苏教版高中数学文科三角函数2011年一轮复习
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学文科三角函数2011年一轮复习 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 5.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-06-23 08:20:00 | ||
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文档简介
课件148张PPT。0000000000000000000000000000000000000000000000 本部分内容历来为高考命题的热点，一般情况下既有小题，又有大题．小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用．大题则着重考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形．试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题．利用两角和(差)公式，二倍角公式进行式子的化简、求值，利用三角函数的图象和性质解决问题是历年的常考题．近几年高考主要考查三角变换，并加强了对三角函数的图象与性质的考查，三角函数的性质是本章复习的重点．在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．重视灵活地运用三角公式的训练，解决三角函数式的化简．求值和证明时，常用方法：(1)切弦互化；(2)运用“1”的代换；(3)异名化为同名；(4)角的变换等等．化简三角式的能力要靠多训练多顿悟才能培养出来．把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．重视灵活地运用三角公式的训练，解决三角函数式的化简．求值和证明时，常用方法：(1)切弦互化；(2)运用“1”的代换；(3)异名化为同名；(4)角的变换等等．化简三角式的能力要靠多训练多顿悟才能培养出来．大小任意大小第一节 三角函数的概念
1．角的概念的推广及角的分类
(1)角可以是 的．
(2)角可分为： 、 、 ．
2．(1)与角α终边相同的角可构成一个集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)与角α终边共线的角可构成一个集合S＝{β|β＝kπ＋α，k∈Z}．
任意大小正角零角负角π|α|r(|α|r(|α|r(
求角的范围
我们知道，在求某角的三角函数值时，首先要确定该角的范围．因此确定角的范围显得非常重要．
已知π＜α＋β＜，－π＜α－β＜－，求2α－β的范围？思维启迪 本题采用的是整体法处理角的范围，也可以利用线性规划的方法求角的范围。三角函数线的应用 三角函数线是有向线段，在用字母表示时，应分清其起点、终点，其顺序不能颠倒．事实上，三角函数线的本质就是三角函数定义的运用，因此要加深对三角函数定义的理解．
利用三角函数线，写出满足2cos x－1≥0的角x的集合．
【点拨】 解三角不等式，一般情况下，已知正弦、余弦不等式，利用单位圆中的三角函数线比较简单，而正切不等式利用正切函数的图象做比较简单．
利用三角函数的定义求值，一定要熟练掌握三角函数的定义，有时还要结合点所在的象限进行取舍．
利用定义求值扇形的简单运用 在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二求其余的关键．
(本题满分14分)一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长．
图4－1－2 一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
规律总结 1．弧度制与角度制不能混用．
2．三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
3．三角函数定义及所在象限的符号是三角函数两大重要概念，利用三角函数的定义解与角有关的问题是一种最基本的方法．
(2008·江苏卷)如图4－1－3，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，
图4－1－3
【误区警示】 近年来，江苏高考不再考查死记硬背的东西，而是越来越重视对定义、公式应用的考查．对于三角函数的定义，若终边上的点的坐标含有字母时，在字母的符号不确定的情况下需要分类讨论．
【命题趋势】 高考中主要考查对三角函数定义的理解和运用，如三角函数的符号选取及基本运算能力，题型多为填空题，题目难度不大．因此复习中对三角函数的定义、单位圆中的三角函数线在考查三角函数值的符号规律及变化规律上下功夫．
学而时习之，不亦说乎？sin(k·360°＋α)＝sin__α cos(k·360°＋α)＝cos__α
第二节 同角三角函数关系与诱导公式tan(k·360°＋α)＝ sin(－α)＝ cos(－α)＝ tan(－α)＝ 。
sin(180°－α)＝ cos(180°－α)＝ 。
tan(180°－α)＝ sin(180°＋α)＝ 。
cos(180°＋α)＝ tan(180°＋α)＝ 。
α＋2kπ(k∈Z)、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
tanα(k∈Z)－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanα－sinα－cosαtanαcosαsinα得角α的同名函数值．当k为奇数时，得角α的相应的余名函数值，其前面的符号是把角α看成锐角时，由角k·＋α的终边所在的象限确定的，简记为“奇变偶不变，符号看象限”，诱导公式常用于三角式的化简、求值等．
1．sin 585°的值为________．
2．已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝________.
