苏教版不等式
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课件111张PPT。本章内容在高考中以考查不等式的性质、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查. 不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重. 在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点. 借助不等式的性质，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法．含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点．第一节 一元二次不等式1．一元一次不等式的解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．
当a＞0时，解集为 ；
当a＜0时，解集为 ．{x|x＞ }{x|x＜ }2．一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，再根据“大于取 ，小于取 ”求解集.两边中间若a＜0时，可以先将二次项系数化成正数，对照上表求解．
3．一元二次不等式恒成立情况小结
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 ? .
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立? .1．不等式x2>x的解集是________．
【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞)
2．不等式4x2－4x＋1＞0的解集是________．
【答案】 {x|x≠ }3．不等式 >1的解集为________．
4．已知集合M＝{x|1＋x>0}，N＝{x|>0}，则M∩N＝________.
【答案】 {x|－1＜x＜2}【答案】 {x|－3【答案】 (－∞，－1)
已知一元二次不等式的解集求系数的
基本思路是：由不等式的解集求出根，再
由韦达定理求系数．解不等式 已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2【点拨】 本题可以由韦达定理求系数．
【解】 解法一 ∵(x－2)(x－4)<0即－x2＋6x－8>0，∴不妨假设a＝－1，b＝6，c＝－8，则cx2＋bx＋a<0即为－8x2＋6x－1<0，解得{x|x> 或x< }．思维启迪 不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|21(a>0且a≠1)．
当对数式中a>0且a≠1，借助于单调性进行分类讨论，即分a＞1时与0＜a＜1时两种情况．【点拨】【解】 (1)当a＞1时，思维启迪 解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.解含参数的不等式时，往往要根据参数的取值范围进行分类讨论，难点在于如何进行恰当的分类，要注意弄清讨论的依据，掌握一些基本的分类方法，分类时要做到不重不漏． 含参不等式的解法 解关于x的不等式 ＞1(a≠1)．
【点拨】 先通分，然后对x的系数比0大还是比0小进行讨论，然后还要对两个零点的大小进行讨论．【解】 原不等式可化为： ＞0，思维启迪 本题在求解时，正确地按a的取值进行讨论是关键，特别是a＜1时，转化之后要改变不等号的方向，这要引起同学们的足够重视.解关于x的不等式 ＞x(a∈R)．解与一元二次不等式相关的应用题时，要分析变量与变量之间的关系，构造一元二次不等式的模型，同时要考虑实际问题对未知数的限制 . 应用题型 (本题满分14分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)、g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；
(2)设f(x)＝ x＋10，g(x)＝ ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？【点拨】 本题实际上是解一个一元二次不等式的应用题，关键是由已知条件列出不等式组转化为解一个一元二次不等式．【解】 (1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(4分)
(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当思维启迪 应用题主要考查同学们的阅读分析和依题意建立数学模型的能力，实质上是建立函数与不等式的模型后解不等式. 据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元(a＞0)．(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这100万农民的人均年收入达到最大．【解】 (1)由题意得(100－x)·3 000·(1＋2x%)≥100×3 000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又∵x＞0 ∴0＜x≤50；①当0<25(a＋1)≤50，即0＜a≤1，当x＝25(a＋1)时，y最大；
②当25(a＋1)＞50，即a＞1，函数y在(0,50]单调递增，∴当x＝50时，y取最大值．
答：在0＜a≤1时，安排25(a ＋1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．对于含参数的不等式，应注意参数对不等式解集的影响，往往要恰当的分类讨论，如按二次项系数的符号或按根的大小分类．规律总结学而时习之，不亦说乎？ 第二节 线性规划
1．二元一次不等式表示平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某 的所有点组成的平面区域(半平面)不含 .
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括 .一侧边界线边界线(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值 相同．因此，如果直线Ax＋By＋C＝0一侧的点使Ax＋By＋C>0，另一侧的点就使 .所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任意取 ，将它的 代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．符号Ax＋By＋C<0一点(x0，y0)坐标2．线性规划
(1)基本概念
(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①设出所求的未知数；
②列出约束条件(即不等式组)；
③建立目标函数；
④作出可行域；
⑤运用图解法求出最优解.
