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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册期中复习卷
1．甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 8 7 a 9 8
乙 9 8 9 10 b
若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题．
（1）写出a和b的值．
（2）根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线．
（3）分别计算甲、乙两人射击成绩的方差．
2．A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则B在扇形统计图中所占的圆心角的度数是．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
3． 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
4．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．则这个车棚的长和宽分别应为多少米？
5．某公司投资新建了一座商场，共有商铺40间，根据相关调研，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每上涨0.5万元，就要少租出 1间.
（1）当每间商铺的年租金定为 15万元时，能租出多少间
（2）当租出的商铺为 32 间时，求该公司的年租金总收入.
（3）若该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用2万元，未租出的商铺每间每年交各种费用1万元.当每间商铺的年租金定为多少万元时，带给公司的年收益(收益=租金总收入一各种费用)为380万元
6．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2满足|x1|+|x2|=3，求k的值．
7．已知在学校组织的“一人一箭，古风重现”趣味竞赛中，每班参加射箭比赛的人数相同．学校将八年级一班和二班的射箭环数情况整理如下表：
射中环数（环） 8 9
一班（人） 5
二班（人） 8
（1）八年一班射箭平均成绩是______环．
（2）若八年二班射箭平均成绩与八年一班相等．
①表中，的值分别为：______，______．
②从两个班的平均数、中位数和众数等角度进行分析，你认为哪个班的整体成绩更好？
8．党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．
（1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量．
（2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？
9．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
10．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2015年交易额为40万元，2017年交易额为48.4万元，求2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率？
11．根据某网站调查，2014年网民最关注的热点话题分别是：消费、教育、环保、反腐及其他共五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图如图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形图，并在图中表明相应数据．
（2）若某市中心城区约有90万人口，请你估计该市中心城区最关注教育问题的人数约有多少万人？
（3）据统计，2012年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%，则从2012年到2014年关注该问题网民数的年平均增长率约为多少？（已知2012～2014年每年接受调查的网民人数相同，≈3.16）
12．民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下：
七年级10名学生活动成绩统计表
成绩（分） 6 7 8 9 10
人数（人） 1 3 a b 1
已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？
（2）求a，b的值．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
13．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．
14．电影（长津湖）是一部讲述抗美援朝题材的影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极严寒环境下坚守阵地奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事，2023年国庆节来临之际，某电影院开展“纪念英烈，铸中华魂”系列活动，对团体购买电影票实际优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只需花1200元.
（1）求每张电影票的原定零售票价？
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率.
15．某校举行“知礼·明理”知识问答竞赛，班、班各派出5名选手组成代表队参加比赛.两班派出选手的比赛成绩如图所示.
根据上图中信息，整理分析数据得到如下表格，
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 85 85 85
B校 85 a b
（1） ； ；
（2）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定.
（3）请你从平均数、众数、中位数、众数等数据分析，推选一个班级去参加区级比赛.
16．某汽车生产企业产量和效益逐年增加．据统计，2009年某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2011年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2009年开始五年内保持不变，求该品牌汽车年平均增长率和2012年的年产量．
17．已知y=，求3x+2y的算术平方根．
18．如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）．
19．我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
20．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求 的值.
21．高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费800元
超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元
求该公司参加旅游的员工人数．
22．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
23．已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）当k=1时，用配方法解方程.
24．某绘画艺人第一天的收入为元，第三天的收入为元每天收入的增长率相同．
（1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？
（2）绘画艺人想制作一幅长分米，宽分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条阴影部分为彩条无费用，其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．
25．解方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
26．甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为9，9，x，7，若这组数据的众数和平均数恰好相等，求出其中的x值以及此组数据的标准差．
27．关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
28．赵阿姨以每千克4元的价格购进某种蔬菜若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种蔬菜每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，赵阿姨决定降价销售。
（1）若将这种蔬菜每千克的售价降低0.8元，则每天的销售量为—千克，销售利润为 元：
（2）若将这种蔬菜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 千克（用含有x的代数式表示)：
（3）销售这种蔬菜要想每天盈利300元，赵阿姨应将这种蔬菜的售价定为每千克多少元
29．若等腰三角形两边长分别为 m，n，且 m，n 满足 2+3＝n-6，求此等腰三角形的周长和面积．
30．每年淘宝网都会举办“双十一”购物狂欢节，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品的成本为36元，网上标价为110元．“双十一”活动当天，为了吸引买主，连续两次降价销售A商品，问平均每次降价率为多少时，才能使这件A商品的利润率为10%？
31．《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题．
（1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元．
（2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期）
（3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分）
①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元
③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高
④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降
32．用配方法解一元二次方程：小明同学的解题过程如下：
解： ，，，，．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
33．已知甲校有a人，其中男生占60%；乙校有b人，其中男生占50%．今将甲、乙两校合并后，小清认为：「因为=55%，所以合并后的男生占总人数的55%．」如果是你，你会怎么列式求出合并后男生在总人数中占的百分比？你认为小清的答案在任何情况都对吗？请指出你认为小清的答案会对的情况．请依据你的列式检验你指出的情况下小清的答案会对的理由．
34．解方程：
35．已知，，求的值．
36．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
37．某中学开展“迎接党的二十大”知识比赛，九年级（1）班、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格：
班级 中位数 平均数 众数
九（1）班 85 ？ 85
九（2）班 ？ 85 ？
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好？说明理由；
（3）如果规定成绩较稳定的班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．
38．某校为了解学生体质健康情况，随机抽取A，B两组学生（每组15人）的体质测试成绩（满分100分），制作成如下统计图表：
【数据收集与整理】
组别 平均数 众数 中位数 方差
A 81 90 a
B 81 b 80
【数据分析与应用】解答下列问题：
（1）由图表信息： ， ；
（2）由图表信息： （填“>”或“=”或“<”）；
（3）结合以上图表的统计量，请你对两组测试成绩进行评价，并说明理由（写出一条即可）．
39．习题集上有一道题为：“先化简，再求值：，其中，小刚的解法如下：，当时，原式，小刚的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解法。
40．为了增强学生的安全意识，某校开展了主题为“科学防护·珍爱生命”的安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82.
