直线方程的两点式（教案）
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§3.2.2 直线的两点式方程
临沂七中 高永刚
一、【教学目标】
1、知识与技能
（１）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（２）理解直线方程截距式的形式特点及适用范围；
（３）掌握中点坐标公式．
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，通过经历直线的两点式方程的发现过程，提高学生分析、比较、概括的数学能力．
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题．
二、【教学重点、难点】
1、重点：直线方程两点式．
2、难点：两点式推导过程的理解
三、【复习引入】
（在前几节课，我们学习了直线的斜率计算公式以及直线的点斜式方程，并要求大家熟练掌握．请同学们完成讲义上的复习引入4个题目．（巡视一周））
1、已知直线过两点（其中），则直线斜率为；
2、直线的点斜式方程：；斜截式方程：；
3、在直线方程的斜截式中，的几何意义是直线在轴上截距．
4、已知直线经过两点，，求直线的点斜式方程．
解：因为直线经过两点，，所以直线的斜率为
由直线的点斜式得：取，直线的点斜式方程为
取，直线的点斜式方程为
（由上述第４题的解答，我们可以看出，已知直线上两点坐标，便可得到直线方程，这也就是我们通常所说的“两点确定一条直线”，那么，能否将的坐标推广到一般情形来确定直线的方程呢 这也就是我们这节课将要研究解决的主要问题．（展示学习目标，并板书本节课题））
（首先来探究一下直线的两点式方程，请看问题1.）
四、【新课讲授】
1、直线的两点式方程：
问题1：设直线经过两点其中，则该直线的点斜式方程如何？
解：当时，所求直线的斜率，任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得直线的方程：
（在问题1的解答的基础再来看问题2）
问题2：在点斜式方程中，当时方程可化为，该方程结构形式有什么特点？点的坐标满足该方程么？
答案：该方程的结构形式特点为：
左边全为纵坐标，右边全为横坐标；两边的分母全为常数；分子分母的减数相同．
当点的坐标满足时，点的坐标满足该方程．
说明：由于方程（其中，）是由两点的坐标确定，所以我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。
注意：若两点中，有或时，由直线不能用两点式方程来表示．原因是什么？该直线方程又该如何表示？
答案：（作图解释）方程为或．
思考：直线的两点式方程的适用范围是什么？哪些直线不能用两点式来表示？
答案：两点式方程适用范围是，．
当直线斜率不存在()或斜率为0（）时,即与坐标轴垂直的直线不能用两点式来表示．
（给大家三十秒钟的时间再对刚才所研究的内容进一步巩固，特别是两点式方程的记忆．完成练习一，稍后找同学回答结果！（展示练习一，板书两点式方程））
练习一：
写出过下列两点的直线的两点式方程：（学生口答）
（1）M（2，1），N（0，－3） （2）A（5，0），B（0，5）
答案：（1） （2）
（在刚才的练习（2）中，能不将A、B两点推广到一般情形来确定直线方程呢？请看知识探究二中的问题1.）
2、直线的截距式方程：
问题1：若直线与轴交于点，与轴交于点，其中（，则直线的方程如何？
答案：将A，B两点的坐标代入两点式，得，
化简得直线的方程为
问题2：若直线方程为，其中与有何几何意义？
答案：叫做直线在轴上的截距；叫做直线在轴上的截距．
问题3：方程由直线l在两个坐标轴上的非零截距与确定的，因此叫做直线的截距式方程。下列直线能用截距式表示的：（A），不能用截距式表示的：（B）（C）（D）
思考：直线的截距式方程的适用范围是什么？哪些直线不能用截距式来表示？
答案：截距式方程适用范围是，其中过原点的直线以及与坐标轴垂直的直线不能用截距式表示．
（给大家三十秒钟的时间再对刚才所研究的内容进一步巩固，特别是截距式方程的记忆．完成练习二，稍后找同学回答结果！（展示练习二，板书直线的截距式方程））
练习二：
根据下列条件，写出直线的截距式方程（学生口答）
（1）在轴上的截距是2,在轴上的截距是3；
（2）在轴上的截距是,在轴上的截距是6
答案：
（以上我们双探究了直线方程的两种形式，请大家再记一下，展示“知识再现”（三十秒钟））
（下面我们可以通过例题进一步熟悉各种直线方程形式的应用．（展示例题并对例题进行分析，明确解答思路））
3、应用举例：
例：已知三角形的三个顶点A（－5,0），B（3，－3），C（0，2），求AC边所在直线的方程，以及BC边上中线所在直线的方程．
解：（1）法一：将A，C两点代入两点式，得
，整理化简，得：，
这就是AC边所在直线的方程．
法二：因为直线AC在轴上的截距为－5，在轴上的截距为2，由截距式得
，整理化简，得：
即直线AC的方程为：
（2）设BC的中点为M（x，y），
由中点坐标公式，得
M（，即M（）