1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
【答案】 t＞2．若点P(2,3)，Q(5,1)分别在直线x＋y＋c＝0的两侧，则参数c的取值范围为________．
【解析】 两个点分别位于直线的两侧，那么这两个点代入直线方程后，所得值的符号一正一负，所以有(2＋3＋c)(5＋1＋c)<0?c∈(－6，－5)．
【答案】 (－6，－5)【答案】图6－2－13．不等式组 所表示的平面区域的面积等于________．
【解析】 如图6－2－1 由可得C(1,1)，4．若x，y满足约束条件 则z＝2x－y的最大值为________．
图6－2－2【解析】 如图6－2－2所示，作出可行域，作出直线l0：2x－y＝0，将l0平移至过点A处时，函数z＝2x－y有最大值9.
【答案】 95．实数x，y满足 则z＝3x＋2y的最小值是________．
【解析】 先利用线性规划方法求出z＝x＋2y的最小值．
【答案】 16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．求该企业可获得最大利润是多少？
【解】 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
则有：
目标函数z＝5x＋3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，
经验证知：图6－2－3当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元. 简单的线性规划
用图解法解决简单的线性规划问题先寻找线性约束条件，线性目标函数；再由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域，在可行域内求目标函数的最优解． 设变量x，y满足约束条件 ，求目标函数z＝5x＋y的最大值．【点拨】 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．【解】 如图6－2－4，由图象可知目标函数z＝5x＋y过点A(1,0)时z取得最大值，zmax＝5.图6－2－4思维启迪 解决简单的线性规划问题，要正确画出可行域并利用数形结合来求解，因此画图是解题的关键一环，要重视画图. 最优解问题
根据题意找出约束条件，通过“直线定界，特殊点定域”做出可行域，借助数形结合，将目标函数的最值转化为截距问题，但要注意目标函数与边界函数斜率的情况；有些还要调整最优解．
在如图6－2－5所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，求a的值． 图6－2－5【解】 先对目标函数z＝ax＋y(a>0)变形为y＝－ax＋z，从中可以看出目标函数值z的几何意义为直线y＝－ax＋z的纵截距，若最优解有无数个，则最优解只能在边界上，所以比较目标函数所在直线的斜率k＝－a与三条边界所在直线的斜率kAB＝3，kBC＝ ，kAC＝－1，显然当目标函数所在直线与边界AC重合时即为所求，故a＝1.【点拨】 最优解问题要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到的．思维启迪 最优解往往在图形的顶点，或者在图形的边界（线段）上取得的，有时最优解还可能不止一个，因此要特别注意可行域的几何特征.
求非线性目标函数的最大(小)值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义．最常见的是两点间的距离和斜率公式．非线性问题 实系数方程f(x)＝x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求：(1) 的值域；(2)(a－1)2＋(b－2)2的值域；(3)a＋b－3的值域．【点拨】 将 理解成点(a，b)与点M(1,2)所在直线的斜率，(a－1)2＋(b 内的点(a，b)与点A(1,2)的距离的平方，za＋b－3变形为b＝－a＋(z＋3)，其中(z＋3)为直线的纵截距．
－2)2表示可行域图6－2－6图6－2－6【解】 由题意
?(1)目标函数z＝ 表示连接可行域内的点(a，b)与点M(1,2)所在直线的斜率， ∈(kAM，kCM)＝( ，1)．(2)目标函数z＝(a－1)2＋(b－2)2表示可行域内的点(a，b)与点M(1,2)的距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(|MC|2，|MA|2)＝(8,17)．(3)目标函数z＝a＋b－3变形为b＝－a＋(z＋3)，其中z＋3为直线的纵截距，当直线的纵截距最小时，目标函数最小，当直线的纵截距最大时，目标函数值也最大，所以最优解为边界AB和点C(－1,0)，由于可行域不包含边界，所以目标函数的值域为a＋b－3∈(－5，－4)．思维启迪 将问题转化成几何问题：斜率、距离等等，利用几何意义去考虑，使问题简单化.其中z=x2+y2为非线性目标函数，可以利用几何意义来转化，把x2+y2看作点（x,y）到原点O的距离的平方. 已知x、y满足条件 ，求z＝x2＋y2的最大值和最小值．【解】 在同一坐标系中，作直线x－2y＋7＝0,4x－3y－12＝0，x＋2y－3＝0，再根据不等式组确定可行域为△ABC(如图6－2－7所示)．
图6－2－7图6－2－7 实际应用
线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题． (本题满分14分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？【点拨】 将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型．【解】 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，
则线性约束条件为
目标函数为z＝7x＋12y，(8分)
作出可行域如图6－2－8，(10分)作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝300的交点A(20,24)时，利润最大．(12分)
即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．(14分)思维启迪 解线性规划的应用题需要从已知条件出发建立数学模型，然后利用图解法解决实际问题.在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入参数，除了要有一定的数学知识外，还需阅读能力、抽象概括能力来分析问题，解决问题，当然这些能力的提升需要日积月累. 学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程．A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1 400分钟，研讨时间不得少于1 000分钟．两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？【解】 设选择A、B两套课程分别为x、y次，z为学分，
则 如图6－2－9所示：图6－2－9目标函数z＝5x＋4y
由方程组解得点A(15,25)，B(25,12.5)