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94.
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93
众数 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）.
41．圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
42．已知 为正整数，关于 的方程 的两个实根为 ，关于 的方程 的两个实根为 ，且 ，求 的最小值.
43．已知 满足 ，求 的值.
44．某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数/万人 a ③ ④
（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
45．某数学兴趣小组对函数图象抱有浓厚兴趣，继而深入探究图形变换对反比例函数 图象所产生的影响，他们尝试采用以下方式开展研究。
方式一：先作函数图象关于直线y=x的对称图形，再向右平移1个单位长度；
方式二：先向将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线y=x的对称图形。
【问题提出】
小林认为：
按照方式一的变换， 的图象关于y=x的对称图形是其本身，再向右平移1个单位长度，较容易画出 的图象；
按照方式二的变换，向右平移1个单位长度后的图象不是关于y=x的轴对称图形，进一步作图变得困难。那么，经历方式二变换后，函数的关系式和图象是怎样的呢
【问题探究】
（1）小林建议从特殊情况入手，发现规律。
①如图1所示，兴趣小组已画出线段AB(A、B在格点上)关于y=x的对称线段A'B'，请你在图1的网格中，分别画出线段AB 按照方式一变换得到的线段A1B1和按照方式二变换得到的线段，
②观察线段A`B'和A2B2的位置关系，小林大胆猜测：“先向将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线y=x的对称图形。”等同于“先作关于直线y=x的对称图形”，再向 平移 个单位；随后，小组成员通过多次实践和严密推理，验证了猜想的正确性。
（2）【问题解决】
请根据猜想，按照方式二的要求对 进行变化，所得到的新函数的关系式为. （不需要写自变量的取值范围) 。
（3）【问题延伸】
按照方式一变换得到的图象记为 如图2所示，按照方式二变换得到的图象为C2。已知点E(x，y)是第一象限内一点，将点E按照方式一、方式二进行变换，分别得到E1和E2，当直线 与图象( 有且只有两个交点时，请求出y关于x的函数表达式(不需要写自变量的取值范围)。
46．据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
47．“品中华诗词，寻文化基因”，某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校七年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数表与如图所示的频数直方图.
参加竞赛的学生成绩频数表
组别 成绩x（分） 人数 百分比
A 60≤x<70 8 20%
B 70≤x<80 16 m%
C 80≤x<90 a 30%
D 90≤x≤100 4 10%
参加竞赛的学生成绩频数直方图
解决下列问题：
（1）表中a= ，m= .
（2）补全频数直方图.
（3）方方参加了这次竞赛，成绩下来后，他对圆圆说：“我这次竞赛的成绩位于中游，比我答得好的人比比我答得差的人少3个.”请你算一算，方方是第几名？
48．在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帽将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
49．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为AD的中点.动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB—BC运动；同时动点Q从点C出发。以每秒1个单位长度的速度沿CB运动，链接EP、EQ、PQ，当点P、Q相遇时停止运动.设△EPQ的面积为S，点P的运动时间为t（s）.
（1）用含t的代数式表示线段BP的长；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当△EPQ的面积是时，直接写出t的值.
50．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O为原点，以 OA，OC 所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点 满足
（1）则 点的坐标为 ； 点的坐标为 .
（2）直角三角形 的面积为 .
（3）已知坐标轴上有两动点 同时出发， 点从 点出发沿 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动， 点从 点出发以2个单位长度每秒的速度沿 轴正方向移动，点 到达 点整个运动随之结束． 的中点 的坐标是 ，设运动时间为t（t＞0）秒，问：是否存在这样的t使 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册期中复习卷
1．甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 8 7 a 9 8
乙 9 8 9 10 b
若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题．
（1）写出a和b的值．
（2）根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线．
（3）分别计算甲、乙两人射击成绩的方差．
【答案】（1），
（2）解：如图：
（3）解：甲射击成绩的平均数为：8
甲的方差为：；
乙的平均数为
乙的方差为：
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
解得，；
由图得
根据中位数定义得，
【分析】（1）平均数直接套用公式计算，注意求一组数据的中位数时，要先对这组数据按大小进行排序，再取最中间或最中间两个数据的平均数；
（2）先分别描点，再连线，由于是两个人的成绩，注意可用虚线和实线进行区别；
（3）直接套用方差公式进行计算。
（1）解：根据题意得：，
解得，；
由图得
根据中位数定义得，
（2）解：如图：
（3）解：甲射击成绩的平均数为：8
甲的方差为：；
乙的平均数为
乙的方差为：
2．A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则B在扇形统计图中所占的圆心角的度数是．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
【答案】解：（1）补充图形如下：
；
（2）360°×40%=144°；
（3）A的投票得分是：300×35%=105（分），
则A的最后得分是：=92（分）；
B的投票得到是：300×40%=120（分），
则B的最后得分是：=98（分）；
C的投票得分是：300×25%=75（分），
则C的最终得分是：=84（分）．
所以B当选．
【解析】【分析】（1）根据C的笔试成绩是90分即可作图；
（2）利用B所占的比例乘以360度即可求解；
（3）首先求得A、B、C的投票得分，然后利用加权平均数公式即可求解．
3． 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【答案】（1）解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝144，
x4＝11或x2＝-13（舍去）．
答：平均一人传染11人．
（2）解：经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），
答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．
【解析】【分析】传染问题中的等量关系：m(1+x)2=n，m是原有数量，n是传染后的数量，x是每轮中一个传染的数量。
4．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．则这个车棚的长和宽分别应为多少米？
【答案】解：设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x ＝80，
整理得：﹣28x+160＝0，
解得：＝8，＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
【解析】【分析】设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
5．某公司投资新建了一座商场，共有商铺40间，根据相关调研，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每上涨0.5万元，就要少租出 1间.
（1）当每间商铺的年租金定为 15万元时，能租出多少间
（2）当租出的商铺为 32 间时，求该公司的年租金总收入.