中线AM所在的直线方程为：，整理，得：
这就是BC边上中线所在直线的方程．
（此题目在求直线方程时采用多种方法求解，体现了直线方程多种形式应用的灵活性，希望同学们要予以重视.在解答这类问题时，要选择一种最简单而且适合自己方便解题的方法进行解答，这样解答问题能节约时间．）
4、中点坐标公式：
若两点，且线段的中点，则有．此公式称为线段的中点坐标公式．
（给大家三十秒钟的时间对中点坐标公式进行理解记忆．完成练习三，同桌之间，左边的解第１题，右边的解第２题，找两位同学到黑板上来完成！（展示练习三，巡视四周并适当做辅导！））
练习三：（学生板演）
（1）已知点A（－5,0），B（1，2），求线段AB的垂直平分线的方程．
解：由中点坐标公式可得线段AB中点M（），即M（－2，1）
又由点A（－5,0），B（1，2）可得
所以线段AB的垂直平分线的斜率
由点斜式得线段AB的垂直平分线的方程：
即
（2）已知点A（－3,5），B（5，－1），求过线段AB中点且与直线平行的直线方程．
解：由中点坐标公式可得线段AB中点M（），即M（1，2）
又直线AB与直线平行，
所以直线AB的斜率
由点斜式得直线AB的方程：
即
（点评结果，直线方程的最后结果可以写成点斜式、斜截式或截距式，一般不写两点式，两点式只是得到直线方程的一个过程方法。当我们学完下一节内容时，最后结果就严格要求写成等号右边为0的形式或是斜截式形式。）
五、【随堂练习】
1．过点（2，4）可作在轴、轴上的截距相等的直线共（ B ）
（A）一条 （B）两条 （C）三条 （D）四条
2．过两点（2，4），（2，－5）的直线方程为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
3．在轴上截距分别是－3，4的直线方程是（ A ）
（A） （B）
（C） （D）
4．已知点A （1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ C ）
（A） （B）
（C） （D）
5．已知直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和等于12，求直线的方程．
解：由题意可设直线的方程为；
因为直线过点（－3，4），所以 （1）
又直线在两坐标轴上的截距之和等于12
所以 （2）
由（1），（2）可得或
所以直线的方程为：或
即或
六、【小结】
1．本节课我们重点学习了直线的两点式和截距式方程以及中点坐标公式．其中两点式方程以及截距式方程，一定要记准方程结构的形式以及它们的使用范围，并能做到灵活运用.
2．到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？完成下表（课下作业）：
方程形式 直线方程 适用范围 局限性
点斜式 直线斜率存在 不能表示与轴垂直的直线
斜截式 直线斜率存在 不能表示与轴垂直的直线
两点式 ， 不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式 不能表示过原点的直线以及与坐标轴垂直的直线
七、【作业】
（一）必做题：
1．三角形的顶点是A(－5,0)、B（3，－3）、C（0，2）．求AB边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
2．菱形的两条对角线分别位于轴和轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．
（二）选做题（二选一）：
1．求经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．
2．一条光线从点P（6，4）射出，与轴相交于点Q（2，0），经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
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§3.2.2 直线的两点式方程
临沂七中 高永刚
一、【教学目标】
1、知识与技能
（１）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（２）理解直线方程截距式的形式特点及适用范围；
（３）掌握中点坐标公式．
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，通过经历直线的两点式方程的发现过程，提高学生分析、比较、概括的数学能力．
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题．
二、【教学重点、难点】
1、重点：直线方程两点式．
2、难点：两点式推导过程的理解
三、【复习引入】
（在前几节课，我们学习了直线的斜率计算公式以及直线的点斜式方程，并要求大家熟练掌握．请同学们完成讲义上的复习引入4个题目．（巡视一周））
1、已知直线过两点（其中），则直线斜率为；
2、直线的点斜式方程：；斜截式方程：；