由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A(15,25)、C(19,20)、D(23,15)都符合题意，使得学分最高为175分．规律总结 利用线性规划研究实际问题，首先要准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．(2009·安徽卷)若不等式组 所表示的平面区域
直线y＝kx＋ 分为面积相等的两部分，求k的值．被【点拨】 先作出线性区域和直线y＝kx＋ ，利用面积关系求出D点坐标，代入即可求出k的值．【解】 不等式表示的平面区域如图6－2－10所示阴影部分△ABC图6－2－10【误区警示】 有部分学生没有去画图或者画图错误，因此没有发现直线y＝kx＋ 过点C，因此求不出点D的坐标，因而无法求出k的值或求出错误的值．
【命题趋势】 线性规划在教材中的地位决定了它在高考中的地位，所以在高考中多以填空题的形式出现，又由于它的应用比较广泛，所以考得可能性较大．它的内容单一，考纲要求不高，因此复习时不必要深挖洞．学而时习之，不亦说乎？第三节 基本不等式【解析】
【答案】
【答案】
【答案】
【答案】1【答案】【解】求最值
利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即(1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件． 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
【点拨】 利用基本不等式求最值的方法，即：函数式中含变数的各项的和或积必须是常数，这时才能利用基本不等式．【解】由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，思维启迪 两次（多次）使用基本不等式是提连续两次（多次）使用不等式，使用时要注意等号要同时成立。 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
【点拨】 可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．
【解】 思维启迪 本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程
思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法。 不等式证明
运用基本不等式证明时，应根据已知条件适当进行拆、拼、凑、合等变形．要学会创造应用基本不等式的使用情境．【点拨】 观察结构用基本不等式加以证明．
【证明】 ∵a、b、c均为正实数，思维启迪 当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路。“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用，这两个种数学方法是高考考查的重要数学思维方法。【证明】 恒成立问题
对于恒成立问题、存在性问题，要注意对参数的分离和讨论．(1)解关于x的不等式f(x)＞0；
(2)若f(x)＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
【点拨】 基本不等式在恒成立中的运用主要是利用基本不等式求函数的最值．
【解】 思维启迪 本题实质是给定条件求最值，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此要利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和基本不等式求得最值。则正实数a的最小值．
【解】 规律总结
运用基本不等式求最值时，要注意“和定积最大，积定和最小”．当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，且注意取等号的条件的一致性．因此在利用基本不等式时，列出等号成立的条件不但是解题的必要步骤，而且是检验转化是否有误的一种方法．【点拨】 本题要两次运用基本不等式求最小值，但要注意等号成立的条件．
【解】 【误区警示】 本题虽然基本不等式用了两次，但由于等号成立的条件是相同的，因此错误率较低，学生大都能得出正确结果．【命题趋势】 基本不等式是两个正数的和与积的转化依据，不仅可以解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数单调性等还可以解决其它形式的不等式．高考中以考查基本不等式求最值为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，要注意“一正二定三相等”的条件，题型为填空题、解答题均有可能．学而时习之，不亦说乎？进入创新作业做题第四节 不等式的应用不等式的应用贯穿于整个高中数学，诸如集合问题、方程组的解的讨论、函数定义域、值域的确定、函数单调性的研究、三角函数、数列、立体几何中的最值问题、解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等．
1．大致分两类：一是建立不等式后解不等式，二是建立函数关系求最大或最小值．2．建立不等式主要途径：①利用几何意义，②利用基本不等式，③利用函数有异根，④利用函数单调性．不等式的应用既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．
3．用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．1．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上 移动，则xy的最大值为________．
【答案】 3【答案】 43．要做一个长方体无盖的箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果这个箱子的箱底每1 m2的造价为200元，箱子的壁每1 m2的造价为100元，拼接等其它材料是箱底和箱壁总造价的10%，则这个箱子的最低造价为________元．
【解析】 【答案】 8 8004．若不等式|x＋2|＋|x－1|≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，3]
5．若不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则a的取值范围为________．
【解析】 【答案】 a≤06．出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150 cm2，上、下边要留1.5 cm空白，左、右两侧要留1 cm空白，出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？【解】答：应选用12 cm×18 cm的纸张． 几何型
在应用基本不等式解决实际问题时，一般步骤为：一是设变量，一般把要求最值的变量定为函数；二是建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；三是在定义域内，求出函数的最值；四是回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 一变压器的铁芯截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要求十字应具有 cm2的面积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．【点拨】 运用不等式知识解题的关键是建立不等式的关系，其建立的途径常见的有：利用几何意义；利用判别式；应用变量的有界性；应用基本不等式．
