三组家庭进行比赛：
（1）选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率；
（2）如果任选一个宝宝（假如选A组家庭），通过列表或树状图的方法，求选手至少正确找对宝宝父母其中一人的概率．
22．如图1，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD=4，过D点作∠EDF分别交线段AB、CB于E、F两点.
（1）若CF+BE＝AB，求证：DF＝DE．
（2）如图2，∠EDF＝45°，请探究线段EF、AE、CF的数量关系.
（3）在（2）的条件下，若S△EDF＝7，则S△BEF的值是 ．
23．如图，在四边形中，为对角线的中点，过点作直线分别与边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，
①试说明四边形是菱形；
②当四边形是矩形时，若，，求的长．
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苏科版2025—2026学年八年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，某校八年级某班的全体同学最喜欢的球类运动用的扇形统计图来表示，下面说法中错误的是（ ）
A．喜欢足球的人数最多
B．喜欢乒乓球的人数占全班总人数的25%
C．喜欢排球的人数占全班总人数的
D．喜欢足球的人数是喜欢篮球的人数的2倍
【答案】C
【解析】【解答】解：因为根据扇形统计图可知，足球占40%，乒乓球占25%，排球占15%，篮球占20%，所以足球的人数最多，故A正确；
根据扇形统计图可知，最喜欢乒乓球的人数占全班的总人数的25%，故B正确；
根据扇形统计图可知，最喜欢排球的占全班的总人数的15%=≠，故C错误；
因为最喜欢足球的人数占全班的总人数的40%，最喜欢篮球的人数占全班的总人数的20%，所以喜欢足球的人数是喜欢篮球的人数的2倍，故D正确．
故答案为：C.
【分析】根据扇形统计图中各个部分所占的百分比，逐一分析四个选项，再作出判断.
2．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解某中学1200名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是2%，则做50次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
【答案】C
【解析】【解答】解：A.为了了解某中学1200名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50,不是50名学生的视力，故此项错误；
B.若一个游戏的中奖率是2%，2%是概率而不是做50次这样的游戏一定会中奖，故此项错误；
C.了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，正确；
D.“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件是随机事件，故此项错误；
故答案为：C.
【分析】根据样本容量为所抽查对象的数量，抽样调查，随机事件，即可解答.
3．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵在矩形中，对角线、交于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴
∴中，．
故答案为：B.
【分析】先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再求出，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
4．如图，正方形ABCD的边长为2cm，则图中涂色部分的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：由对称可知，S阴影部分=S正方形ABCD=×2×2=2cm2.
故答案为：B.
【分析】根据AC是正方形ABCD的对称轴，得出S阴影部分=S正方形ABCD，即可得出答案.
5．某校九年级随机抽查一部分学生进行了1分钟仰卧起坐次数的测试，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的人数是（ ）
A．3人 B．5人 C．10人 D．12人
【答案】D
【解析】【解答】观察频数分布直方图，找到横轴，代表次数，
则仰卧起坐次数在25～30次对应的纵轴人数是12人．
故答案为：D．
【分析】观察频数分布直方图，仰卧起坐次数在25～30次对应的纵轴人数即可.
6．如图，在 中， ， ， ，D为边 上一动点， 于点E， 于点F，则 的最小值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接BD．
∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质可知：EF=BD，再利用垂线段最短求出ED的长即可。
7．在下列各事件中，可能性最大的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．掷一枚骰子点数小于等于
C．有张彩票，其中张是获奖彩票，从中抽一张就得奖
D．一个袋子中有个红球，个白球，从中摸出一个是白球
【答案】D
【解析】【解答】解：A、任意买一张电影票，座位号是奇数的可能性为50%；
B、掷一枚骰子点数小于等于2的可能性为；
C、有10000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中抽一张就得奖的可能性为10%；
D、一个袋子中有10个红球，20个白球，从中摸出一个是白球的可能性为.
故答案为：D．
【分析】利用概率公式分别求出各事件的可能性，比较大小可得答案。
8．如图，在正方形中，点E、M、N分别是上的点，且，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：过点作于点，设与相交于点，
∵四边形是正方形，．
，四边形是矩形，
，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过点作于点，设与相交于点，先证出，再利用全等三角形的性质及勾股定理求出即可.
9．如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（ ）
A．7.5 B．15 C．18 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
此时，重叠部分的四边形面积最大，
∵ 重叠四边形为菱形BEDF，
设DE=x，则BE=DE=x，AE=9-x，
在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2，即x2=(9-x)2+32，
解得，x=5，
∵ 纸条宽为3，
∴ S=3×5=15.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的判定与性质可得菱形BEDF，根据勾股定理求得DE，再求菱形面积即可.