（3）若该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用2万元，未租出的商铺每间每年交各种费用1万元.当每间商铺的年租金定为多少万元时，带给公司的年收益(收益=租金总收入一各种费用)为380万元
【答案】（1）解： 当每间商铺的年租金定为15万元时，每年可以租出商铺数量为：40-（15-10）÷0.5×1=30（间）；
（2）解：设每间的租金为x万元时，可以租出商铺32间，
由题意得40-(x-10)÷0.5×1=32，
解得x=14，
∴ 当租出的商铺为32间时，求该公司的年租金总收入为32×14=448（万元） ；
（3）解：设每间商品的租金为y万元时，能给公司带来380万元的年收入，由题意得
y[40-(y-10)÷0.5×1]-2[40-(y-10)÷0.5×1]-{40-[40-(y-10)÷0.5×1]}×1=380，
整理得y2-31y+240=0，
解得y1=15，y2=16，
∴当每间商品的租金为15万元或16万元时，能给公司带来380万元的年收入.
【解析】【分析】（1）根据租出商铺的间数=40-每间租金上涨的钱数÷0.5×1，列式计算即可；
（2）设每间的租金为x万元时，可以租出商铺32间，32=40-每间租金上涨的钱数÷0.5×1列出方程求解可求出x的值，再根据总租金=每间商品的租金×租出的间数可算出 该公司的年租金总收入；
（3）设每间商品的租金为y万元时，能给公司带来380万元的年收入，首先表示出租出商铺的数量及未出租商铺的数量，进而根据收益=总租金-各种费用列出方程，求解即可.
6．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2满足|x1|+|x2|=3，求k的值．
【答案】解：（1）若方程有实数根，
则△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，
∴k≤
∴当k≤时，此方程有实数根；
（2）根据题意得x1+x2=2k﹣3，x1 x2=k2+1＞0，
则x1、x2同号，
当x1＞0，x2＞0，则x1+x2=3，即2k﹣3=3，解得k=3，
当k=3时，原方程无实数根，舍去，
当x1＜0，x2＜0，则﹣（x1+x2）=3，即﹣（2k﹣3）=3，解得k=0，
即k的值为0．
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k﹣3，x1 x2=k2+1＞0，则可判断x1、x2同号，然后去绝对值，当x1+x2=3，即2k﹣3=3；当﹣（x1+x2）=3，即﹣（2k﹣3）=3，然后分别解关于k的方程即可．
7．已知在学校组织的“一人一箭，古风重现”趣味竞赛中，每班参加射箭比赛的人数相同．学校将八年级一班和二班的射箭环数情况整理如下表：
射中环数（环） 8 9
一班（人） 5
二班（人） 8
（1）八年一班射箭平均成绩是______环．
（2）若八年二班射箭平均成绩与八年一班相等．
①表中，的值分别为：______，______．
②从两个班的平均数、中位数和众数等角度进行分析，你认为哪个班的整体成绩更好？
【答案】（1）7.4（2）①5，2，
解：②八年一班射箭的众数是6环，中位数是（环）．
八年二班射箭的众数是7环，中位数是（环）．
两个班的平均数，中位数相同，八年二班射箭的众数比八年一班的高，所以八年二班的整体成绩更好
【解析】【解答】解：（1）八年一班射箭平均成绩为（环）
故答案为：7.4；
（2）①根据八年二班射箭平均成绩与八年一班相等和每班参加射箭比赛的人数相同可列出方程组为，
解得，
故答案为5，2．
【分析】（1）利用加权平均数的计算公式解答；
（2）①根据平均数相同得到二元一次方程组，求出，的值可；
②根据中位数和众数的定义求出两个班的中位数和众数，然后比较解题．
8．党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．
（1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量．
（2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？
【答案】（1）解：30+3×3＝39（箱）．
答：每天的销售为39箱；
（2）解：设每箱“特色农产品”的售价降低了x元，则每箱“特色农产品”的销售利润为（40-x）元，每天可售出（30+3x）箱，
根据题意得：（40-x）（30+3x）＝1800，
整理得：x2-30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵为尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每箱“特色农产品”的售价需降低20元．
【解析】【分析】（1）利用每天的销售量=30+3每箱“特色农产品”的售价降低的钱数，即可得出结论；
（2）设每箱“特色农产品”的售价降低了x元，则每箱“特色农产品”的销售利润为（40-x）元，每天可售出（30+3x）箱，利用总利润=每袋的销售利润日销量，即可列出关于x的一元二次方程就，解出x的值，再结合题意要求“为尽快减少库存，”进而得出结论.
9．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）设的长为米，则，根据题意，得，
整理，得，
解得，，
∵墙的最大可用长度为米，
∴，
∴，
∴，即的长为米；
（2）不能围成面积为平方米的花圃．
理由如下：
根据题意，得，整理，得．
∵，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为平方米的花圃．
【解析】【分析】（1）27米的篱笆围成了3条宽和一条长，设AD=X，根据图形有三条宽，一条长，所以长为27-3x，根据面积=长×宽=54，列方程即可求解；
（2）根据面积长×宽=90，列方程，通过确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃．
10．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2015年交易额为40万元，2017年交易额为48.4万元，求2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率？
【答案】解：设2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为x，
根据题意得：40（1+x）2=48.4，
解得：x1=0.1=10%，x2=﹣2.1.
答：2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为10%.
