2025-2026学年福建省厦门市海沧实验中学高二（下）质检数学试卷（3月份）（含答案）

2025-2026学年福建省厦门市海沧实验中学高二（下）质检数学试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P a
则P（2≤X≤3）=（　　）
A. B. C. D.
2.用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（　　）种不同的着色方法.
A. 60 B. 64 C. 80 D. 125
3.函数f（x）=ex-ex的单调递减区间为（　　）
A. （1，+∞） B. （0，+∞） C. （-∞，0） D. （-∞，1）
4.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
5.若函数f（x）=x3+x2+ax-1在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围（　　）
A. B. C. D.
6.的展开式中x5y2的系数为（　　）
A. -91 B. -21 C. 14 D. 49
7.6位学生在游乐场游玩A，B，C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（　　）
A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种
8.若函数f（x）=xex-ax恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f′（x）的图象如图，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（　　）
A. 在（-∞，1）上单调递减
B. 在x=1处取得极小值
C. f′（-1）=0
D. f（x）在x=2处取得极小值
10.已知的二项式系数和为64，则（　　）
A. n=6 B. 常数项是第3项
C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1
11.设a＞1，b＞0，且lna=2-b,则下列关系式可能成立的是（　　）
A. a=b B. b-a=e C. a=2024b D. ab＞e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=0.6，设ξ=5X-3，那么E（ξ）= .
13.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= ______.
14.A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到A的概率为 ；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S5=25．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.
（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；
（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.
17.(本小题15分)
如图，已知△ABC是等边三角形，AB=BD=2CE=2，CE∥BD，BD⊥平面ABC，点F为AD的中点.
（1）证明：EF⊥平面ABD；
（2）求直线AC与平面ADE夹角的正弦值.

18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-ax-a3，a∈R.
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有极大值，且极大值大于-2，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知A（2，0）和为椭圆C：上两点.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点（-1，0）的直线l与椭圆C交于D，E两点（D，E不在x轴上）.
（i）若△ADE的面积为，求直线l的方程；
（ii）直线AD和AE分别与y轴交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】0
13.【答案】4
14.【答案】

15.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}公差为d，首项为a1，
则有，解得，
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
即数列{an}的通项公式an=2n-1；
（Ⅱ）bn=an+2n-1=（2n-1）+2n-1，
所以Tn=+=n2+2n-1．
16.【答案】解：（1）记取到甲盒子为事件A1，取到乙盒子为事件为A2，取到丙盒子为事件A3，取到黑球为事件B，
由全概率公式得摸出黑球的概率为：
P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
=+=．
（2）摸出的球是黑球，则由条件概率得此球属于乙箱子的概率为：
P（A2|B）===．
17.【答案】解：（1）证明：取AB的中点O，连接OF，OC，
∵BD⊥平面ABC，BD 平面ABD，
∴平面ABC⊥平面ABD，
∵△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，
又平面ABC∩平面ABD=AB，CO 平面ABC，
∴CO⊥平面ABD．
∵CE∥BD，点F为AD中点，
∴OF∥BD，且，
又，∴OF∥CE，OF=CE，
∴四边形OFEC是平行四边形，∴CO∥EF，
∴EF⊥平面ABD．
（2）由（1）可知CO⊥平面ABD，而OF 平面ABD，AB 平面ABD，故CO⊥OF，CO⊥AB，
OF⊥平面ABC，AB 平面ABC，故OF⊥AB，
∴OF，AB，OC两两垂直，
故以O为坐标原点，OA、OC、OF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（1，0，0），B（-1，0，0），，，D（-1，0，2）．
∴，，．
设平面ADE的法向量，
则，则即
令z=1，则x=1，y=0，∴．
设直线AC与平面ADE的夹角为θ，
则，
∴直线AC与平面ADE夹角的正弦值为．
18.【答案】解：（1）∵f（x）=lnx-ax-a3（x＞0），
∴，
当a=-1时，f（1）=2，
∴f′（1）=2．
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-2=2（x-1），即y=2x.
（2）由（1）知，，
①当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无递减区间，
②当a＞0时，，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，
综上：当a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无递减区间，
当a＞0，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（3）因为f（x）有极大值，且极大值大于-2，
故a＞0，且f（x）在处取极大值，
∴，即lna-1+a3＜0，
令g（x）=lnx-1+x3（x＞0），
∴恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（1）=0，
∴g（x）＜0当且仅当0＜x＜1时成立，
故，当且仅当0＜a＜1时成立，
因此a的取值范围是（0，1）．
19.【答案】解：（1）由题可得：，解得：，
所以椭圆C的离心率为；
（2）（i）由（1）可知椭圆C的方程为，
由图可知，直线l的斜率不等于0，
设过点（-1，0）的直线l为x=my-1，D（x1，y1），E（x2，y2），
联立，化简得：（m2+4）y2-2my-3=0，则Δ=4m2+12（m2+4）＞0恒成立，
所以，，
所以
=，
解得：m2=2，即，
所以直线的方程l为：；
（ii）证明：由（i）可知，，
，
直线AD的方程为，令x=0，得，
直线AE的方程为，令x=0，得，
记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，
由圆的弦长公式可知，
=
=
=
=
=，
解得：，为定值．
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