【答案】 －2
【答案】 1
同角关系
用同角关系处理含根号的三角关系，“脱”去根号是我们的目标，这就要求根号下能成为完全平方式，注意同角三角函数的平方关系式，利用公式的性质可以达到目标．
诱导公式 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．
【点拨】 抓住已知条件，利用分类讨论的思想，将整数k按奇数和偶数进行讨论．遇弦化切这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式的问题，解这类问题有两个方法，一是直接求出sin α和cos α的值，再代入求解，但这种方法较繁琐．二是将所求式转化为只含tan α的代数式，再代入求解．
【点拨】 本题要注意到分式的分子与分母均是关于sin α与cos α的一次齐式，其中第(2)问要将分母看成是1＝sin2α＋cos2α，所以可以将分子分母同时除以cos2α(cos α≠0)，然后整体代入tan α＝的值即可．
已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ) (k∈Z)正余弦和差积的转化
对于正余弦和差积的转化问题，要根据所给值式和被求式的特点，发现它们之间内在联系，运用整体思想解决，往往能使问题进一步简化．
已知sin α＋cos α＝，求＋的值. 规律总结 含有正弦、余弦的齐次式，利用sin2α＋cos2α＝1可以转化为tan θ的表达式，进而求值．在已知一个角的三角函数值求这个角的其它三角函数时，要注意题设中的角的范围，必要时按象限进行讨论．利用诱导公式求值的步骤：“负化正”、“大化小”、“小化锐”、“锐求值”．
【误区警示】 处理求值题要注意角度的象限范围，利用好同角三角函数的基本关系，要开方时，要注意取正号或负号的判断．另外还要重视计算过程的正确性．
【命题趋势】 在高考中三角函数的同角关系与诱导公式的运用主要是同后面的两角和差公式、倍角公式以及解三角形等内容结合在一起，基本上是高考必考内容．学而时习之，不亦说乎？第三节 和差角公式sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ?sinαsinβ1．函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．
tan(α±β)(1?tanαtanβ)学生P51
化简求值
三角函数式的化简求值，除了注意公式变形、弦切互化、特殊角的运用外，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题的突破口．
变用
学会对正切和差角变形使用，即充分利用tan A±tan B＝tan(A±B)(1?tan Atan B)．
变角
对角间的关系进行分析，主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．它实际上是一种基本量方法，即把题中某些角作为基本量，其他角用基本量表示出来，达到变形的目的．
sin__x＋cos__x型的运用
注意sin x＋cos x与sin x·cos x之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解. 在换元时要注意变量的取值范围．
(本题满分14分)求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最大值和最小值，若x∈[0，]呢？
【点拨】 如果sin x＋cos x与sin x·cos x同时出现，总是设t＝sin x＋cos x，但要注意参数t的范围，这样才能正确求出函数的最大值和最小值．
应用和与差的三角函数公式解题，要善于正用、逆用和变用公式，其中变用公式解题，包括变条件、变结论、变角、变函数、变同次、变公式．三角恒等变换要重视对式子的结构特征的分析，从结构统一的角度探寻思维方向，特别是目标的导向作用不容忽视．
规律总结
(2009·江苏卷)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
【误区警示】 在本题中同时考查了两角和的正弦与余弦公式，不少学生在两角和的余弦公式中符号用错，写成“4sin(α＋β)－8cos(α－β)＝0”，还有部分学生不知道遇切化弦，不会把“tan αtan β＝16”写成“sin αsin β＝16cos αcos β ”．【命题趋势】 本节主要是用好公式进行必要的三角变形，这是解三角问题的关键．估计在今后的高考中对本节知识的考查仍保持稳定，仍以中档题为主，三角函数的解答题一般都要考查三角函数的恒等变换．
学而时习之，不亦说乎？2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－1＝1－2sin2α1．求值：sin215°－cos215°＝________.