【解析】【分析】设2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该网店“双十一”全天交易额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
11．根据某网站调查，2014年网民最关注的热点话题分别是：消费、教育、环保、反腐及其他共五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图如图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形图，并在图中表明相应数据．
（2）若某市中心城区约有90万人口，请你估计该市中心城区最关注教育问题的人数约有多少万人？
（3）据统计，2012年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%，则从2012年到2014年关注该问题网民数的年平均增长率约为多少？（已知2012～2014年每年接受调查的网民人数相同，≈3.16）
【答案】解：（1）调查的总人数是：420÷30%=1400（人），
关注教育的人数是：1400×25%=350（人）．
（2）90×25%=22.5（万人）；
（3）设从2012年到2014年关注该问题网民数的年平均增长率为x，
由题意得 10%（1+x）2=25%，
解得x1=0.58=58%，x2=﹣2.58（不合题意，舍去）．
答：从2012年到2014年关注该问题网民数的年平均增长率约为58%．
【解析】【分析】（1）根据关注消费的人数是420人，所占百分比是30%，求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数，进而补全条形图；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；
（3）设从2012年到2014年关注该问题网民数的年平均增长率为x，则2013年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%（1+x），2014年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%（1+x）2，又2014年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为25%，根据2014年网民最关注教育问题的人数所占百分比不变列出，解方程即可．
12．民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下：
七年级10名学生活动成绩统计表
成绩（分） 6 7 8 9 10
人数（人） 1 3 a b 1
已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？
（2）求a，b的值．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）解：，
=1（人），
答：八年级活动成绩为7分的学生数是人.
（2）解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，
∴，.
（3）解：优秀率高的年级平均成绩低，理由如下：
七年级的平均分为（分），
优秀率为，
八年级的平均分为（分），
优秀率为，
∴优秀率高的年级平均成绩低．
【解析】【分析】（1）先求出得7分的学生的比例，再乘以即可；
（2）根据七年级名学生活动成绩的中位数为8.5分，可知成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，由此可确定a，b的值；
（3）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可．
（1）解：人，
答：八年级活动成绩为7分的学生数是人；
（2）解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，
即，；
（3）解：优秀率高的年级平均成绩低，理由为：
七年级的优秀率为，
平均分为分；
八年级的优秀率为，
平均分为分；
∴优秀率高的年级平均成绩低．
13．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．
【答案】解：x2﹣4x+5m=mx+5，
整理得，x2﹣（4+m）x+5（m﹣1）=0，
分解因式得，（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]=0，
解得x1=5，x2=m﹣1．
当x=5时，25+5+m﹣1=0，解得m=﹣24﹣5；
当x=m﹣1时，（m﹣1）2+（m﹣1）+m﹣1=0，解得m=1或m=﹣．
所以m的值为﹣24﹣5或1或﹣．
【解析】【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣4x+5m=mx+5，得到x1=5，x2=m﹣1．再分别将x=5，x=m﹣1代入x2+x+m﹣1=0，求出m的值即可．
14．电影（长津湖）是一部讲述抗美援朝题材的影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极严寒环境下坚守阵地奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事，2023年国庆节来临之际，某电影院开展“纪念英烈，铸中华魂”系列活动，对团体购买电影票实际优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只需花1200元.
（1）求每张电影票的原定零售票价？
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率.
【答案】（1）解：设每张电影票的原定零售价是x元，依题意得：，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意
（2）解：设平均每次降价的百分率为y，依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率为10%.
【解析】【分析】（1）设每张电影票的原定零售价是x元，根据“决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只需花1200元”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。
15．某校举行“知礼·明理”知识问答竞赛，班、班各派出5名选手组成代表队参加比赛.两班派出选手的比赛成绩如图所示.
根据上图中信息，整理分析数据得到如下表格，
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 85 85 85
B校 85 a b
（1） ； ；
（2）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定.
（3）请你从平均数、众数、中位数、众数等数据分析，推选一个班级去参加区级比赛.
【答案】（1）80；100
（2）解：由表可知，A班的平均分为85，B班的平均分为85，
A班的方差，
B班的方差，
，
A班派出的代表队选手成绩较为稳定.
（3）两个班级的平均分相同，从中位数和方差来看，A班成绩较好，可推选A班.（答案不唯一，合理即可）
【解析】【解答】（1）将B班5名选手的成绩按从小到大排列为：70、75、80、100、100，最中间的数是80，中位数a=80.故答案为：80.
100出现的次数最多，众数b=100.故答案为：100.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差计算公式计算出两个班级的方差，再根据方差越小，成绩越稳定判断即可；
（3）从中位数和方差来看，A班成绩较好，可推选A班.（答案不唯一，合理即可）
16．某汽车生产企业产量和效益逐年增加．据统计，2009年某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2011年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2009年开始五年内保持不变，求该品牌汽车年平均增长率和2012年的年产量．
【答案】解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为 ，由题意得， ，
解得 ，
∵ ，故舍去，
∴
答：该品牌汽车年平均增长率为25%，2012年的年产量为12.5万辆．
【解析】【分析】设该品牌汽车年产量的年平均增长率为 x，则2011年汽车的年产量为 6.4（x+1）2，根据“到2011年，该品牌汽车的年产量达到10万辆”可列方程求解.
17．已知y=，求3x+2y的算术平方根．
【答案】解：由题意得，，
∴x=3，此时y=8；
∴3x+2y=25，
25的算术平方根为=5．
故3x+2y的算术平方根为5．
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得出x的值，进而得出y的值，代入代数式后求算术平方根即可．
18．如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）．
【答案】解：正方形面积为16，正方形面积为7，
，，，
阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积．
【解析】【分析】先根据正方形的面积公式求出边长，再根据阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积和正方形、三角形的面积公式求解即可.
19．我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
【解析】【分析】（1）根据题意，典型的用一元二次方程求增长率问题。初始量（1+增长率）n=增长后的量，据此列方程；
（2）每件利润销售件数=总利润，根据这样的逻辑关系列方程可解；不合题意的根要舍去。
20．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求 的值.
【答案】解：把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40，
所以原式= .
【解析】【分析】将x=1代入方程中可得a+b=40，对待求式子变形可得：(a+b)，据此可得其值.
21．高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费800元
超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元
求该公司参加旅游的员工人数．
【答案】解：设该公司参加旅游的员工人数为人，
∵，
∴，且，
即30＜x≤55，
依题意得：
解得：，（舍去）；
∴；
即该公司参加旅游的员工人数为45人．
【解析】【分析】本题设该公司参加旅游的员工人数为人，结合条件“ 不超过30人，人均收费800元 ”，因此当x=30时，该公司应该支付给旅行社的费用是，而“ 支付给旅行社29250元 ”，因此判断得出参加旅游的员工人数超过30人，即；而“超过30人时，每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550”，此时有，综合得出30＜x≤55；最后列式，求出x的两个值之后，取在30和55之间的数值即可。
22．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP=3﹣t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ= BP，
即t= （3﹣t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP= BQ，
3﹣t= t，t=2（秒）．
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
【解析】【分析】根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
23．已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）当k=1时，用配方法解方程.