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④S△CEF=2S△ABE，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∵S△CEF= ，
S△ABE= = ，
∴2S△ABE= =S△CEF，（故④正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则的值为 .
【答案】4
【解析】【解答】
故答案为：4
【分析】
两个小正方形的面积分别为△ABC两条直角边的平方，根据勾股定理可计算出面积和。
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵BC=EC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB=∠EBF，
∴∠CBE=∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，符合题意；
∵BC=EC，CF⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，符合题意；
∵DC∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠ECF=∠BCF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC，
∴③符合题意；
∵FB=BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF=PC，故④符合题意．
故答案为①②③④．
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
13．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
【答案】60
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD//BC，∠B=∠D，
∠A+∠B=180°，
∠A=2∠B，
∠B=60°，
∠D=60°，
故答案为：60.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，∠B=∠D，进而得到∠A+∠B=180°，根据∠A=2∠B，得到∠B的度数.
14．如图，正方形ABCD的面积为100，ΔABP为直角三角形，∠P=90 ，且PB=6，则AP的长为 .
【答案】8
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为100，
∴AB=10，
∵△ABP为直角三角形，∠P=90°，且PB=6，
∴AP= ，
故答案为：8.
【分析】先根据正方形面积求出边长，然后根据勾股定理求出AP的长度.
15．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，
∴AE′＝AE＝BE＝1，
∴△AEE′为等边三角形，
∴∠AEE′＝60°，
∴∠E′EB＝120°，
∵BE＝EE′，
∴∠EE′B＝30°，
∴∠AE′B＝90°，
BE′＝ ＝ ，
∵PE+PB＝BE′，
∴PE+PB的最小值是： ．
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，找出E点关于AC的对称点E′，连接E′B，则E′B就是PE＋PB的最小值，再由勾股定理可求出E′B．
16．如图，点为正方形的两条对角线的交点．若正方形的周长为，则阴影部分的面积为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：如图，
∵为正方形，
，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴正方形的边长为：，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据正方形的性质得，，，，再根据全等三角形的判定可证明，可得，再根据正方形的面积可得1即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得到．
（1）如图2，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是___________________．（用，表示）
（2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式．
（3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：如图，
．
（3）解：由（1）得．又∵，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】
（1）解：发现的等式是，
故答案为：；
【分析】
（1）一方面，将其看作边长为(a+b)的大正方形，根据正方形面积公式可得出其面积为(a+b)2，另一方面，把图2看作由四个长为a、宽为b的小长方形和一个边长为(a b)的小正方形组成，四个小长方形的面积为4×a×b=4ab，小正方形的面积为(a b)2，那么它们的面积和为(a b)2+4ab；然后根据两种方法计算的是同一个图形的面积列出等式，即可得出答案；
（2）根据a2+3ab+2b2各项系数的特点，用1个边长为a的正方形、3个长为a宽为b的长方形和2个边长为b的正方形拼成长方形，通过长方形的长和宽得出因式分解的结果；
（3）先根据（1）中所得等式(x y)2=(x+y)2 4xy，将已知的x+y=3，xy=代入求出(x y)2的值，进而得到x y的值，最后利用平方差公式x2 y2=(x+y)(x y)求出x2 y2的值。
（1）发现的等式是，
故答案为：；
（2）如图，
．
（3）由（1）得．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
18．如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB=1
（1）求 ABCD的面积；
（2）求对角线 BD 的长.
【答案】（1）解：∵AB⊥AC，AB=1，BC=，
∴AC==2，
∴S ABCD=AB·AC=2
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=1，OB=BD.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OB==，
∴BD=2OB=2
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC的值，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
（2）根据平行四边形的性质得到OA=1，OB=BD，根据勾股定理求出OB的值，即可求出BD的值解答即可.