学生P53
直接运用在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系．
活用公式利用公式cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可以帮助我们化简分式型三角式中分子或分母出现“1”的情况，要把分子或分母中的“1”消去，以利于分子与分母找出公因式，达到化简的目的．
降幂公式
综合运用 以向量为桥梁，融合三角恒等变换，是三角函数综合题的常见题型，这类综合题主要是从向量的坐标运算出发，以共线、垂直为考查对象，加以和差角公式、二倍角公式进行解题．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
规律总结
倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数运算规律，可实现函数式的降幂的变化．要重视对于遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率．有条件的三角函数求值关键在于注意条件的整体功能，注意角的合理配置．
【点拨】 先由向量共线的坐标运算找出三角形中角与边之间的关系，然后利用正弦定理求角A的大小；然后利用二倍角公式和
余弦的差角公式求出函数的值域．
【解】 (1)由m∥n得(2b－c)·cos A－acos C＝0
由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0
学而时习之，不亦说乎？三角函数的图像与性质
1．基本三角函数y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)，y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的图象分别叫做 、 、 .
第五节 三角函数的图像与性质正弦曲线余弦曲线正切曲线【答案】 ③
4．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．
【解析】 在同一坐标系中作出f1(x)＝sin x及g1(x)＝cos x在[0,2π]的图象，由图象知，5.
学生P56 图象变换
进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在习题中，无论是哪种变形，都是对字母x而言的，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
函数的单调性
求复合函数的单调区间，常常先化简，再求单调区间，要注意复合函数的单调法则．
求函数的解析式
由图象确定函数的解析式，就要观察图象的特性、形状位置和所给的条件．通过判断、分析和计算确定A、ω、φ得到函数的解析式．
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|<π)的一段图象如图4－5－3所示．(1)求函数的解析式；
(2)求这个函数的单调递增区间．
【点拨】 从图象可以找出函数的周期，以及振幅A的值，然后利用最高点或最低点的坐标求出φ的值．
如图4－5－4，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(|φ|<π)．写出这段曲线的函数解析式．
值域问题
整体思想对于求三角函数与二次函数的复合函数的值域问题，是常用的方法，是把复合函数的值域转化为二次函数的值域来求．
(本题满分14分)设关于x的函数y＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a值，并对此时的a值求y的最大值．
【点拨】 可以把cos x看成一个整体，可设t＝cos x，然后转化为t的二次函数的形式，但是要注意t的取值范围．
规律总结 给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)，要学会从“五点法”中的五个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准对应的零点位置．三角函数单调区间的确定，先要将函数式化为基本三角函数的标准式，然后运用整体思想求解．有关三角函数的值域问题往往是把已知的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)形式或配方转化为关于sin x或cos x的二次函数，再由角的范围确定其值域．
【点拨】 本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，正弦和角公式的逆用、图象的平移变换以及整体思想求三角函数的单调区间．
【解】【命题趋势】 高考中主要考查用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、由图象求解析式、三角函数图象的变换和对称性以及单调性、奇偶性以及值域与最值等等，填空题和解答均有可能出现，但难度估计不会太大．
学而时习之，不亦说乎？第六节 解三角形设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C.
1．角与角关系：A＋B＋C＝π.
2．边与边关系：a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，
a－b3．边与角关系
(1)正弦定理：＝＝＝2R.
(2)余弦定理：c2＝ ，b2＝ ，a2＝ .
(3)面积公式：S＝ah＝absin C.
1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则∠B＝________.
【答案】2．已知△ABC三边长分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab，则∠C＝________.
【答案】 30°
a2＋b2－2abcosCa2＋c2－2accosBb2＋c2－2bccosA3．已知锐角三角形ABC中，边长a，b满足a＋b＝2，ab＝2，且2sin(A＋B)－1＝0，则另一边长c＝________.
【答案】6．△ABC中，c＝，A＝45°，a＝2，求b和B，C.