【答案】（1）解：一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且.
（2）解： 当k=1时， 原方程化为：
.
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根得判别式：时， 有两个不相等的实数根，计算求解即可；
（2）当k=1时， 原方程化为：，直接利用配方法解一元二次方程即可.
24．某绘画艺人第一天的收入为元，第三天的收入为元每天收入的增长率相同．
（1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？
（2）绘画艺人想制作一幅长分米，宽分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条阴影部分为彩条无费用，其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．
【答案】（1）解：设绘画艺人每天平均收入的增长率是．
，
，或不符合题意，舍去，
答：绘画艺人每天平均收入的增长率是；
（2）解：第四天的收入是(元)．
作画区域的面积是平方分米，
设彩条的宽度是分米．
．
，不符合题意，舍去．
答：彩条的宽度是分米．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，
（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可再对其求解，将不符合题意的解舍去即可；
（2）根据题意算出第四天的收入，以及作画区的面积，再设出彩条的宽度是y分米，根据长方形面积计算公式列出一元二次方程，再对其求解，将不符合题意的解舍去即可.
25．解方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
∴，；
（3）解：
或
∴，，
（4）解：
或，
∴，．
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可；
（2）利用直接开方法的计算方法及步骤分析求解即可；
（3）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（4）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
∴，；
（3）解：
或
∴，，
（4）解：
或，
∴，．
26．甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为9，9，x，7，若这组数据的众数和平均数恰好相等，求出其中的x值以及此组数据的标准差．
【答案】解：∵这组数据的众数和平均数恰好相等，
∴（9+9+x+7）÷4=9，
∴x=11，
∴这组数据的方差是[（9﹣9）2+（9﹣9）2+（11﹣9）2+（7﹣9）2]=2，
则这组数据的标准差是：．
【解析】【分析】根据这组数据的众数和平均数恰好相等，求出x的值，再根据方差的计算公式求出方差，再计算方差的算术平方根，即为标准差．
27．关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得m＝2
（2）解：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根代入即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
28．赵阿姨以每千克4元的价格购进某种蔬菜若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种蔬菜每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，赵阿姨决定降价销售。
（1）若将这种蔬菜每千克的售价降低0.8元，则每天的销售量为—千克，销售利润为 元：
（2）若将这种蔬菜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 千克（用含有x的代数式表示)：
（3）销售这种蔬菜要想每天盈利300元，赵阿姨应将这种蔬菜的售价定为每千克多少元
【答案】（1）312
（2）100+200x
（3）解：设赵阿姨应将这种蔬菜每千克的售价降低元，由题意列方程得：
整理方程得：
解得：
由于降价0.5元和降价1元获利相同，应降价1元更合理
答：赵阿姨应将这种蔬菜的定价定为每千克5元.
【解析】【解析】解：（1）；
（2）；
【分析】（1）每千克降价0.8元，则当天多销售千克蔬菜，则当天销售总额为：100+160，即260千克，每千克利润为：6-4-0.8，即1.2元，则用销售总额乘以每千克利润即可；
（2）设将这种蔬菜每千克的售价降低x元，则每天可多销售千克，即200x千克，则当天销售总量为千克；
（3）为便于计算，可间接设未知数，即设将这种蔬菜每千克的售价降低y元，则销售总额为100与的和，而每千克利润为元，则由题意列方程并解方程即可，虽然求出来的解有两个且都符合题意，但由于获利相同，因此降价多一些更符合群众消费需求，因此取较大的解更合理，最后再用标价减去降低的价钱可得到最终售价.
29．若等腰三角形两边长分别为 m，n，且 m，n 满足 2+3＝n-6，求此等腰三角形的周长和面积．
【答案】解：∵2+3＝n-6，
∴，
解得： ，
∴m＝2，
把m＝2代入2+3＝n-6得，n＝6，
当m为底时，三角形的三边长为2，6，6，
∵2＋6＞6，
∴能构成三角形，则周长为14，
如图，过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝6，
∴BD＝CD＝1，
∴，
∴面积为 ；
当n为底时，三角形的三边长为2，2，6，
∵2＋2＝4＜6，不能构成三角形，
综上所述，此等腰三角形的周长和面积分别为14和．
【解析】【分析】利用二次根式有意义的条件可得m、n的值，再利用三角形三边的关系及等腰三角形的性质求出三角形的三边长，再求出三角形的周长和面积即可。
30．每年淘宝网都会举办“双十一”购物狂欢节，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品的成本为36元，网上标价为110元．“双十一”活动当天，为了吸引买主，连续两次降价销售A商品，问平均每次降价率为多少时，才能使这件A商品的利润率为10%？
【答案】解：设平均每次降价率为x，由题意得： 110（1-x）2=36×（1+10%） ∴x1=0.4， x2=1.6（不合题意，舍去）答 ：平均每次降价率为40%时，才能使这件A商品的利润率为10%．
【解析】【分析】此题考查一元二次方程的应用，本题等量关系为：连续两次降价后，这件商品的利润率为10%.
31．《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题．
（1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元．
（2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期）
（3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分）
①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元
③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高
④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降
【答案】（1）
（2）月31日
（3）①②
【解析】【解答】（1）解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为，
位于正中间的两个数为，
∴中位数为；
故答案为：.
