云南新纪元云贵发展中心2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（含答案）

云南新纪元云贵发展中心2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设函数在处存在导数为2，则
A. 2 B. 1 C. D. 6
2.曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
3.一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：）关于时间t（单位：s）的函数关系为（），则在时刻，赛车的加速度为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知x=1函数f（x）=x3-3ax+3的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为 （ ）
A. R B. 2R C. D.
7.若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若函数f(x)在x=x0处存在导数,则的值( )
A. 与x0有关 B. 与h有关 C. 与x0无关 D. 与h无关
10.下列函数求导正确的是（　　）
A. 已知f（x）=xlnx+x,则f′（x）=2+lnx
B. 已知f（x）=e2x，则f′（x）=2e2x
C. 已知，则f′（x）=lnx
D. 已知f（x）=x3+sinx,则f′（x）=3x2+cosx
11.函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a,b,c,d∈R）的图象如图所示，则下列结论正确的有（　　）
A. a＞0
B. b＜0
C. c＞0
D. a+b+c＜0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有一球形气球,在吹气球时,气球的体积V与直径d的关系式为V=,当d=2时,气球体积的瞬时变化率为 .
13.直线y=kx+b与函数y=ex-2和y=ex-1的图象都相切，则k+b= .
14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x＞0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝4ln(2x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝3平行，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f(x2-1)＜f(5x-7)的解集．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ADD1A1的周长为12，CD＝2AD＝2x(x＞0)，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V(x)．
（1）求V(x)的表达式；
（2）若自变量x从1变到2，求V(x)的平均变化率；
（3）若V(m)＝2m2，求V(x)在x＝m处的瞬时变化率．
17.(本小题15分)
设函数f（x）=axlnx,其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l.椭圆与直线l交于A，B两点，且.
（1）求a的值以及直线l的方程.
（2）当a∈（0，1]时，求函数f（x）的极值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=x+sinx．
（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在上恒成立．
19.(本小题17分)
已知函数．
当时，求的极值；
若，证明：有个零点；
若，，求的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：(1)易得(x)=-a=-a，则(1)=1-，
因为函数f(x)=x-a在点(1,f(1))处的切线与直线y=3平行,
所以(1)=1-=0，则a=2；
(2)因为函数f(x)=x-a的定义域为(0,+),
由，可得x(,+)，
因为(x)=-=0，
所以f(x)在(0,+)上单调递增,
又f(-1)< f(5x-7),
所以0<-1<5x-7，解得2< x<3，
因此原不等式的解集为(2,3).
16.【答案】解:(1)因为四边形的周长为12,
所以2AD+=2x+=12,
所以=6-x,
因为=6-x>0,x>0,所以0< x<6,
所以V(x)=2xx(6-x)=-(0< x<6)，
(2)若自变量x从1变到2,
则V(x)的平均变化率为==22；
(3)由-=(0< m<6)，得m=5，
V'(x)=24x-,
则V'(5)=245-625=-30,
所以V(x)在x=m处的瞬时变化率为-30.
17.【答案】解：（1）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
可得f′（x）=alnx+a,
此时f′（1）=a,
又f（1）=0，
所以y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程y=a（x-1），
联立，消去y并整理得（2+a2）x2-2a2x+a2-4=0，
因为，
所以，
整理得a2=1或a2=4，
解得a=±1或a=±2，
所以直线l的方程为x±y-1=0或2x±y-2=0，
（2）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又a∈（0，1]，
所以a=1，
可得f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，
解得，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当时，函数取得极小值，没有极大值．
18.【答案】（1）证明：∵f（x）=x+sinx
∴f'（x）=1+cosx≥0
∴函数f（x）在R上单调递增
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，即kPQ＞0
∴直线PQ的斜率大于0；
（2）解：依题意得，设，
1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立；
2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，
①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在上单调递减，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；
②a＞2时，注意到当时，x≥sinx，
于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
必存在，使得当x∈（0，x0）时，有Q（x0）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2．
19.【答案】（1）解：当a=1时，f（x）=lnx-x,定义域为，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以当x=1时，f（x）取极大值，且极大值为f（1）=-1，没有极小值．
（2）证明：方法一：f（x）的定义域为，
因为，所以当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
当时，f（x）取到极大值，也是最大值．
因为，所以，
因为，所以f（x）在区间上有且只有1个零点，
所以f（x）在区间上有且只有1个零点．
因为，
令m（x）=2lnx-x（x＞e），所以在（e,+∞）上恒成立，
所以m（x）在（e,+∞）上单调递减，即m（x）＜m（e）=2-e＜0，所以．
所以f（x）在区间上有且只有1个零点，
所以f（x）在区间上有且只有1个零点．
综上所述，当时，f（x）有2个零点．
方法二：f（x）的定义域为（0，+∞），由f（x）=0，得．
令，则，
当x∈（0，e）时，n′（x）＞0，n（x）单调递增，当x∈（e,+∞）时，n′（x）＜0，n（x）单调递减．
所以当x=e时，n（x）取到极大值，也是最大值．
又n（1）=0，当x→+∞时，n（x）＞0，且n（x）→0，
所以当时，直线y=a与的图象有2个交点，
即当时，f（x）有2个零点．
（3）解:由，
设h（x）=2x2+ax-1，则Δ=a2+8＞0，所以h（x）=0有2个不同的根x1，x2（x1＜x2），
因为，所以x1＜0＜x2．
当x∈（0，x2）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x=x2时，g（x）取到极小值g（x2），也是最小值．
因为g（x）≥0恒成立，所以g（x2）≥0，即．
又，所以，
令φ（x）=-x2-lnx+1，x＞0，则恒成立，
所以φ（x）在（0，+∞）上单调减，又φ（1）=0，所以由φ（x）≥0，得0＜x≤1，
所以由，得0＜x2≤1．
因为在x2∈（0，1]上单调递减，
所以在x2∈（0，1]上单调递减，
所以的值域为[-1，+∞），即实数a的取值范围是[-1，+∞）．
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