【解】 SSA型解的个数
解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”．有时利用结论“在△ABC中，A>B?sin A>sin B”可以避免分类讨论或数形结合．
【点拨】 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解、一解或无解的情形．一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解 三角形形状判定
在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断．
在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin Bsin C，试判断△ABC的形状．
【点拨】 本题可利用正弦定理与余弦定理通过边的关系来判断三角形的形状．
【解】 解三角形
解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活掌握．运用正弦定理一般是将边转化成角，而条件中边的关系比较多时，往往考虑用余弦定理求角．
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b.
【点拨】 此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手．对已知条件(1)a2－c2＝2b左侧是二次的，右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2)sin Acos C＝3cos Asin C，过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分．
【解】 解法二 由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A．又a2－c2＝2b，b≠0.
所以b＝2ccos A＋2①
又sin Acos C＝3cos Asin C，
∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C
sin(A＋C)＝4cos Asin C，即sin B＝4cos Asin C
由正弦定理得sin B＝sin C，故b＝4ccos A②
由①，②解得b＝4.
实际应用
运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，关键是根据题意构造适当的三角形．求解三角形时，一定要注意已知什么，由已知可以求得什么，目标是什么，要求目标值需要知道什么，弄清这些问题后，就可以确定求解的顺序了．
(本题满分14分)(2009·辽宁)如图4－6－2，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)
【点拨】 解斜三角形应用题的一般步骤为：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
【解】 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA(6分)
图4－6－3
如图4－6－3，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
【解】 作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
规律总结
?应用正弦定理、余弦定理解实际问题中三角形，通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所要求的量，从而求出实际问题的解．许多与平面图形有关的实际问题，需要用到正弦定理、余弦定理，并借助三角函数的性质及三角变换来解决，同时要注意与向量、函数、不等式等知识的综合．
(2009·福建卷)如图4－6－5，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
?
(1)求A ，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【点拨】 本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．
【误区警示】 本题与三角函数结合，背景比较新颖，难度大，不少的学生都无法得分．如果只记公式，不知道如何产生，学生将无从下手．因此，在复习时，要开始侧重知识产生的过程，培养学生学习的良好思维习惯和能力，平常探寻多种解题思路．
【命题趋势】 高考命题会以正弦定理和余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考查正弦定理和余弦定理及其运用．主要有两种题型，一是与三角函数结合，通过三角变换化简，然后运用正弦、余弦定理求值；二是与平面向量结合，判定三角形形状或结合正弦、余弦定理求值．一般是填空题，也可能是中档难度的解答题．
学而时习之，不亦说乎？学而时习之，不亦说乎？
1．角的概念的推广及角的分类
(1)角可以是 的．
(2)角可分为： 、 、 ．
2．(1)与角α终边相同的角可构成一个集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)与角α终边共线的角可构成一个集合S＝{β|β＝kπ＋α，k∈Z}．
任意大小正角零角负角π|α|r(|α|r(|α|r(
求角的范围
我们知道，在求某角的三角函数值时，首先要确定该角的范围．因此确定角的范围显得非常重要．
已知π＜α＋β＜，－π＜α－β＜－，求2α－β的范围？思维启迪 本题采用的是整体法处理角的范围，也可以利用线性规划的方法求角的范围。三角函数线的应用 三角函数线是有向线段，在用字母表示时，应分清其起点、终点，其顺序不能颠倒．事实上，三角函数线的本质就是三角函数定义的运用，因此要加深对三角函数定义的理解．
利用三角函数线，写出满足2cos x－1≥0的角x的集合．
【点拨】 解三角不等式，一般情况下，已知正弦、余弦不等式，利用单位圆中的三角函数线比较简单，而正切不等式利用正切函数的图象做比较简单．
利用三角函数的定义求值，一定要熟练掌握三角函数的定义，有时还要结合点所在的象限进行取舍．