（2）解：，
，
，
，
∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日；
（3）解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确；
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确；
③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误；
④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误；
故答案为：①②
【分析】
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）结合条形统计图分别计算日增长率后比较即可解答；
（3）结合折线统计图和条形统计图即可解答．
（1）解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为，
位于正中间的两个数为，
∴中位数为；
故答案为：
（2）解：，
，
，
，
∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日；
（3）解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确；
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确；
③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误；
④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误；
故答案为：①②
32．用配方法解一元二次方程：小明同学的解题过程如下：
解： ，，，，．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
【答案】解：小明的解题过程不正确，
正确的解题过程如下：
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【解析】【分析】首先方程两边都除以2，将二次项系数化为1，然后将常数项移至右边，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“”，再对左边的式子利用完全平方公式分解，右边合并同类项，接下来利用直接开平方法进行计算即可.
33．已知甲校有a人，其中男生占60%；乙校有b人，其中男生占50%．今将甲、乙两校合并后，小清认为：「因为=55%，所以合并后的男生占总人数的55%．」如果是你，你会怎么列式求出合并后男生在总人数中占的百分比？你认为小清的答案在任何情况都对吗？请指出你认为小清的答案会对的情况．请依据你的列式检验你指出的情况下小清的答案会对的理由．
【答案】解：合并后男生在总人数中占的百分比是：×100%．当a=b时小清的答案才成立；当a=b时，×100%=55%．
【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式可得合并后男生在总人数中占的百分比，再与小清的结果进行比较即可．
34．解方程：
【答案】
移项，整理得：
令 ，原式变为
解得 ， （舍去）
∴ ，即
解得 ，
故答案为 ， ．
【解析】【分析】将原方程整理，移项，令 ，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解．
35．已知，，求的值．
【答案】解：∵，，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝．
【解析】【分析】先求出a-b，ab的值，再将原式化为 ，然后代入计算即可.
36．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=m2﹣4×m×（m﹣1）=0，且m≠0，
解得m=2；
（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，
即（x+1）2=0，
解得x1=x2=﹣1．
【解析】【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m的方程并解答；
（2）利用直接开平方法解方程．
37．某中学开展“迎接党的二十大”知识比赛，九年级（1）班、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格：
班级 中位数 平均数 众数
九（1）班 85 ？ 85
九（2）班 ？ 85 ？
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好？说明理由；
（3）如果规定成绩较稳定的班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．
【答案】（1）85、80、100
（2）解：九（1）的复赛成绩较好；
理由：因为两个班的平均数相同，九（1）班的中位数高，所以九（1）班的复赛成绩较好；
（3）解：九（1）班成绩稳定些，能胜出；
理由：，
，
因为，
所以九（1）班成绩稳定些，能胜出.
【解析】【解答】解：九（1）班的平均数为：（分），
将九（2）班成绩按从低到高排列为：70，75，80，100，100，
∴九（2）班成绩的中位数为80，众数为100；
故答案为：85、80、100；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）由于两个班的成绩的平均数一样，中位数是一种衡量集中趋势的量，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数越大，说明高分段的人数越多，据此判断可得答案；
（3）分别根据方差计算方法算出两个班成绩的方差，进而根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断得出答案.
38．某校为了解学生体质健康情况，随机抽取A，B两组学生（每组15人）的体质测试成绩（满分100分），制作成如下统计图表：
【数据收集与整理】
组别 平均数 众数 中位数 方差
A 81 90 a
B 81 b 80
【数据分析与应用】解答下列问题：
（1）由图表信息： ， ；
（2）由图表信息： （填“>”或“=”或“<”）；
（3）结合以上图表的统计量，请你对两组测试成绩进行评价，并说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）85，75
（2）
（3）组学生体侧成绩较为稳定，理由如下：
A组学生体侧成绩和组学生体侧成绩的平均数相同，但是组学生体侧成绩的方差小于组学生体侧成绩的方差，故组学生体侧成绩较为稳定．
【解析】【解答】解：（1）A组学生的成绩从小到大排列为：60，60，65，65，70，80，80，85，85，90，90，90，95，100，100，
位于中间的数据为85，
∴；
B组学生的成绩出现次数最多的是75，
∴；
故答案为：85，75；
（2）∵方差表示数据的波动情况，方差越小，波动越小，数据越稳定，
∴由折线图可知，A组成绩波动明显大于B组成绩波动，
∴；
故答案为：；
【分析】(1)本题考察中位数和众数的定义，中位数是将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时），将组学生成绩从小到大排列后，第8个数据为85，因此中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，观察组成绩，75出现的次数最多，因此众数。
(2)本题考察方差的意义，方差是衡量数据波动大小的量，方差越大，数据波动越大，从折线图中可直观看出组成绩的波动幅度明显大于组，因此。
(3)本题考察统计量的实际应用，评价两组成绩可结合平均数和方差，两组成绩的平均数均为81，说明整体水平相当，而组的方差小于组，根据方差的意义，组成绩的波动更小，因此组学生体测成绩更为稳定。
（1）解：A组学生的成绩从小到大排列为：60，60，65，65，70，80，80，85，85，90，90，90，95，100，100，
位于中间的数据为85，
∴；
B组学生的成绩出现次数最多的是75，
∴；
故答案为：85，75；
（2）∵方差表示数据的波动情况，方差越小，波动越小，数据越稳定，
∴由折线图可知，A组成绩波动明显大于B组成绩波动，
∴；
故答案为：；
（3）组学生体侧成绩较为稳定，理由如下：
A组学生体侧成绩和组学生体侧成绩的平均数相同，但是组学生体侧成绩的方差小于组学生体侧成绩的方差，故组学生体侧成绩较为稳定．
39．习题集上有一道题为：“先化简，再求值：，其中，小刚的解法如下：，当时，原式，小刚的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解法。
【答案】解：小刚的解法不正确，正确的解法如下：
=2a-|a-2|，
当a=时，a-2<0，
∴原式=2a+a-2=3a-2=3-2
【解析】【分析】首先利用完全平方公式将二次根号下的被开方数分解因式，然后利用“”将二次根式化简，再根据a的取值判断出a-2的正负，进而利用绝对值代数意义化简，最后合并同类化为最简形式，再代入a的值算出答案.
40．为了增强学生的安全意识，某校开展了主题为“科学防护·珍爱生命”的安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82.
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94.
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93
众数 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）.