【解】 思维启迪 有些题目从形式上看不能使积或和为定值，但通过为变形，可以使积或和为定值，要注意变形技巧（如本题使用的是分离常数）。 数列型
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数、数列及不等式性质等)解决问题． 某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2007年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的.根据测算，该乡每年从两个企业获得的利润达到2 000万元可以解决温饱问题，达到8 100万元可以达到小康水平．(1)若以2007年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
(2)试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
【点拨】 经审题抽象出数列模型．先利用数列知识列出利润与年数之间的数列(函数)关系，然后利用基本不等式，要注意等号成立的条件，此时n的值必须取正整数．
【解】 (1)若以2007年为第一年，则第n年该乡从这两家企业获得的利润为思维启迪 本题重点考查数列的相关知识，基本不等式起到了工具性的作用。 构建不等式
应用基本不等式解决实际问题，关键是要理解题意，设变量；设变量时一般把要求最值的变量为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内求出函数的最值． 5.12四川汶川大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32 000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；
(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
【点拨】 本题主要是利用基本不等式构建不等式，再解出新构建的不等式，从而求出对应的范围，确定函数的最值．
【解】 (1)p＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy
即p＝900x＋400y＋200xy.(2)S＝x·y，且p≤32 000；答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为 米.思维启迪 不等式的应用广泛且灵活，在具体问题的处理中，一要审清题意，二要灵活应用不等式的有关知识。 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图6－4－3所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/米．中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解】 设污水处理池的长为x米，则宽为 米，再设总造价为y元，则有 参数型
需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了基本不等式定理．不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，还要注意不等式性质的适用条件． (本题满分16分)(2009·苏北四市联考)有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车身长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋ l(k为正的常数)，假定车身长为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长．(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；
(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？【点拨】 本题含有的参数比较多，可以将车长l作为已知数，最后可以约掉，在处理分式型的函数最值时，要注意代数式变形．
【解】 思维启迪 本题是课本上习题的改编题，含有的参数比较多，考查基本不等式及代数式的变形。在一轮复习时，要特别重视课本上的原题以及改编题，要注意回归课本。 如图6－4－4，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，其中AB长为定值a，BD长可根据需要进行调节(BC足够长)．现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值 称为“草花比y”(1)设∠DAB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
(2)当BE为多长时，y有最小值？最小值是多少？
【解】 规律总结
基本不等式解决实际问题时要注意三点：一是设变量时一般把要求最值的变量定为函数；二是建立相应的函数关系式时要确定函数的定义域(即注意变量的实际意义)；三是在定义域内求出函数的最值，并回到实际问题，注意写出实际问题的答案．(2009·湖北卷)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图6－4－5所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【点拨】 本题主要考查函数和不等式等基础知识，考查均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．先用x表示另一边长，然后用x的代数式来表示y，再用基本不等式求解．【解】 (1)如题图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．【误区警示】 本题难度不大，学生出现失误的原因有两个：一是计算y时忘记去掉宽度为2 m的进出口；二是把旧墙的费用按新墙的费用算进y中．
【命题趋势】 不等式的应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一．不等式的应用在高考中主要体现在解决实际问题上，应用题在近几年高考中出现不是太多，但考查的可能性却在逐渐增强．另外要注意基本不等式与解析几何、三角函数、甚至是与立体几何的结合，高中众多的数学内容都与不等式有着密切的关系．学而时习之，不亦说乎？
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．
当a＞0时，解集为 ；
当a＜0时，解集为 ．{x|x＞ }{x|x＜ }2．一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，再根据“大于取 ，小于取 ”求解集.两边中间若a＜0时，可以先将二次项系数化成正数，对照上表求解．
3．一元二次不等式恒成立情况小结
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 ? .
