4.1.1 圆的标准方程学案
复习引入
1. 初中学过的圆的定义是什么?
2. 想一想,在平面直角坐标系中确定一个圆需要哪些条件?
基础知识
探究1. 如图4-1-1-1,设圆心是C(a,b),半径为r,设P(x,y)
是圆上任意一点;
①根据定义,圆就是集合P= 。
②由两点间的距离公式得:
化简方程得 。
1、 圆的标准方程:
圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为: 。
思考:①圆的方程形式有什么特点?
②当圆心在原点时,圆的方程是 。
2. 圆的标准方程的应用
例1、写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是3; (2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);
例2、已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程,试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?
探究2:点与圆的位置关系有三种情形:点在圆内、点在圆上、点在圆外。已知点M()和圆;
1 点在圆内的条件是:
2 点在圆上的条件是:
3 点在圆外的条件是:
如果将圆替换为呢?
例3.的三个顶点的坐标分别是 A(5,1), B(7,-3), C(2,-8),求它的外接圆的方程。
例4.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),却圆心C在直线L:上,
求圆心为C的圆的标准方程。
小结:求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;确定a,b,r;(2)直接法
变式训练:已知一个圆经过两个点,且圆心在直线 上,则此圆的方程是 。
巩固训练
1.圆的圆心和半径分别为( )
A. B. C. D.
2.直线将圆平分,则( )。
A.13 B.7 C.-13 D.以上答案都不对
3.已知一圆的圆心为点A(2,),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是( ).
A.13 B.13
C.52 D.52
4.经过点,圆心在轴负半轴上,半径等于5的圆的方程_______________.
5.圆内一点,则过P点的最短弦的弦长为___________,最短弦所在的直线方程为___________________.
6. 求下列条件所决定的圆的方程:
(1) 圆心为 C(3,-5),并且与直线x-7y+2=0相切;
(2) 过点A(3,2),圆心在直线y=2x上,且与直线y=2x+5相切.
图4-1-1-1
r
P
C
O
y
x