【答案】（1）解：∵八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94，共有3个，
∴，
∴a%=1-10%-20%-30%=40%，
∴a=40，
∵八年级学生竞赛成绩的中位数为第5、6名成绩的平均数，且该成绩在C组中，
∴，
∵七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82，
∴c=99；
（2）解：从方差上看，由于八年级的方差比七年级的方差小，所以八年学生的安全知识竞赛成绩更稳定更好.
【解析】【分析】（1）先根据八年级学生在C组中的成绩数据，结合扇形统计图求出C组所占百分比，从而求出D组所占百分比，即可得a的值，根据中位数的定义可知八年级学生竞赛成绩的中位数为第5、6名成绩的平均数，结合A，B，C，D所占百分比可知该成绩在C组中，据此可求出b的值，根据众数的定义直接得c的值；
（2）根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，即可求解.
41．圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
【答案】（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，
∵圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．
∴圆圆同学的成绩较好．
【解析】【分析】
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的意义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”计算即可求解；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，然后根据"方差较小，成绩相对稳定"即可判断求解．
（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
42．已知 为正整数，关于 的方程 的两个实根为 ，关于 的方程 的两个实根为 ，且 ，求 的最小值.
【答案】解：方程的两个实根为：
，
方程 的两个实根为：
，
设 ，
当 时， ，
为正整数， ，
，不符合题意；
当 时， (不满足题意)；
当 时， (不满足题意)；
当 时，
为正整数， ，
，符合题意，
，
，
，
为正整数，
当 时， ，此时 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，解得 (不符合题意)；
当 时， ，此时 ，解得 (不符合题意)；
综上所述， 的最小值为 165 .
【解析】【分析】先求出两个方程的根，设，然后根据方程根的情况分四种情况，得到at=26，然后根据整数解求出b的值解答即可．
43．已知 满足 ，求 的值.
【答案】解：将变形为，
当时，；
当时，可将看作方程的两根，
则
∴；
故答案为：2或-47.
【解析】【分析】将关于字母b的方程变形即可知a，b可以看作方程x2-15x-5=0的两根，分和两种情况进行讨论，根据根与系数关系可求出a+b及ab的值，再将待求式子通分计算，进而利用完全平方公式将分子变形后整体代入计算可得答案.
44．某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数/万人 a ③ ④
（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【答案】（1）1.6a；1.44a
（2）该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：a（7+x）2＝1.44a，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2（不符合题意，舍去）．
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y-40）元，
根据题意得：（y-40）（140-2y）＝（60-40）×20，
整理得：y2-110y+3000＝0，
解得：y1＝50，y2＝60（不符合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．
【解析】【解答】解：（1）5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．设该景区4月份的游客人数为a万人，
5月份的游客人数为：
6月份的游客人数为：
故答案分别为：1.6a，1.44a.
【分析】（1）根据4月份、5月份及6月份的游客人数间的关系，即可用含a的式子表示；
（2）设该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，利用6月份的游客人数=4月份的游客人数（1+5月份、6月份游客人数的月平均增长率）2，列出一元二次方程并求解，取符合题意的x值即可；
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y-40）元，每天可卖出（140-2y）件，利用总利润=每件商品的利润日销量这一等量关系，列出关于y的一元二次方程并求解，取符合题意的y值即可.
45．某数学兴趣小组对函数图象抱有浓厚兴趣，继而深入探究图形变换对反比例函数 图象所产生的影响，他们尝试采用以下方式开展研究。
方式一：先作函数图象关于直线y=x的对称图形，再向右平移1个单位长度；
方式二：先向将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线y=x的对称图形。
【问题提出】
小林认为：
按照方式一的变换， 的图象关于y=x的对称图形是其本身，再向右平移1个单位长度，较容易画出 的图象；
按照方式二的变换，向右平移1个单位长度后的图象不是关于y=x的轴对称图形，进一步作图变得困难。那么，经历方式二变换后，函数的关系式和图象是怎样的呢
【问题探究】
（1）小林建议从特殊情况入手，发现规律。
①如图1所示，兴趣小组已画出线段AB(A、B在格点上)关于y=x的对称线段A'B'，请你在图1的网格中，分别画出线段AB 按照方式一变换得到的线段A1B1和按照方式二变换得到的线段，
②观察线段A`B'和A2B2的位置关系，小林大胆猜测：“先向将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线y=x的对称图形。”等同于“先作关于直线y=x的对称图形”，再向 平移 个单位；随后，小组成员通过多次实践和严密推理，验证了猜想的正确性。
（2）【问题解决】
请根据猜想，按照方式二的要求对 进行变化，所得到的新函数的关系式为. （不需要写自变量的取值范围) 。
（3）【问题延伸】
按照方式一变换得到的图象记为 如图2所示，按照方式二变换得到的图象为C2。已知点E(x，y)是第一象限内一点，将点E按照方式一、方式二进行变换，分别得到E1和E2，当直线 与图象( 有且只有两个交点时，请求出y关于x的函数表达式(不需要写自变量的取值范围)。
【答案】（1）上；1
（2）
（3）解：由题意得，
设E1、E2所在直线表达式为 y= kx+b，将代入，得到
解得k=-1；
∴E1、E2所在直线表达式为： y=-x+b；
∵ C1与C2关于y=x对称， y=-x+b关于y=x对称，且E1、E2所在直线与C1、C2共有2个交点，
∴当且仅当y=-x+b与C1、C2各有一个交点，且两交点关于y=x对称时成立；
∴，
整理得：
所在直线与C2仅有1个交点，
∴，
解得：
∵图象经过第一象限；
所在直线表达式为：
代入 得：
整理得：
∴y与x之间的函数表达式：。
【解析】【解答】解：（1）①如图所示，线段A1B1、 即为平移后的线段；
②先向将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线y=x的对称图形。”等同于“先作关于直线y=x的对称图形”，再向上平移1个单位.
