苏教版高中数学平面向量（文科）一轮复习材料
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学平面向量（文科）一轮复习材料 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-06-23 08:19:00 | ||
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文档简介
课件69张PPT。 向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强，它是高中数学中的工具性知识，在高考中占有较大的比重．从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积等基本概念、运算及简单应用. 在向量与平面几何、解析几何、三角等内容的交汇点处命题，综合性强，难度比较大，“平面向量”已成为命题的热点．对于向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算．另外要注意强化数学思想的学习，如数形结合思想、化归思想等．尤其是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用．1．平面向量的有关概念
(1)向量的定义：既有 又有方向的量叫做向量．
(2)表示方法：用 来表示向量，有向线段的 表示向量的大小，
用 所指的方向表示向量的方向，用字母a，b，…或用AB，BC，…表示．
(3)模：向量的 叫向量的模，记作|a|或|AB|.
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的 不确定．
(5)单位向量：长度为 的向量叫做单位向量．
(6)共线向量：方向 的向量叫共线向量，规定 与任何向量
共线．
(7)相等的向量：长度 且方向 的向量叫相等的向量．大小长度有向线段1个长度单位相同或相反零向量相等相同长度箭头方向2．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)法则： 法则、 法则．
(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
3．向量的减法
(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)法则： 则、 法则．
4．实数与向量的积
(1)定义：实数λ与向量a的积是 ，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0
时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0
时，λa与a平行．
(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)与a平行的单位向量e＝±.三角形平行四边形三角形法平行四边形一个向量相反5．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是 一个实
数λ，使得 ，即b∥a? (a≠0)．
(2)平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.有且仅有1．如图3－1－1，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的有________．
图3－1－1【答案】 ①②④
b＝λab＝λa2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BC＝3DC，则AD＝________.
【解析】 ∵BC＝ AC－AB＝b－c，
【答案】3．【解析】【答案】 AB
4．设e1，e2是两个不共线的向量，而e1－4e2和ke1＋e2共线，则实数k的值为________．
【答案】
【解析】6．l1、l2是不共线向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2，用b、c为基底来表示向量a.
【解】 设a＝λ1b＋λ2c，即－l1＋3l2＝λ1(4l1＋2l2)＋λ2(－3l1＋12l2)，
即－l1＋3l2＝(4λ1－3λ2)l1＋(2λ1＋12λ2)l2，代数运算
向量的代数运算同数量的运算不一样，运算律也有异同，其中加减运算同字母的加减运算类似．
若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
【点拨】 向量加减的代数运算，与字母的代数运算一样，可以加减消元、代入消元．
【解】 记3m＋2n＝a①
m－3n＝b②
3×②得3m－9n＝3b③
①－③得11n＝a－3b 用共线向量求值点共线转化成向量共线，要进行向量化，利用向量共线定理，就能得出相应的关系．
设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若三点A，B，D共线，求k的值．
【点拨】 三点共线的证明
向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题 【点拨】 证明充要条件要分两个方向的证明．
【证明】 【证明】 几何中的线性表示
数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”
的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，
这是研究平面向量最重要的方法与技巧．图3－1－2
【点拨】 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，
要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
【解】图3－1－3【解】规律总结 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．图3－1－4
【点拨】 向量的分解可利用平面向量基本定理，要注意尽可能地转化到平
行四边形或三角形中去．
【解析】 【误区警示】 本题不少学生找不到解题的思路，有的学生利用正、余弦定理运算量大，结果还是不正确．事实上，本题除了用上述解法外，还可以以A点
为原点，AB、AC为坐标轴建立坐标系，采用坐标法来解．
【命题趋势】 平面向量每年必考小题，在本节中主要考查向量运算的几何性质、向量共线条件，至于向量的基本定理的问题在高考中也出现过，但要求不是太高．学而时习之，不亦说乎？第二节 向量的坐标形式学生P401．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ ，已知a＝(x，y)和实数λ，那么λa＝__________
(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)．【答案】 (－1，－1)
2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________.
