勾股定理（一）
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课件55张PPT。18.1 勾股定理吼滩中学 八（5）班 教师：陈攀 4月6-7日448SA+SB=SCC图甲1.观察图甲，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？C图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲abcabc3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2用拼图法证明用拼图法证明∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4· ab+c2
=c2+2ab
∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2 +b2 =c2a2+b2+2abc2+2ab在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem） 如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么ac勾弦b股结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2勾股定理的证明 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。∴ .
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法（伽菲尔德证法1876年） 如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，
可知∠AED=90°；练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积=625=144 例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.方法小结1、已知：a＝3， b＝4，求c2、已知： c ＝10，a＝6，求b勾股定理的应用想一想我们有:好奇是人的本性!46b=58a=4658cc2=a2+b2 =462+582
=5480 而742=5476由勾股定理得：在误差范围内 我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( )A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米C３４２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为 ( )A.5米 B.12米 C.10米 D.13米1312?A３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 ( )A 2、4、6Ｃ 4、6、8BＢ 6、8、10Ｄ 8、10、125 或 ４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为 . 课堂练习： 一判断题. 1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在? ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.??244.8ABCD二填空题 1.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.
(2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在? ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.6841244.81、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离40应用知识回归生活 例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .例题分析36? 已知:如图,等边△ABC的高AD是 .
(1)求边长;
(2)求S△ABC .练一练1046810xEFDCBA8-x8-xDA3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE提示构造直角三角形勾股小常识：勾股数
1、 a2+b2 =c2，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10；7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数。
勾股定理的应用试一试： 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC探究1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?2mDCAB连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC______木板的宽,
所以木板____ 从门框内通过.大于能探究2ACOBD一个3m长的梯子AB,斜
靠在一竖直的墙AO上,
这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?ACOBD分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD.
在Rt△AOB中,梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.在Rt△AOB中，在Rt△COD中，OD－OB = 2.236 －1.658 ≈0.580.58 m 4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)= DE2- BE2= (DE+BE)·( DE- BE)= (DE+CE)·( DE- BE)=BD·CD7 .观察下列表格：……请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
84859、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BA二、圆柱(锥)中的最值问题例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.四、长方体中的最值问题8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？C10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ）
A.7m B.8m C.9m D.10m8m8m2m7、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。ABCD131310H提示：利用面积相等的关系 练习4、 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°在Rt△ABD中,根据勾股定理在Rt△ABC中，又AD=81．如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，∠DBC = 900 ，
AD = 3，AB = 4，BC = 12，
求CD；
练习2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49聪明的葛藤
葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）ABC20尺3×7=21（尺）聪明的葛藤小结：1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）A的面积+B的面积=C的面积a2+b2=c2实际问题直角三角
形的问题数学问题利用勾
股定理抽象归类解决建构活动证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）“新娘的轿椅”或“修士的头巾” 如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。同理：S 正方形BCGF = S 四边形BENM 再 见
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？C图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲abcabc3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2用拼图法证明用拼图法证明∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4· ab+c2
=c2+2ab
∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2 +b2 =c2a2+b2+2abc2+2ab在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem） 如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么ac勾弦b股结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2勾股定理的证明 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。∴ .
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法（伽菲尔德证法1876年） 如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，
可知∠AED=90°；练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积=625=144 例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.方法小结1、已知：a＝3， b＝4，求c2、已知： c ＝10，a＝6，求b勾股定理的应用想一想我们有:好奇是人的本性!46b=58a=4658cc2=a2+b2 =462+582
=5480 而742=5476由勾股定理得：在误差范围内 我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( )A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米C３４２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为 ( )A.5米 B.12米 C.10米 D.13米1312?A３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 ( )A 2、4、6Ｃ 4、6、8BＢ 6、8、10Ｄ 8、10、125 或 ４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为 . 课堂练习： 一判断题. 1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在? ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.??244.8ABCD二填空题 1.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.
(2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在? ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.6841244.81、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离40应用知识回归生活 例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .例题分析36? 已知:如图,等边△ABC的高AD是 .
(1)求边长;
(2)求S△ABC .练一练1046810xEFDCBA8-x8-xDA3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE提示构造直角三角形勾股小常识：勾股数
1、 a2+b2 =c2，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10；7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数。
勾股定理的应用试一试： 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC探究1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?2mDCAB连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC______木板的宽,
所以木板____ 从门框内通过.大于能探究2ACOBD一个3m长的梯子AB,斜
靠在一竖直的墙AO上,
这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?ACOBD分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD.
在Rt△AOB中,梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.在Rt△AOB中，在Rt△COD中，OD－OB = 2.236 －1.658 ≈0.580.58 m 4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)= DE2- BE2= (DE+BE)·( DE- BE)= (DE+CE)·( DE- BE)=BD·CD7 .观察下列表格：……请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
84859、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BA二、圆柱(锥)中的最值问题例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.四、长方体中的最值问题8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？C10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ）
A.7m B.8m C.9m D.10m8m8m2m7、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。ABCD131310H提示：利用面积相等的关系 练习4、 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°在Rt△ABD中,根据勾股定理在Rt△ABC中，又AD=81．如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，∠DBC = 900 ，
AD = 3，AB = 4，BC = 12，
求CD；
练习2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49聪明的葛藤
葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）ABC20尺3×7=21（尺）聪明的葛藤小结：1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）A的面积+B的面积=C的面积a2+b2=c2实际问题直角三角
形的问题数学问题利用勾
股定理抽象归类解决建构活动证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）“新娘的轿椅”或“修士的头巾” 如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。同理：S 正方形BCGF = S 四边形BENM 再 见