2025-2026学年重庆八中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年重庆八中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 111.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-11 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年重庆八中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2.若函数f（x）=kx-lnx在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ）
A. B. [2，+∞） C. D. [4，+∞）
3.已知数列{an}满足，则a2026=（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
4.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则（ ）
A. a=b=c
B. a＜b＜c
C. b＜c＜a
D. c＜b＜a
6.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生35人，女生25人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，，该班成绩的方差为s2，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），f（-1）=-1，其导函数f′（x）满足xf′（x）-2f（x）＞0，则不等式f（x+1）+（x+1）2＜0的解集为（ ）
A. （-2，0） B. （-2，-1） C. （-∞，-2） D. （-∞，-1）
8.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是y=f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=（ ）
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.随机事件A，B满足P（A）＞P（B）＞P（AB）＞0，则（ ）
A. B A B. A、B不是互斥事件 C. D.
10.记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（n∈N*），则（ ）
A. a3=6
B. 数列是公差为1的等差数列
C. 数列的前n项和为
D. 数列{（-1）nan}的前2023项和为-2024
11.已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx,其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数y=f（x）-eg（x）的极值点为1
B. x∈（0，+∞），f（x）-g（x）≤2
C. 若P，Q分别是曲线y=f（x）和y=g（x）上的动点．则|PQ|的最小值为
D. 若f（ax）-g（x）≥（1-a）x对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则a的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）＝xlnx的极小值为________．
13.高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.如果张华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为 cm.（结果保留一位小数）
14.对 x＞0，都有axex+1-lnx-x≥0，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
（1）证明：A1C1∥平面ACD1；
（2）求平面ABCD与平面ACD1所成角的正弦值；
（3）求点B1到平面ACD1的距离.
16.(本小题15分)
近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中m的值
（2）估计这50场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
（3）现从比赛得分在[55，75]的比赛中按分层抽样抽取5场比赛，再从这5场比赛中随机抽取2场，求这两场都不低于65分的概率.
17.(本小题15分)
已知函数，a∈R.
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[1，e]的最小值为1，求a的值.
18.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点Q（2，0）的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，当l与x轴垂直时，.
（1）求抛物线C的解析式；
（2）若，过x轴上一点P作直线OA，OB，AB的垂线，垂足分别为E，F，G，且满足E，F，G三点共线.
（i）求直线l的方程；
（ii）求P点的坐标.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x-a）lnx-x.
（1）当a=0时，
①求f（x）的最小值；
②设n∈N*，求证：；
（2）设x1，x2，（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】-
13.【答案】165.4
14.【答案】[，+∞）
15.【答案】证明：由正方体的性质可知AC∥A1C1，
因为AC 平面ACD1，A1C1 平面ACD1，
所以A1C1∥平面ACD1；
；
16.【答案】0.02 74
17.【答案】x+y-1=0；
当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
a=2
18.【答案】y2=4x；
（i）x=y+2或l：x=-y+2；
（ii）（10，0）
19.【答案】解：（1）①当a=0时，f（x）=xlnx-x（x＞0），求导得f′（x）=lnx+1-1=lnx,
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
因此，f（x）的最小值为f（1）=1×ln1-1=-1；
②证明：由①知，xlnx-x≥-1（当且仅当x=1时取等号），则x-xlnx≤1，
令x=（n∈N*），则-ln≤1，+lnn≤1，2lnn≤n2-1，
≤，
所以≤++…+
===．
（2）证明：对f（x）=（x-a）lnx-x求导得，
因为x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，
所以的两根为x1，x2，即a=xlnx的两根为x1，x2，
令g（x）=xlnx,g'（x）=1+lnx=0，得，
且，g'（x）＜0，x∈，g'（x）＞0，
则g（x）在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，
则，所以h（x）在上单调递增，
所以，所以，
又，g（x）在上单调递增，
所以，即．
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一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2.若函数f（x）=kx-lnx在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ）
A. B. [2，+∞） C. D. [4，+∞）
3.已知数列{an}满足，则a2026=（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
4.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则（ ）
A. a=b=c
B. a＜b＜c
C. b＜c＜a
D. c＜b＜a
6.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生35人，女生25人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，，该班成绩的方差为s2，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），f（-1）=-1，其导函数f′（x）满足xf′（x）-2f（x）＞0，则不等式f（x+1）+（x+1）2＜0的解集为（ ）
A. （-2，0） B. （-2，-1） C. （-∞，-2） D. （-∞，-1）
8.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是y=f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=（ ）
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.随机事件A，B满足P（A）＞P（B）＞P（AB）＞0，则（ ）
A. B A B. A、B不是互斥事件 C. D.
10.记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（n∈N*），则（ ）
A. a3=6
B. 数列是公差为1的等差数列
C. 数列的前n项和为
D. 数列{（-1）nan}的前2023项和为-2024
11.已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx,其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数y=f（x）-eg（x）的极值点为1
B. x∈（0，+∞），f（x）-g（x）≤2
C. 若P，Q分别是曲线y=f（x）和y=g（x）上的动点．则|PQ|的最小值为
D. 若f（ax）-g（x）≥（1-a）x对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则a的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）＝xlnx的极小值为________．
13.高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.如果张华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为 cm.（结果保留一位小数）
14.对 x＞0，都有axex+1-lnx-x≥0，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
（1）证明：A1C1∥平面ACD1；
（2）求平面ABCD与平面ACD1所成角的正弦值；
（3）求点B1到平面ACD1的距离.
16.(本小题15分)
近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中m的值
（2）估计这50场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
（3）现从比赛得分在[55，75]的比赛中按分层抽样抽取5场比赛，再从这5场比赛中随机抽取2场，求这两场都不低于65分的概率.
17.(本小题15分)
已知函数，a∈R.
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[1，e]的最小值为1，求a的值.
18.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点Q（2，0）的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，当l与x轴垂直时，.
（1）求抛物线C的解析式；
（2）若，过x轴上一点P作直线OA，OB，AB的垂线，垂足分别为E，F，G，且满足E，F，G三点共线.
（i）求直线l的方程；
（ii）求P点的坐标.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x-a）lnx-x.
（1）当a=0时，
①求f（x）的最小值；
②设n∈N*，求证：；
（2）设x1，x2，（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】-
13.【答案】165.4
14.【答案】[，+∞）
15.【答案】证明：由正方体的性质可知AC∥A1C1，
因为AC 平面ACD1，A1C1 平面ACD1，
所以A1C1∥平面ACD1；
；
16.【答案】0.02 74
17.【答案】x+y-1=0；
当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
a=2
18.【答案】y2=4x；
（i）x=y+2或l：x=-y+2；
（ii）（10，0）
19.【答案】解：（1）①当a=0时，f（x）=xlnx-x（x＞0），求导得f′（x）=lnx+1-1=lnx,
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
因此，f（x）的最小值为f（1）=1×ln1-1=-1；
②证明：由①知，xlnx-x≥-1（当且仅当x=1时取等号），则x-xlnx≤1，
令x=（n∈N*），则-ln≤1，+lnn≤1，2lnn≤n2-1，
≤，
所以≤++…+
===．
（2）证明：对f（x）=（x-a）lnx-x求导得，
因为x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，
所以的两根为x1，x2，即a=xlnx的两根为x1，x2，
令g（x）=xlnx,g'（x）=1+lnx=0，得，
且，g'（x）＜0，x∈，g'（x）＞0，
则g（x）在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，
则，所以h（x）在上单调递增，
所以，所以，
又，g（x）在上单调递增，
所以，即．
第1页，共1页
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