【解析】 4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)，设向量c＝(x，y)，依题意，得4a＋(3b－2a)＋c＝0，则4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.
【答案】 (4，－6)3．若平面向量a，b，满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
【解析】 a＋b＝(1,0)或(－1,0)，
则a＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)
或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．
【答案】 (－1,1)或(－3,1)【解析】【答案】 【解析】 ka－b＝k(2,3)－(－1,2)＝(2k＋1,3k－2)
a－kb＝(2,3)－k(－1,2)＝(2＋k,3－2k)
∴(2k＋1)(3－2k)－(3k－2)(2＋k)＝0，
∴7k2＝7，∴k＝±1.
【答案】 ±1
6．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
求满足a＝mb＋nc的实数m与n.
【解】 由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
向量共线
平面向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，它可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与坐标运算联系起来．【点拨】【解】 设P的坐标为(x，y)，
最值问题
向量中最值问题不少都转化为函数最值问题来解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数．
【点拨】 本题可以设出的坐标，然后利用向量共线找出x与y的关系，代入数量积的结果，可以得出二次函数，本题就可以利用二次函数求最值．【解】 几何问题
向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．【点拨】 点A、B、C能构成三角形，则说明三点不共线，即向量不共线，可以先求出共线的情况，然后利用补集思想，即可求出不共线的情况．
【解】 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点．【解】
图3－2－1
共线的灵活运用 利用设参数求参数是解决向量问题的常用技巧，而方程(组)是求解工具，体现了向量坐标运算的优越性．
(本题满分14分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．回答下列问题：
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.
【点拨】 (1)利用向量共线的充要条件，建立关于实数k的充要条件；(2)(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1建立关于x、y的方程组．
【解】 (1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)，(2分)∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，(4分)
规律总结
向量的坐标可以运算，点的坐标不能运算；引入平面向量的坐标使向量运算完全代数化，成了数与形结合的载体．许多几何问题，特别是共线、共点等较难问题，可以建立坐标系，设出点的坐标就可以转化为坐标运算来解决．(2009·重庆卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是________．
【点拨】 可以先求出向量a＋b与4b－2a的坐标，然后利用“a∥b(b≠0)且设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)?x1y2－x2y1＝0(x1，x2，y1，y2∈R)”求出x的值．
【解析】 解法一 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，
所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，
由于a＋b与4b－2a平行，
得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.解法二 因为a＋b与4b－2a平行，
则存在常数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，
即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，
根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x＝2.
【误区警示】 结论“a∥b(b≠0)且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)?x1y2－x2y1＝0”
与向量垂直中的数量积x1x2＋y1y2＝0有不少同学会混淆．实际上a＝(x1，y1)
与b＝(x2，y2)平行，对应坐标成比例，而为了避免分母为0的情况，即写成
积的形式，即：x1y2＝x2y1.