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立? .1．不等式x2>x的解集是________．
【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞)
2．不等式4x2－4x＋1＞0的解集是________．
【答案】 {x|x≠ }3．不等式 >1的解集为________．
4．已知集合M＝{x|1＋x>0}，N＝{x|>0}，则M∩N＝________.
【答案】 {x|－1＜x＜2}【答案】 {x|－3
已知一元二次不等式的解集求系数的
基本思路是：由不等式的解集求出根，再
由韦达定理求系数．解不等式 已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
【解】 解法一 ∵(x－2)(x－4)<0即－x2＋6x－8>0，∴不妨假设a＝－1，b＝6，c＝－8，则cx2＋bx＋a<0即为－8x2＋6x－1<0，解得{x|x> 或x< }．思维启迪 不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
当对数式中a>0且a≠1，借助于单调性进行分类讨论，即分a＞1时与0＜a＜1时两种情况．【点拨】【解】 (1)当a＞1时，思维启迪 解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.解含参数的不等式时，往往要根据参数的取值范围进行分类讨论，难点在于如何进行恰当的分类，要注意弄清讨论的依据，掌握一些基本的分类方法，分类时要做到不重不漏． 含参不等式的解法 解关于x的不等式 ＞1(a≠1)．
【点拨】 先通分，然后对x的系数比0大还是比0小进行讨论，然后还要对两个零点的大小进行讨论．【解】 原不等式可化为： ＞0，思维启迪 本题在求解时，正确地按a的取值进行讨论是关键，特别是a＜1时，转化之后要改变不等号的方向，这要引起同学们的足够重视.解关于x的不等式 ＞x(a∈R)．解与一元二次不等式相关的应用题时，要分析变量与变量之间的关系，构造一元二次不等式的模型，同时要考虑实际问题对未知数的限制 . 应用题型 (本题满分14分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)、g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；
(2)设f(x)＝ x＋10，g(x)＝ ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？【点拨】 本题实际上是解一个一元二次不等式的应用题，关键是由已知条件列出不等式组转化为解一个一元二次不等式．【解】 (1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(4分)
(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当思维启迪 应用题主要考查同学们的阅读分析和依题意建立数学模型的能力，实质上是建立函数与不等式的模型后解不等式. 据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元(a＞0)．(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这100万农民的人均年收入达到最大．【解】 (1)由题意得(100－x)·3 000·(1＋2x%)≥100×3 000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又∵x＞0 ∴0＜x≤50；①当0<25(a＋1)≤50，即0＜a≤1，当x＝25(a＋1)时，y最大；
②当25(a＋1)＞50，即a＞1，函数y在(0,50]单调递增，∴当x＝50时，y取最大值．
答：在0＜a≤1时，安排25(a ＋1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．对于含参数的不等式，应注意参数对不等式解集的影响，往往要恰当的分类讨论，如按二次项系数的符号或按根的大小分类．规律总结学而时习之，不亦说乎？ 第二节 线性规划
1．二元一次不等式表示平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某 的所有点组成的平面区域(半平面)不含 .
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括 .一侧边界线边界线(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值 相同．因此，如果直线Ax＋By＋C＝0一侧的点使Ax＋By＋C>0，另一侧的点就使 .所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任意取 ，将它的 代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．符号Ax＋By＋C<0一点(x0，y0)坐标2．线性规划
(1)基本概念
(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①设出所求的未知数；
②列出约束条件(即不等式组)；
③建立目标函数；
④作出可行域；
⑤运用图解法求出最优解.