19．甲、乙两人用如图的两个分格均匀的转盘A、B做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下列问题：
（1）用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果．
（2）求甲、乙两人获胜的概率．
【答案】解：（1）所有可能出现的结果如图：
4 5 6 7
1 （1，4） （1，5） （1，6） （1，7）
2 （2，4） （2，5） （2，6） （2，7）
3 （3，4） （3，5） （3，6） （3，7）
（2）从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中积是奇数的结果有4种，即5、7、15、21，积是偶数的结果有8种，即4、6、8、10、12、14、12、18，
∴甲、乙 两人获胜的概率分别为：
P（甲获胜）==，
P（乙获胜）== ．
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出积为奇数与积为偶数的情况数，分别求出甲乙两人获胜的概率即可．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别 成绩范围 频数
A 60～70 2
D 70～80 m
C 80～90 9
D 90～100 n
（1）分别求m，n的值；
（2）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
【答案】（1）解： 由题意得：n=20×20%=4，
则m=20-2-9-4=5，
（2）解： A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为=
【解析】【分析】（1）根据频数的计算方法结合题意即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而得到共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，再运用等可能事件的概率即可求解。
21．江苏卫视《最强大脑》曾播出一期“辨脸识人”节目，参赛选手以家庭为单位，每组家庭由爸爸妈妈和宝宝3人组成，爸爸、妈妈和宝宝分散在三块区域，选手需在宝宝中选一个宝宝，然后分别在爸爸区域和妈妈区域中正确找出这个宝宝的父母，不考虑其他因素，仅从数学角度思考，已知在某分期比赛中有A、B、C三组家庭进行比赛：
（1）选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率；
（2）如果任选一个宝宝（假如选A组家庭），通过列表或树状图的方法，求选手至少正确找对宝宝父母其中一人的概率．
【答案】解：（1）∵3组家庭都由爸爸、妈妈和宝宝3人组成，
∴选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率=；
（2）设三个爸爸分别为A，B，C，对应的三个妈妈分别为A′，B′，C′，对应的三个宝宝分别为A″，B″，C″，
以A″为例画树形图得：
由树形图可知任选一个宝宝，最少正确找对父母其中一人的情况有5种，所以其概率=．
【解析】【分析】（1）因为3组家庭都由爸爸、妈妈和宝宝3人组成，所以选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率是其中的三分之一；
（2）设三个爸爸分别为A，B，C，对应的三个妈妈分别为A′，B′，C′，对应的三个宝宝分别为A″，B″，C″，通过画树形图即可求出任选一个宝宝，最少正确找对父母其中一人的概率．
22．如图1，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD=4，过D点作∠EDF分别交线段AB、CB于E、F两点.
（1）若CF+BE＝AB，求证：DF＝DE．
（2）如图2，∠EDF＝45°，请探究线段EF、AE、CF的数量关系.
（3）在（2）的条件下，若S△EDF＝7，则S△BEF的值是 ．
【答案】（1）证明：∵ AB=AE+BE，AB=CF+BE，
∴ AE=CF，
∵ AD=CD，∠A=∠C=90°，
∴ △CDF≌△ADE（SAS），
∴ DF=DE.
（2）解：延长BC到点G，使CG=AE，连接DG，如图，
∵ ∠DCG=∠A=90°，CG=AE，DC=DA，
∴ △DCG≌△DAE（SAS），
∴ ∠CDG=∠ADE，DG=DE，
∴ ∠GDF=∠CDG+∠CDF=∠ADE+∠CDF=90°-∠EDF=45°，
∴ ∠GDF=∠EDF，
∵ DF=DF，
∴ △GDF≌△EDF（SAS），
∴ EF=GF，
∴ EF=GF=CG+CF=AE+CF.
（3）2
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，△GDF≌△EDF，∴ S△GDF=7，有（2）知，△DCG≌△DAE，∴ S△CDF+S△ADE=7，∴ S△BEF=S正方形ABCD-S△DEF-（S△CDF+S△ADE），=4×4-7-7=2.故答案为：2.
【分析】（1）先求得AE=CF，再依据SAS判定△CDF≌△ADE，即可求得；
（2）延长BC到点G，使CG=AE，依据SAS判定△DCG≌△DAE推出∠CDG=∠ADE，DG=DE，再求得 ∠GDF=∠EDF，再依据SAS判定△GDF≌△EDF推出EF=GF，即可求得；
（3）根据△DCG≌△DAE和△GDF≌△EDF，可得 S△GDF=7，S△CDF+S△ADE=7，即可求得.
23．如图，在四边形中，为对角线的中点，过点作直线分别与边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，
①试说明四边形是菱形；
②当四边形是矩形时，若，，求的长．
【答案】（1）证明：，为对角线的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形
（2）解：①证明：平分，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形；
②解：四边形是矩形，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得．
，，
又
，
．
【解析】【分析】（1）由全等三角形的性质得AF=CE，再由平行四边形的判定定理即可得出结论。
（2）根据角平分线的定义得到∠AFE=∠CFE，由平行线的性质得到∠AFE=∠CEF，得到CF=CE，再由菱形的判定定理得到平行四边形AECF为菱形。
由矩形的性质，再由勾股定理求解即可。
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