利用定义求值扇形的简单运用 在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二求其余的关键．
(本题满分14分)一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长．
图4－1－2 一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
规律总结 1．弧度制与角度制不能混用．
2．三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
3．三角函数定义及所在象限的符号是三角函数两大重要概念，利用三角函数的定义解与角有关的问题是一种最基本的方法．
(2008·江苏卷)如图4－1－3，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，
图4－1－3
【误区警示】 近年来，江苏高考不再考查死记硬背的东西，而是越来越重视对定义、公式应用的考查．对于三角函数的定义，若终边上的点的坐标含有字母时，在字母的符号不确定的情况下需要分类讨论．
【命题趋势】 高考中主要考查对三角函数定义的理解和运用，如三角函数的符号选取及基本运算能力，题型多为填空题，题目难度不大．因此复习中对三角函数的定义、单位圆中的三角函数线在考查三角函数值的符号规律及变化规律上下功夫．
学而时习之，不亦说乎？sin(k·360°＋α)＝sin__α cos(k·360°＋α)＝cos__α
第二节 同角三角函数关系与诱导公式tan(k·360°＋α)＝ sin(－α)＝ cos(－α)＝ tan(－α)＝ 。
sin(180°－α)＝ cos(180°－α)＝ 。
tan(180°－α)＝ sin(180°＋α)＝ 。
cos(180°＋α)＝ tan(180°＋α)＝ 。
α＋2kπ(k∈Z)、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
tanα(k∈Z)－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanα－sinα－cosαtanαcosαsinα得角α的同名函数值．当k为奇数时，得角α的相应的余名函数值，其前面的符号是把角α看成锐角时，由角k·＋α的终边所在的象限确定的，简记为“奇变偶不变，符号看象限”，诱导公式常用于三角式的化简、求值等．
1．sin 585°的值为________．
2．已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝________.
【答案】 －2
【答案】 1
同角关系
用同角关系处理含根号的三角关系，“脱”去根号是我们的目标，这就要求根号下能成为完全平方式，注意同角三角函数的平方关系式，利用公式的性质可以达到目标．
诱导公式 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．
【点拨】 抓住已知条件，利用分类讨论的思想，将整数k按奇数和偶数进行讨论．遇弦化切这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式的问题，解这类问题有两个方法，一是直接求出sin α和cos α的值，再代入求解，但这种方法较繁琐．二是将所求式转化为只含tan α的代数式，再代入求解．
【点拨】 本题要注意到分式的分子与分母均是关于sin α与cos α的一次齐式，其中第(2)问要将分母看成是1＝sin2α＋cos2α，所以可以将分子分母同时除以cos2α(cos α≠0)，然后整体代入tan α＝的值即可．
已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ) (k∈Z)正余弦和差积的转化
对于正余弦和差积的转化问题，要根据所给值式和被求式的特点，发现它们之间内在联系，运用整体思想解决，往往能使问题进一步简化．
已知sin α＋cos α＝，求＋的值. 规律总结 含有正弦、余弦的齐次式，利用sin2α＋cos2α＝1可以转化为tan θ的表达式，进而求值．在已知一个角的三角函数值求这个角的其它三角函数时，要注意题设中的角的范围，必要时按象限进行讨论．利用诱导公式求值的步骤：“负化正”、“大化小”、“小化锐”、“锐求值”．
【误区警示】 处理求值题要注意角度的象限范围，利用好同角三角函数的基本关系，要开方时，要注意取正号或负号的判断．另外还要重视计算过程的正确性．
【命题趋势】 在高考中三角函数的同角关系与诱导公式的运用主要是同后面的两角和差公式、倍角公式以及解三角形等内容结合在一起，基本上是高考必考内容．学而时习之，不亦说乎？第三节 和差角公式sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ?sinαsinβ1．函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．
tan(α±β)(1?tanαtanβ)学生P51
化简求值
三角函数式的化简求值，除了注意公式变形、弦切互化、特殊角的运用外，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题的突破口．
变用
学会对正切和差角变形使用，即充分利用tan A±tan B＝tan(A±B)(1?tan Atan B)．
变角
对角间的关系进行分析，主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．它实际上是一种基本量方法，即把题中某些角作为基本量，其他角用基本量表示出来，达到变形的目的．
sin__x＋cos__x型的运用
注意sin x＋cos x与sin x·cos x之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解. 在换元时要注意变量的取值范围．
(本题满分14分)求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最大值和最小值，若x∈[0，]呢？
【点拨】 如果sin x＋cos x与sin x·cos x同时出现，总是设t＝sin x＋cos x，但要注意参数t的范围，这样才能正确求出函数的最大值和最小值．