1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
【答案】 t＞2．若点P(2,3)，Q(5,1)分别在直线x＋y＋c＝0的两侧，则参数c的取值范围为________．
【解析】 两个点分别位于直线的两侧，那么这两个点代入直线方程后，所得值的符号一正一负，所以有(2＋3＋c)(5＋1＋c)<0?c∈(－6，－5)．
【答案】 (－6，－5)【答案】图6－2－13．不等式组 所表示的平面区域的面积等于________．
【解析】 如图6－2－1 由可得C(1,1)，4．若x，y满足约束条件 则z＝2x－y的最大值为________．
图6－2－2【解析】 如图6－2－2所示，作出可行域，作出直线l0：2x－y＝0，将l0平移至过点A处时，函数z＝2x－y有最大值9.
【答案】 95．实数x，y满足 则z＝3x＋2y的最小值是________．
【解析】 先利用线性规划方法求出z＝x＋2y的最小值．
【答案】 16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．求该企业可获得最大利润是多少？
【解】 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
则有：
目标函数z＝5x＋3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，
经验证知：图6－2－3当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元. 简单的线性规划
用图解法解决简单的线性规划问题先寻找线性约束条件，线性目标函数；再由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域，在可行域内求目标函数的最优解． 设变量x，y满足约束条件 ，求目标函数z＝5x＋y的最大值．【点拨】 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．【解】 如图6－2－4，由图象可知目标函数z＝5x＋y过点A(1,0)时z取得最大值，zmax＝5.图6－2－4思维启迪 解决简单的线性规划问题，要正确画出可行域并利用数形结合来求解，因此画图是解题的关键一环，要重视画图. 最优解问题
根据题意找出约束条件，通过“直线定界，特殊点定域”做出可行域，借助数形结合，将目标函数的最值转化为截距问题，但要注意目标函数与边界函数斜率的情况；有些还要调整最优解．
在如图6－2－5所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，求a的值． 图6－2－5【解】 先对目标函数z＝ax＋y(a>0)变形为y＝－ax＋z，从中可以看出目标函数值z的几何意义为直线y＝－ax＋z的纵截距，若最优解有无数个，则最优解只能在边界上，所以比较目标函数所在直线的斜率k＝－a与三条边界所在直线的斜率kAB＝3，kBC＝ ，kAC＝－1，显然当目标函数所在直线与边界AC重合时即为所求，故a＝1.【点拨】 最优解问题要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到的．思维启迪 最优解往往在图形的顶点，或者在图形的边界（线段）上取得的，有时最优解还可能不止一个，因此要特别注意可行域的几何特征.
求非线性目标函数的最大(小)值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义．最常见的是两点间的距离和斜率公式．非线性问题 实系数方程f(x)＝x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求：(1) 的值域；(2)(a－1)2＋(b－2)2的值域；(3)a＋b－3的值域．【点拨】 将 理解成点(a，b)与点M(1,2)所在直线的斜率，(a－1)2＋(b 内的点(a，b)与点A(1,2)的距离的平方，za＋b－3变形为b＝－a＋(z＋3)，其中(z＋3)为直线的纵截距．
－2)2表示可行域图6－2－6图6－2－6【解】 由题意
?(1)目标函数z＝ 表示连接可行域内的点(a，b)与点M(1,2)所在直线的斜率， ∈(kAM，kCM)＝( ，1)．(2)目标函数z＝(a－1)2＋(b－2)2表示可行域内的点(a，b)与点M(1,2)的距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(|MC|2，|MA|2)＝(8,17)．(3)目标函数z＝a＋b－3变形为b＝－a＋(z＋3)，其中z＋3为直线的纵截距，当直线的纵截距最小时，目标函数最小，当直线的纵截距最大时，目标函数值也最大，所以最优解为边界AB和点C(－1,0)，由于可行域不包含边界，所以目标函数的值域为a＋b－3∈(－5，－4)．思维启迪 将问题转化成几何问题：斜率、距离等等，利用几何意义去考虑，使问题简单化.其中z=x2+y2为非线性目标函数，可以利用几何意义来转化，把x2+y2看作点（x,y）到原点O的距离的平方. 已知x、y满足条件 ，求z＝x2＋y2的最大值和最小值．【解】 在同一坐标系中，作直线x－2y＋7＝0,4x－3y－12＝0，x＋2y－3＝0，再根据不等式组确定可行域为△ABC(如图6－2－7所示)．
图6－2－7图6－2－7 实际应用
线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题． (本题满分14分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？【点拨】 将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型．【解】 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，
则线性约束条件为
目标函数为z＝7x＋12y，(8分)
作出可行域如图6－2－8，(10分)作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝300的交点A(20,24)时，利润最大．(12分)
即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．(14分)思维启迪 解线性规划的应用题需要从已知条件出发建立数学模型，然后利用图解法解决实际问题.在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入参数，除了要有一定的数学知识外，还需阅读能力、抽象概括能力来分析问题，解决问题，当然这些能力的提升需要日积月累. 学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程．A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1 400分钟，研讨时间不得少于1 000分钟．两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？【解】 设选择A、B两套课程分别为x、y次，z为学分，