【命题趋势】 本部分内容的考查主要是以填空题的形式出现，重点考查向
量的加法、减法、数乘运算，以及向量共线的坐标运算．有时也会出现在解
答题中，但仅会起到桥梁作用，穿插在平面几何、解析几何、三角等内容中．学而时习之，不亦说乎？第三节 向量的数量积(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．数量积的性质
(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.【答案】 3【答案】 4．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
【解析】【答案】5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．
【解析】 向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，因为两个向量垂直，故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－.【答案】 【解】 模与夹角
平面向量的数量积可以考查数量积的运算，模与夹角等问题．对于模与夹角的问题，结合向量的数量积的定义，常利用平方法来处理．
设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
【点拨】 先利用已知条件求出向量n和m的数量积，然后再求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的数量积，以及它们的模，即可求出向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
【解】 垂直问题
利用向量的数量积处理垂直问题，都是利用向量的数量积为0，若有坐标，即利用x1x2＋y1y2＝0，就可以解决问题．
【点拨】 △ABC是直角三角形，但不知道谁是直角，因此需要分成三种情况进行分类讨论．
【解】 最值问题
在涉及向量数量积的最值问题中，往往是通过数量积的运算，利用函数或基本不等式来求最值．
【点拨】 本题要注意|a|＝|b|＝1，因此不要先求ka＋b与a－kb的坐标，而是采用平方法，这样可以简化运算过程．
【解】已知a、b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，
(1)求t的值；
(2)求证：b⊥(a＋tb)．
(1)【解】 设a与b的夹角为θ，则
|a＋tb|2＝(a＋tb)2＝|a|2＋t2|b|2＋2a·(tb)
＝|a|2＋t2|b|2＋2t|a||b|cos θ
(2)【证明】 不等式问题
两向量的夹角为钝角，则它们的数量积小于0，但两向量的数量积小于0，不能说明它们的夹角为钝角．
(本题满分14分)设两向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【点拨】 向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角时，(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.而(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0包含了两个向量反向共线的情况，因此要把反向共线时t的范围去掉．
【解】已知m∈R，a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，向量a，b的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
【解】 ∵a·b＝(m－2)(2m＋1)＋(m－2)(m＋3)＝3m2－2m－8，
而向量a，b的夹角为钝角
规律总结
? 向量的数量积不满足结合律、消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·c＝b·c不能推出a＝b.可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运用．利用向量垂直的充要条件研究几何中线线垂直的问题，常常建立适当的坐标系，得到简单的向量坐标表示，减少运算量．
(2009·安徽卷)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图3－3－1所示，
图3－3－1
【点拨】 本题可以引进角参数，设∠AOC＝α，然后利用向量的数量积列出关于参数的方程组．本题也可以以O为原点，OA为x轴建立坐标系，引入坐标运算．
【解析】 解法一 设∠AOC＝α
【误区警示】 本题不少学生不知道灵活运用向量的数量积来做，或者想不到建立坐标系利用坐标来处理．本题不仅考查了向量的有关知识，而且还需要掌握三角函数的有关运算．
【命题趋势】 高考中多以填空题的形式考查向量数量积的运算，难度属于中、低档，向量的数量积也常用来判断三角形的形状、求两直线的夹角或线段的长度，以及最值等问题，易与其它知识结合，在知识交汇点处命题，一直是高考的热点．
学而时习之，不亦说乎？学而时习之，不亦说乎？
(1)向量的定义：既有 又有方向的量叫做向量．
(2)表示方法：用 来表示向量，有向线段的 表示向量的大小，
用 所指的方向表示向量的方向，用字母a，b，…或用AB，BC，…表示．
(3)模：向量的 叫向量的模，记作|a|或|AB|.
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的 不确定．
(5)单位向量：长度为 的向量叫做单位向量．
(6)共线向量：方向 的向量叫共线向量，规定 与任何向量
共线．
(7)相等的向量：长度 且方向 的向量叫相等的向量．大小长度有向线段1个长度单位相同或相反零向量相等相同长度箭头方向2．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)法则： 法则、 法则．
(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
3．向量的减法
(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)法则： 则、 法则．
4．实数与向量的积
(1)定义：实数λ与向量a的积是 ，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0
时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0
时，λa与a平行．
(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)与a平行的单位向量e＝±.三角形平行四边形三角形法平行四边形一个向量相反5．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是 一个实
数λ，使得 ，即b∥a? (a≠0)．
(2)平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.有且仅有1．如图3－1－1，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的有________．
图3－1－1【答案】 ①②④
b＝λab＝λa2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BC＝3DC，则AD＝________.
【解析】 ∵BC＝ AC－AB＝b－c，
【答案】3．【解析】【答案】 AB
4．设e1，e2是两个不共线的向量，而e1－4e2和ke1＋e2共线，则实数k的值为________．
【答案】
【解析】6．l1、l2是不共线向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2，用b、c为基底来表示向量a.
