2025-2026学年黑龙江省哈尔滨九中高二（下）月考数学数学试卷（3月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年黑龙江省哈尔滨九中高二（下）月考数学数学试卷（3月份）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 83.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-11 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年黑龙江省哈尔滨九中高二（下）月考数学数学试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.将一枚骰子抛掷2次，记事件A=“第一次抛出的点数是4点”，B=“两次抛掷的点数之和大于7”，则P（B|A）=（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量X满足E（X）=4，则E（2X+1）=（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 16
3.一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是（ ）
A. 没有白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个红球 D. 至多有一个白球
4.在校运动会中，A班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为0.8，0.2，且甲跑第一棒、第二棒时，A班赢得短跑接力赛的概率分别为0.6，0.4，则A班赢得短跑接力赛的概率为（ ）
A. 0.55 B. 0.56 C. 0.57 D. 0.58
5.随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（ ）
A. B. C. D.
6.为贯彻落实《健康中国行动（2019-2030年）》文件精神，某校组织学生参加大课间体育活动，共安排了5个项目，分别为跑步、体操、乒乓球、街舞、踢毽子，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“乒乓球”，则他还参加“踢毽子”项目的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列{an}：如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7=3的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，则E（ξ）=（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲参加游戏获得的积分X的分布列为
X 4 5 6 7 8
P 0.1 0.3 0.3 m n
且E（X）=6，则（ ）
A. m+n=0.3 B. P（X＞5）=0.6 C. D. D（X）=1.6
10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. A1、A2为对立事件 B.
C. D. P（B|A1）+P（B|A2）=1
11.在如图所示的电路中，L1和L2是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A. 闭合的开关个数的数学期望为
B. L1被点亮的概率为
C. 恰有一个灯泡被点亮的概率为
D. 若已知至少有一个灯泡被点亮，则L2被点亮的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若离散型随机变量X服从0-1分布，且P（X=0）=3P（X=1），则E（X）= .
13.设随机变量X～B（2，p），Y～B（4，p），若，则P（Y≥1）= .
14.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q.若点Q每次都会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同.从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次.若质点Q的初始位置位于点A处，点Q移动n次后仍在侧面ADD1A1的概率为Pn，则P2= ；满足的最小n值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球；乙箱中有4个红球、1个白球.
（1）从甲箱中随机抽出2个球，求抽到的2个球中有红球的概率；
（2）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到的2个球中有红球红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
16.(本小题15分)
有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示总检测费用（单位：元），求X的分布列.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，△PAB，△PAC是分别以PB，PC为斜边的等腰直角三角形，E是棱PD上的动点.
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若PA与平面ACE所成角的大小为60°，求的值.
18.(本小题17分)
2026年被业界公认为“具身智能元年”.得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立.
（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
（2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
（3）设这3人中通过第二轮的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.
19.(本小题17分)
某学校举行了一场知识竞赛，有A、B两类题型，每道A类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为p0、p1，两道小题全对可得50分，否则得0分.
B类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为q0（p0≤q0），且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：
方案一：选择答一道A类题两道B类题；
方案二：选择答两道A类题.
（1）若p0+p1=1，对于方案二，试探究p0取何值时，满分的概率最高；
（2）若，求选择方案一学生得分的分布列；
（3）若p1=1-2p0q0，2p0+q0=1，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道A类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】AC
12.【答案】0.25
13.【答案】
14.【答案】
6
15.【答案】
16.【答案】 见解答
17.【答案】证明：因为△PAB，△PAC是分别以PB，PC为斜边的等腰直角三角形，
所以PA⊥AB，PA⊥AC，且AB 平面ABCD，AC 平面ABCD，AB∩AC=A，
所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因为PA，AC 平面PAC，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
所以BD⊥PC 2
18.【答案】 ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3
P
E（ξ）=
19.【答案】；
分布列见解析；
选择方案二．
第1页，共1页
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.将一枚骰子抛掷2次，记事件A=“第一次抛出的点数是4点”，B=“两次抛掷的点数之和大于7”，则P（B|A）=（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量X满足E（X）=4，则E（2X+1）=（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 16
3.一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是（ ）
A. 没有白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个红球 D. 至多有一个白球
4.在校运动会中，A班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为0.8，0.2，且甲跑第一棒、第二棒时，A班赢得短跑接力赛的概率分别为0.6，0.4，则A班赢得短跑接力赛的概率为（ ）
A. 0.55 B. 0.56 C. 0.57 D. 0.58
5.随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（ ）
A. B. C. D.
6.为贯彻落实《健康中国行动（2019-2030年）》文件精神，某校组织学生参加大课间体育活动，共安排了5个项目，分别为跑步、体操、乒乓球、街舞、踢毽子，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“乒乓球”，则他还参加“踢毽子”项目的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列{an}：如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7=3的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，则E（ξ）=（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲参加游戏获得的积分X的分布列为
X 4 5 6 7 8
P 0.1 0.3 0.3 m n
且E（X）=6，则（ ）
A. m+n=0.3 B. P（X＞5）=0.6 C. D. D（X）=1.6
10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. A1、A2为对立事件 B.
C. D. P（B|A1）+P（B|A2）=1
11.在如图所示的电路中，L1和L2是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A. 闭合的开关个数的数学期望为
B. L1被点亮的概率为
C. 恰有一个灯泡被点亮的概率为
D. 若已知至少有一个灯泡被点亮，则L2被点亮的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若离散型随机变量X服从0-1分布，且P（X=0）=3P（X=1），则E（X）= .
13.设随机变量X～B（2，p），Y～B（4，p），若，则P（Y≥1）= .
14.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q.若点Q每次都会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同.从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次.若质点Q的初始位置位于点A处，点Q移动n次后仍在侧面ADD1A1的概率为Pn，则P2= ；满足的最小n值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球；乙箱中有4个红球、1个白球.
（1）从甲箱中随机抽出2个球，求抽到的2个球中有红球的概率；
（2）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到的2个球中有红球红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
16.(本小题15分)
有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示总检测费用（单位：元），求X的分布列.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，△PAB，△PAC是分别以PB，PC为斜边的等腰直角三角形，E是棱PD上的动点.
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若PA与平面ACE所成角的大小为60°，求的值.
18.(本小题17分)
2026年被业界公认为“具身智能元年”.得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立.
（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
（2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
（3）设这3人中通过第二轮的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.
19.(本小题17分)
某学校举行了一场知识竞赛，有A、B两类题型，每道A类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为p0、p1，两道小题全对可得50分，否则得0分.
B类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为q0（p0≤q0），且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：
方案一：选择答一道A类题两道B类题；
方案二：选择答两道A类题.
（1）若p0+p1=1，对于方案二，试探究p0取何值时，满分的概率最高；
（2）若，求选择方案一学生得分的分布列；
（3）若p1=1-2p0q0，2p0+q0=1，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道A类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】AC
12.【答案】0.25
13.【答案】
14.【答案】
6
15.【答案】
16.【答案】 见解答
17.【答案】证明：因为△PAB，△PAC是分别以PB，PC为斜边的等腰直角三角形，
所以PA⊥AB，PA⊥AC，且AB 平面ABCD，AC 平面ABCD，AB∩AC=A，
所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因为PA，AC 平面PAC，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
所以BD⊥PC 2
18.【答案】 ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3
P
E（ξ）=
19.【答案】；
分布列见解析；
选择方案二．
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