则 如图6－2－9所示：图6－2－9目标函数z＝5x＋4y
由方程组解得点A(15,25)，B(25,12.5)
由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A(15,25)、C(19,20)、D(23,15)都符合题意，使得学分最高为175分．规律总结 利用线性规划研究实际问题，首先要准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．(2009·安徽卷)若不等式组 所表示的平面区域
直线y＝kx＋ 分为面积相等的两部分，求k的值．被【点拨】 先作出线性区域和直线y＝kx＋ ，利用面积关系求出D点坐标，代入即可求出k的值．【解】 不等式表示的平面区域如图6－2－10所示阴影部分△ABC图6－2－10【误区警示】 有部分学生没有去画图或者画图错误，因此没有发现直线y＝kx＋ 过点C，因此求不出点D的坐标，因而无法求出k的值或求出错误的值．
【命题趋势】 线性规划在教材中的地位决定了它在高考中的地位，所以在高考中多以填空题的形式出现，又由于它的应用比较广泛，所以考得可能性较大．它的内容单一，考纲要求不高，因此复习时不必要深挖洞．学而时习之，不亦说乎？第三节 基本不等式【解析】
【答案】
【答案】
【答案】
【答案】1【答案】【解】求最值
利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即(1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件． 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
【点拨】 利用基本不等式求最值的方法，即：函数式中含变数的各项的和或积必须是常数，这时才能利用基本不等式．【解】由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，思维启迪 两次（多次）使用基本不等式是提连续两次（多次）使用不等式，使用时要注意等号要同时成立。 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
【点拨】 可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．
【解】 思维启迪 本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程
思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法。 不等式证明
运用基本不等式证明时，应根据已知条件适当进行拆、拼、凑、合等变形．要学会创造应用基本不等式的使用情境．【点拨】 观察结构用基本不等式加以证明．
【证明】 ∵a、b、c均为正实数，思维启迪 当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路。“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用，这两个种数学方法是高考考查的重要数学思维方法。【证明】 恒成立问题
对于恒成立问题、存在性问题，要注意对参数的分离和讨论．(1)解关于x的不等式f(x)＞0；
(2)若f(x)＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
【点拨】 基本不等式在恒成立中的运用主要是利用基本不等式求函数的最值．
【解】 思维启迪 本题实质是给定条件求最值，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此要利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和基本不等式求得最值。则正实数a的最小值．
【解】 规律总结
运用基本不等式求最值时，要注意“和定积最大，积定和最小”．当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，且注意取等号的条件的一致性．因此在利用基本不等式时，列出等号成立的条件不但是解题的必要步骤，而且是检验转化是否有误的一种方法．【点拨】 本题要两次运用基本不等式求最小值，但要注意等号成立的条件．
【解】 【误区警示】 本题虽然基本不等式用了两次，但由于等号成立的条件是相同的，因此错误率较低，学生大都能得出正确结果．【命题趋势】 基本不等式是两个正数的和与积的转化依据，不仅可以解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数单调性等还可以解决其它形式的不等式．高考中以考查基本不等式求最值为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，要注意“一正二定三相等”的条件，题型为填空题、解答题均有可能．学而时习之，不亦说乎？进入创新作业做题第四节 不等式的应用不等式的应用贯穿于整个高中数学，诸如集合问题、方程组的解的讨论、函数定义域、值域的确定、函数单调性的研究、三角函数、数列、立体几何中的最值问题、解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等．
1．大致分两类：一是建立不等式后解不等式，二是建立函数关系求最大或最小值．2．建立不等式主要途径：①利用几何意义，②利用基本不等式，③利用函数有异根，④利用函数单调性．不等式的应用既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．
3．用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．1．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上 移动，则xy的最大值为________．
【答案】 3【答案】 43．要做一个长方体无盖的箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果这个箱子的箱底每1 m2的造价为200元，箱子的壁每1 m2的造价为100元，拼接等其它材料是箱底和箱壁总造价的10%，则这个箱子的最低造价为________元．
【解析】 【答案】 8 8004．若不等式|x＋2|＋|x－1|≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，3]
5．若不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则a的取值范围为________．
【解析】 【答案】 a≤06．出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150 cm2，上、下边要留1.5 cm空白，左、右两侧要留1 cm空白，出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？【解】答：应选用12 cm×18 cm的纸张． 几何型