【解】 设a＝λ1b＋λ2c，即－l1＋3l2＝λ1(4l1＋2l2)＋λ2(－3l1＋12l2)，
即－l1＋3l2＝(4λ1－3λ2)l1＋(2λ1＋12λ2)l2，代数运算
向量的代数运算同数量的运算不一样，运算律也有异同，其中加减运算同字母的加减运算类似．
若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
【点拨】 向量加减的代数运算，与字母的代数运算一样，可以加减消元、代入消元．
【解】 记3m＋2n＝a①
m－3n＝b②
3×②得3m－9n＝3b③
①－③得11n＝a－3b 用共线向量求值点共线转化成向量共线，要进行向量化，利用向量共线定理，就能得出相应的关系．
设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若三点A，B，D共线，求k的值．
【点拨】 三点共线的证明
向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题 【点拨】 证明充要条件要分两个方向的证明．
【证明】 【证明】 几何中的线性表示
数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”
的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，
这是研究平面向量最重要的方法与技巧．图3－1－2
【点拨】 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，
要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
【解】图3－1－3【解】规律总结 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．图3－1－4
【点拨】 向量的分解可利用平面向量基本定理，要注意尽可能地转化到平
行四边形或三角形中去．
【解析】 【误区警示】 本题不少学生找不到解题的思路，有的学生利用正、余弦定理运算量大，结果还是不正确．事实上，本题除了用上述解法外，还可以以A点
为原点，AB、AC为坐标轴建立坐标系，采用坐标法来解．
【命题趋势】 平面向量每年必考小题，在本节中主要考查向量运算的几何性质、向量共线条件，至于向量的基本定理的问题在高考中也出现过，但要求不是太高．学而时习之，不亦说乎？第二节 向量的坐标形式学生P401．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ ，已知a＝(x，y)和实数λ，那么λa＝__________
(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)．【答案】 (－1，－1)
2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________.
【解析】 4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)，设向量c＝(x，y)，依题意，得4a＋(3b－2a)＋c＝0，则4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.
【答案】 (4，－6)3．若平面向量a，b，满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
【解析】 a＋b＝(1,0)或(－1,0)，
则a＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)
或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．
【答案】 (－1,1)或(－3,1)【解析】【答案】 【解析】 ka－b＝k(2,3)－(－1,2)＝(2k＋1,3k－2)
a－kb＝(2,3)－k(－1,2)＝(2＋k,3－2k)
∴(2k＋1)(3－2k)－(3k－2)(2＋k)＝0，
∴7k2＝7，∴k＝±1.
【答案】 ±1
6．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
求满足a＝mb＋nc的实数m与n.
【解】 由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
向量共线
平面向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，它可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与坐标运算联系起来．【点拨】【解】 设P的坐标为(x，y)，
最值问题
向量中最值问题不少都转化为函数最值问题来解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数．
【点拨】 本题可以设出的坐标，然后利用向量共线找出x与y的关系，代入数量积的结果，可以得出二次函数，本题就可以利用二次函数求最值．【解】 几何问题
向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．【点拨】 点A、B、C能构成三角形，则说明三点不共线，即向量不共线，可以先求出共线的情况，然后利用补集思想，即可求出不共线的情况．
【解】 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点．【解】
图3－2－1
共线的灵活运用 利用设参数求参数是解决向量问题的常用技巧，而方程(组)是求解工具，体现了向量坐标运算的优越性．
(本题满分14分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．回答下列问题：
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.
【点拨】 (1)利用向量共线的充要条件，建立关于实数k的充要条件；(2)(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1建立关于x、y的方程组．
【解】 (1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)，(2分)∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，(4分)
规律总结
向量的坐标可以运算，点的坐标不能运算；引入平面向量的坐标使向量运算完全代数化，成了数与形结合的载体．许多几何问题，特别是共线、共点等较难问题，可以建立坐标系，设出点的坐标就可以转化为坐标运算来解决．(2009·重庆卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是________．
【点拨】 可以先求出向量a＋b与4b－2a的坐标，然后利用“a∥b(b≠0)且设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)?x1y2－x2y1＝0(x1，x2，y1，y2∈R)”求出x的值．
【解析】 解法一 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，
所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，
由于a＋b与4b－2a平行，
得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.解法二 因为a＋b与4b－2a平行，
则存在常数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，
即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，
根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x＝2.