（2）根据方式二的变换， 向上平移1个单位，则y2=；
故答案为：（1）②上，1；（2）；
【分析】（1）①按照方式一，线段AB关于y=x对称的线段A'B'向右平移1个单位长度得到A1B1；按照方法二，先将AB向右平移一个单位，然后再找到关于y=x对称的线段A2B2即可；
②观察图中A'B'和A2B2的位置关系即可得出答案；
（2）根据方式二的变换， 将 向上平移1个单位，依据“左加右减、上加下减”即可得出答案；
（3）结合条件得出然后利用待定系数法求出求出E1、E2所在直线表达式为 y=-x+b；然后分析得出“当且仅当y=-x+b与C1、C2各有一个交点，且两交点关于y=x对称时成立”，此时联立方程组并变形得到一元二次方程，结合一元二次方程有一个解以及第一象限的特点，列式解出，从而求出所在直线表达式为 最后将代入即可求出与x之间的函数表达式。
46．据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2＝7200，
解得x1＝0.2，x2＝-2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）解：设售价应降低m元，
则每天的销量为（500+m）个．
根据题意可得（10-m-5）（500+m）＝2800，
解得m1＝，m2＝1（舍去）．
答：售价应降低元．
【解析】【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，列出关于x的一元二次方程即可；
（2）设售价应降低m元，根据利润公式列出关于m的一元二次方程求解，并结合实际情况判断.
47．“品中华诗词，寻文化基因”，某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校七年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数表与如图所示的频数直方图.
参加竞赛的学生成绩频数表
组别 成绩x（分） 人数 百分比
A 60≤x<70 8 20%
B 70≤x<80 16 m%
C 80≤x<90 a 30%
D 90≤x≤100 4 10%
参加竞赛的学生成绩频数直方图
解决下列问题：
（1）表中a= ，m= .
（2）补全频数直方图.
（3）方方参加了这次竞赛，成绩下来后，他对圆圆说：“我这次竞赛的成绩位于中游，比我答得好的人比比我答得差的人少3个.”请你算一算，方方是第几名？
【答案】（1）12；40
（2）解：80≤x<90频数为12，故高度为12，补全频数直方图如下：
（3）解：设比方方答得好的人为x人，则比方方答得差的人数为（x-3）人，
x+(x+3)+1=40，解得x=18；
故方方是第19名；
【解析】【解答】解：(1)、由频数表可得A组的人数为8，百分比为20%，则总人数为（人）；
a=40-8-16-4=12（人）；
m=100-20-30-10=40；
【分析】(1)、先根据A组的人数和百分比求出总人数，然后根据总人数减ABD组的人数，可得C组人数；根据四组百分比的和为100%可得m.
(2)、频数的高度为组别C的人数.
(3)、比方方答得好的加上比方方答得差的加上方方自己等于总人数可得.
48．在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帽将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
【答案】解：设每个遮阳帽应降价x元，由题意可得：
化简可得：
解得： =10， =20，
答：应降价10元或20元，
【解析】【分析】根据题意，设每个遮阳帽应降价x元，则每个遮阳帽的利润为（40-x）元，每天销售的数量为（20+2x）个，根据总利润=每件商品的利润×销售数量列出方程，求解并检验即可.
49．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为AD的中点.动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB—BC运动；同时动点Q从点C出发。以每秒1个单位长度的速度沿CB运动，链接EP、EQ、PQ，当点P、Q相遇时停止运动.设△EPQ的面积为S，点P的运动时间为t（s）.
（1）用含t的代数式表示线段BP的长；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当△EPQ的面积是时，直接写出t的值.
【答案】（1）解：2-t
（2）解：∵四边形ABCD为矩形
∴ AD=BC=4，
∵ E为AD中点
∴ AE=2
根据题意得BQ=BC-CQ=4-t，
当P在AB上时，(0＜t＜2)
∴
(0＜t＜2)
当P在BC上时，PQ=6-2t，则(2＜t＜3)
综上所述，
（3）解：t=或
【解析】【解答】（1）根据题意， 点P的运动时间为t（s），则BP=AB-AP=2-t
（3）当时，即
整理得 ：
解得：t=或t=，均合题意；
当即，则t=，不合题意；
综上，当 △EPQ的面积是时， t的值是或.
【分析】本题考查一元二次方程的应用-几何图形的面积问题和动点问题。
（1）根据题意，设点P的运动时间为t，表示BP即可；
（2）分别表示AP、CQ、BQ，则 表示△EPQ的面积S 时，需要讨论P在AB和P在BC上两种情况，对应不同的自变量范围；
（3）根据两种情况的表达式，分别计算t，符合自变量范围的即为所求。
50．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O为原点，以 OA，OC 所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点 满足
（1）则 点的坐标为 ； 点的坐标为 .
（2）直角三角形 的面积为 .
（3）已知坐标轴上有两动点 同时出发， 点从 点出发沿 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动， 点从 点出发以2个单位长度每秒的速度沿 轴正方向移动，点 到达 点整个运动随之结束． 的中点 的坐标是 ，设运动时间为t（t＞0）秒，问：是否存在这样的t使 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（4，0）；（0，8）
（2）16
（3）解：存在．由条件可知P点从C点运动到O点的时间为4秒，Q点从O点运动到A 点的时间为4秒，
∴当0＜t≤4时，点Q在线段AO上，点P在线段OC上，
由题意可得：CP=t，OP=4-t，OQ=2t，AQ=8-2t，D（2，4）， ．
∵S△ODP=S△ODQ，∴8﹣2t=2t，∴解得：t=2．
【解析】【解答】（1）∵ +|c﹣4|=0，∴c﹣4=0，a﹣2c=0，解得：c=4，a=8，∴C（4，0），A（0，8）．
故答案为（4，0），（0，8）；（2）直角三角形 的面积= AO×OC= ×8×4=16；
【分析】（1）直接利用绝对值的性质结合二次根式的定义分析得出a，c的值，进而得出答案；（2）根据三角形面积公式计算即可；（3）首先得出CP=t，OP=4-t，OQ=2t，AQ=8-2t，再表示出△DOP和△DOQ的面积，进而得出等式求出答案．
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