在应用基本不等式解决实际问题时，一般步骤为：一是设变量，一般把要求最值的变量定为函数；二是建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；三是在定义域内，求出函数的最值；四是回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 一变压器的铁芯截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要求十字应具有 cm2的面积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．【点拨】 运用不等式知识解题的关键是建立不等式的关系，其建立的途径常见的有：利用几何意义；利用判别式；应用变量的有界性；应用基本不等式．
【解】 思维启迪 有些题目从形式上看不能使积或和为定值，但通过为变形，可以使积或和为定值，要注意变形技巧（如本题使用的是分离常数）。 数列型
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数、数列及不等式性质等)解决问题． 某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2007年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的.根据测算，该乡每年从两个企业获得的利润达到2 000万元可以解决温饱问题，达到8 100万元可以达到小康水平．(1)若以2007年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
(2)试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
【点拨】 经审题抽象出数列模型．先利用数列知识列出利润与年数之间的数列(函数)关系，然后利用基本不等式，要注意等号成立的条件，此时n的值必须取正整数．
【解】 (1)若以2007年为第一年，则第n年该乡从这两家企业获得的利润为思维启迪 本题重点考查数列的相关知识，基本不等式起到了工具性的作用。 构建不等式
应用基本不等式解决实际问题，关键是要理解题意，设变量；设变量时一般把要求最值的变量为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内求出函数的最值． 5.12四川汶川大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32 000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；
(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
【点拨】 本题主要是利用基本不等式构建不等式，再解出新构建的不等式，从而求出对应的范围，确定函数的最值．
【解】 (1)p＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy
即p＝900x＋400y＋200xy.(2)S＝x·y，且p≤32 000；答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为 米.思维启迪 不等式的应用广泛且灵活，在具体问题的处理中，一要审清题意，二要灵活应用不等式的有关知识。 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图6－4－3所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/米．中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解】 设污水处理池的长为x米，则宽为 米，再设总造价为y元，则有 参数型
需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了基本不等式定理．不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，还要注意不等式性质的适用条件． (本题满分16分)(2009·苏北四市联考)有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车身长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋ l(k为正的常数)，假定车身长为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长．(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；
(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？【点拨】 本题含有的参数比较多，可以将车长l作为已知数，最后可以约掉，在处理分式型的函数最值时，要注意代数式变形．
【解】 思维启迪 本题是课本上习题的改编题，含有的参数比较多，考查基本不等式及代数式的变形。在一轮复习时，要特别重视课本上的原题以及改编题，要注意回归课本。 如图6－4－4，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，其中AB长为定值a，BD长可根据需要进行调节(BC足够长)．现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值 称为“草花比y”(1)设∠DAB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
(2)当BE为多长时，y有最小值？最小值是多少？
【解】 规律总结
基本不等式解决实际问题时要注意三点：一是设变量时一般把要求最值的变量定为函数；二是建立相应的函数关系式时要确定函数的定义域(即注意变量的实际意义)；三是在定义域内求出函数的最值，并回到实际问题，注意写出实际问题的答案．(2009·湖北卷)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图6－4－5所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【点拨】 本题主要考查函数和不等式等基础知识，考查均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．先用x表示另一边长，然后用x的代数式来表示y，再用基本不等式求解．【解】 (1)如题图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．【误区警示】 本题难度不大，学生出现失误的原因有两个：一是计算y时忘记去掉宽度为2 m的进出口；二是把旧墙的费用按新墙的费用算进y中．
【命题趋势】 不等式的应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一．不等式的应用在高考中主要体现在解决实际问题上，应用题在近几年高考中出现不是太多，但考查的可能性却在逐渐增强．另外要注意基本不等式与解析几何、三角函数、甚至是与立体几何的结合，高中众多的数学内容都与不等式有着密切的关系．学而时习之，不亦说乎？