【误区警示】 结论“a∥b(b≠0)且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)?x1y2－x2y1＝0”
与向量垂直中的数量积x1x2＋y1y2＝0有不少同学会混淆．实际上a＝(x1，y1)
与b＝(x2，y2)平行，对应坐标成比例，而为了避免分母为0的情况，即写成
积的形式，即：x1y2＝x2y1.
【命题趋势】 本部分内容的考查主要是以填空题的形式出现，重点考查向
量的加法、减法、数乘运算，以及向量共线的坐标运算．有时也会出现在解
答题中，但仅会起到桥梁作用，穿插在平面几何、解析几何、三角等内容中．学而时习之，不亦说乎？第三节 向量的数量积(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．数量积的性质
(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.【答案】 3【答案】 4．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
【解析】【答案】5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．
【解析】 向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，因为两个向量垂直，故有(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－.【答案】 【解】 模与夹角
平面向量的数量积可以考查数量积的运算，模与夹角等问题．对于模与夹角的问题，结合向量的数量积的定义，常利用平方法来处理．
设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
【点拨】 先利用已知条件求出向量n和m的数量积，然后再求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的数量积，以及它们的模，即可求出向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
【解】 垂直问题
利用向量的数量积处理垂直问题，都是利用向量的数量积为0，若有坐标，即利用x1x2＋y1y2＝0，就可以解决问题．
【点拨】 △ABC是直角三角形，但不知道谁是直角，因此需要分成三种情况进行分类讨论．
【解】 最值问题
在涉及向量数量积的最值问题中，往往是通过数量积的运算，利用函数或基本不等式来求最值．
【点拨】 本题要注意|a|＝|b|＝1，因此不要先求ka＋b与a－kb的坐标，而是采用平方法，这样可以简化运算过程．
【解】已知a、b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，
(1)求t的值；
(2)求证：b⊥(a＋tb)．
(1)【解】 设a与b的夹角为θ，则
|a＋tb|2＝(a＋tb)2＝|a|2＋t2|b|2＋2a·(tb)
＝|a|2＋t2|b|2＋2t|a||b|cos θ
(2)【证明】 不等式问题
两向量的夹角为钝角，则它们的数量积小于0，但两向量的数量积小于0，不能说明它们的夹角为钝角．
(本题满分14分)设两向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【点拨】 向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角时，(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.而(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0包含了两个向量反向共线的情况，因此要把反向共线时t的范围去掉．
【解】已知m∈R，a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，向量a，b的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
【解】 ∵a·b＝(m－2)(2m＋1)＋(m－2)(m＋3)＝3m2－2m－8，
而向量a，b的夹角为钝角
规律总结
? 向量的数量积不满足结合律、消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·c＝b·c不能推出a＝b.可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运用．利用向量垂直的充要条件研究几何中线线垂直的问题，常常建立适当的坐标系，得到简单的向量坐标表示，减少运算量．
(2009·安徽卷)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图3－3－1所示，
图3－3－1
【点拨】 本题可以引进角参数，设∠AOC＝α，然后利用向量的数量积列出关于参数的方程组．本题也可以以O为原点，OA为x轴建立坐标系，引入坐标运算．
【解析】 解法一 设∠AOC＝α
【误区警示】 本题不少学生不知道灵活运用向量的数量积来做，或者想不到建立坐标系利用坐标来处理．本题不仅考查了向量的有关知识，而且还需要掌握三角函数的有关运算．
【命题趋势】 高考中多以填空题的形式考查向量数量积的运算，难度属于中、低档，向量的数量积也常用来判断三角形的形状、求两直线的夹角或线段的长度，以及最值等问题，易与其它知识结合，在知识交汇点处命题，一直是高考的热点．
学而时习之，不亦说乎？学而时习之，不亦说乎？