应用和与差的三角函数公式解题，要善于正用、逆用和变用公式，其中变用公式解题，包括变条件、变结论、变角、变函数、变同次、变公式．三角恒等变换要重视对式子的结构特征的分析，从结构统一的角度探寻思维方向，特别是目标的导向作用不容忽视．
规律总结
(2009·江苏卷)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
【误区警示】 在本题中同时考查了两角和的正弦与余弦公式，不少学生在两角和的余弦公式中符号用错，写成“4sin(α＋β)－8cos(α－β)＝0”，还有部分学生不知道遇切化弦，不会把“tan αtan β＝16”写成“sin αsin β＝16cos αcos β ”．【命题趋势】 本节主要是用好公式进行必要的三角变形，这是解三角问题的关键．估计在今后的高考中对本节知识的考查仍保持稳定，仍以中档题为主，三角函数的解答题一般都要考查三角函数的恒等变换．
学而时习之，不亦说乎？2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－1＝1－2sin2α1．求值：sin215°－cos215°＝________.
学生P53
直接运用在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系．
活用公式利用公式cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可以帮助我们化简分式型三角式中分子或分母出现“1”的情况，要把分子或分母中的“1”消去，以利于分子与分母找出公因式，达到化简的目的．
降幂公式
综合运用 以向量为桥梁，融合三角恒等变换，是三角函数综合题的常见题型，这类综合题主要是从向量的坐标运算出发，以共线、垂直为考查对象，加以和差角公式、二倍角公式进行解题．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
规律总结
倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数运算规律，可实现函数式的降幂的变化．要重视对于遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率．有条件的三角函数求值关键在于注意条件的整体功能，注意角的合理配置．
【点拨】 先由向量共线的坐标运算找出三角形中角与边之间的关系，然后利用正弦定理求角A的大小；然后利用二倍角公式和
余弦的差角公式求出函数的值域．
【解】 (1)由m∥n得(2b－c)·cos A－acos C＝0
由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0
学而时习之，不亦说乎？三角函数的图像与性质
1．基本三角函数y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)，y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的图象分别叫做 、 、 .
第五节 三角函数的图像与性质正弦曲线余弦曲线正切曲线【答案】 ③
4．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．
【解析】 在同一坐标系中作出f1(x)＝sin x及g1(x)＝cos x在[0,2π]的图象，由图象知，5.
学生P56 图象变换
进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在习题中，无论是哪种变形，都是对字母x而言的，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
函数的单调性
求复合函数的单调区间，常常先化简，再求单调区间，要注意复合函数的单调法则．
求函数的解析式
由图象确定函数的解析式，就要观察图象的特性、形状位置和所给的条件．通过判断、分析和计算确定A、ω、φ得到函数的解析式．
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|<π)的一段图象如图4－5－3所示．(1)求函数的解析式；
(2)求这个函数的单调递增区间．
【点拨】 从图象可以找出函数的周期，以及振幅A的值，然后利用最高点或最低点的坐标求出φ的值．
如图4－5－4，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(|φ|<π)．写出这段曲线的函数解析式．
值域问题
整体思想对于求三角函数与二次函数的复合函数的值域问题，是常用的方法，是把复合函数的值域转化为二次函数的值域来求．
(本题满分14分)设关于x的函数y＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a值，并对此时的a值求y的最大值．
【点拨】 可以把cos x看成一个整体，可设t＝cos x，然后转化为t的二次函数的形式，但是要注意t的取值范围．
规律总结 给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)，要学会从“五点法”中的五个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准对应的零点位置．三角函数单调区间的确定，先要将函数式化为基本三角函数的标准式，然后运用整体思想求解．有关三角函数的值域问题往往是把已知的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)形式或配方转化为关于sin x或cos x的二次函数，再由角的范围确定其值域．
【点拨】 本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，正弦和角公式的逆用、图象的平移变换以及整体思想求三角函数的单调区间．
【解】【命题趋势】 高考中主要考查用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、由图象求解析式、三角函数图象的变换和对称性以及单调性、奇偶性以及值域与最值等等，填空题和解答均有可能出现，但难度估计不会太大．
学而时习之，不亦说乎？第六节 解三角形设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C.
1．角与角关系：A＋B＋C＝π.
2．边与边关系：a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，
a－b
(1)正弦定理：＝＝＝2R.
(2)余弦定理：c2＝ ，b2＝ ，a2＝ .
(3)面积公式：S＝ah＝absin C.
1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则∠B＝________.
【答案】2．已知△ABC三边长分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab，则∠C＝________.
【答案】 30°
a2＋b2－2abcosCa2＋c2－2accosBb2＋c2－2bccosA3．已知锐角三角形ABC中，边长a，b满足a＋b＝2，ab＝2，且2sin(A＋B)－1＝0，则另一边长c＝________.
【答案】6．△ABC中，c＝，A＝45°，a＝2，求b和B，C.
【解】 SSA型解的个数
解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”．有时利用结论“在△ABC中，A>B?sin A>sin B”可以避免分类讨论或数形结合．
【点拨】 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解、一解或无解的情形．一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解 三角形形状判定
在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断．
在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin Bsin C，试判断△ABC的形状．
【点拨】 本题可利用正弦定理与余弦定理通过边的关系来判断三角形的形状．
【解】 解三角形
解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活掌握．运用正弦定理一般是将边转化成角，而条件中边的关系比较多时，往往考虑用余弦定理求角．
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b.
【点拨】 此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手．对已知条件(1)a2－c2＝2b左侧是二次的，右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2)sin Acos C＝3cos Asin C，过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分．
【解】 解法二 由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A．又a2－c2＝2b，b≠0.
所以b＝2ccos A＋2①
又sin Acos C＝3cos Asin C，
∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C
sin(A＋C)＝4cos Asin C，即sin B＝4cos Asin C
由正弦定理得sin B＝sin C，故b＝4ccos A②
由①，②解得b＝4.
实际应用
运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，关键是根据题意构造适当的三角形．求解三角形时，一定要注意已知什么，由已知可以求得什么，目标是什么，要求目标值需要知道什么，弄清这些问题后，就可以确定求解的顺序了．
(本题满分14分)(2009·辽宁)如图4－6－2，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)
【点拨】 解斜三角形应用题的一般步骤为：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
【解】 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA(6分)
图4－6－3
如图4－6－3，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
【解】 作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
规律总结
?应用正弦定理、余弦定理解实际问题中三角形，通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所要求的量，从而求出实际问题的解．许多与平面图形有关的实际问题，需要用到正弦定理、余弦定理，并借助三角函数的性质及三角变换来解决，同时要注意与向量、函数、不等式等知识的综合．
(2009·福建卷)如图4－6－5，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
?
(1)求A ，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【点拨】 本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．
【误区警示】 本题与三角函数结合，背景比较新颖，难度大，不少的学生都无法得分．如果只记公式，不知道如何产生，学生将无从下手．因此，在复习时，要开始侧重知识产生的过程，培养学生学习的良好思维习惯和能力，平常探寻多种解题思路．
【命题趋势】 高考命题会以正弦定理和余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考查正弦定理和余弦定理及其运用．主要有两种题型，一是与三角函数结合，通过三角变换化简，然后运用正弦、余弦定理求值；二是与平面向量结合，判定三角形形状或结合正弦、余弦定理求值．一般是填空题，也可能是中档难度的解答题．
学而时习之，不亦说乎？学而时习之，不亦说乎？