3、在直线方程的斜截式中，的几何意义是直线在轴上截距．
4、已知直线经过两点，，求直线的点斜式方程．
解：因为直线经过两点，，所以直线的斜率为
由直线的点斜式得：取，直线的点斜式方程为
取，直线的点斜式方程为
（由上述第４题的解答，我们可以看出，已知直线上两点坐标，便可得到直线方程，这也就是我们通常所说的“两点确定一条直线”，那么，能否将的坐标推广到一般情形来确定直线的方程呢 这也就是我们这节课将要研究解决的主要问题．（展示学习目标，并板书本节课题））
（首先来探究一下直线的两点式方程，请看问题1.）
四、【新课讲授】
1、直线的两点式方程：
问题1：设直线经过两点其中，则该直线的点斜式方程如何？
解：当时，所求直线的斜率，任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得直线的方程：
（在问题1的解答的基础再来看问题2）
问题2：在点斜式方程中，当时方程可化为，该方程结构形式有什么特点？点的坐标满足该方程么？
答案：该方程的结构形式特点为：
左边全为纵坐标，右边全为横坐标；两边的分母全为常数；分子分母的减数相同．
当点的坐标满足时，点的坐标满足该方程．
说明：由于方程（其中，）是由两点的坐标确定，所以我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。
注意：若两点中，有或时，由直线不能用两点式方程来表示．原因是什么？该直线方程又该如何表示？
答案：（作图解释）方程为或．
思考：直线的两点式方程的适用范围是什么？哪些直线不能用两点式来表示？
答案：两点式方程适用范围是，．
当直线斜率不存在()或斜率为0（）时,即与坐标轴垂直的直线不能用两点式来表示．
（给大家三十秒钟的时间再对刚才所研究的内容进一步巩固，特别是两点式方程的记忆．完成练习一，稍后找同学回答结果！（展示练习一，板书两点式方程））
练习一：
写出过下列两点的直线的两点式方程：（学生口答）
（1）M（2，1），N（0，－3） （2）A（5，0），B（0，5）
答案：（1） （2）
（在刚才的练习（2）中，能不将A、B两点推广到一般情形来确定直线方程呢？请看知识探究二中的问题1.）
2、直线的截距式方程：
问题1：若直线与轴交于点，与轴交于点，其中（，则直线的方程如何？
答案：将A，B两点的坐标代入两点式，得，
化简得直线的方程为
问题2：若直线方程为，其中与有何几何意义？
答案：叫做直线在轴上的截距；叫做直线在轴上的截距．
问题3：方程由直线l在两个坐标轴上的非零截距与确定的，因此叫做直线的截距式方程。下列直线能用截距式表示的：（A），不能用截距式表示的：（B）（C）（D）
思考：直线的截距式方程的适用范围是什么？哪些直线不能用截距式来表示？
答案：截距式方程适用范围是，其中过原点的直线以及与坐标轴垂直的直线不能用截距式表示．
（给大家三十秒钟的时间再对刚才所研究的内容进一步巩固，特别是截距式方程的记忆．完成练习二，稍后找同学回答结果！（展示练习二，板书直线的截距式方程））
练习二：
根据下列条件，写出直线的截距式方程（学生口答）
（1）在轴上的截距是2,在轴上的截距是3；
（2）在轴上的截距是,在轴上的截距是6
答案：
（以上我们双探究了直线方程的两种形式，请大家再记一下，展示“知识再现”（三十秒钟））
（下面我们可以通过例题进一步熟悉各种直线方程形式的应用．（展示例题并对例题进行分析，明确解答思路））
3、应用举例：
例：已知三角形的三个顶点A（－5,0），B（3，－3），C（0，2），求AC边所在直线的方程，以及BC边上中线所在直线的方程．
解：（1）法一：将A，C两点代入两点式，得
，整理化简，得：，
这就是AC边所在直线的方程．
法二：因为直线AC在轴上的截距为－5，在轴上的截距为2，由截距式得
，整理化简，得：
即直线AC的方程为：
（2）设BC的中点为M（x，y），
由中点坐标公式，得
M（，即M（）
中线AM所在的直线方程为：，整理，得：
这就是BC边上中线所在直线的方程．
（此题目在求直线方程时采用多种方法求解，体现了直线方程多种形式应用的灵活性，希望同学们要予以重视.在解答这类问题时，要选择一种最简单而且适合自己方便解题的方法进行解答，这样解答问题能节约时间．）
4、中点坐标公式：
若两点，且线段的中点，则有．此公式称为线段的中点坐标公式．
（给大家三十秒钟的时间对中点坐标公式进行理解记忆．完成练习三，同桌之间，左边的解第１题，右边的解第２题，找两位同学到黑板上来完成！（展示练习三，巡视四周并适当做辅导！））
练习三：（学生板演）
（1）已知点A（－5,0），B（1，2），求线段AB的垂直平分线的方程．
解：由中点坐标公式可得线段AB中点M（），即M（－2，1）
又由点A（－5,0），B（1，2）可得
所以线段AB的垂直平分线的斜率
由点斜式得线段AB的垂直平分线的方程：
即
（2）已知点A（－3,5），B（5，－1），求过线段AB中点且与直线平行的直线方程．
解：由中点坐标公式可得线段AB中点M（），即M（1，2）
又直线AB与直线平行，
所以直线AB的斜率
由点斜式得直线AB的方程：
即
（点评结果，直线方程的最后结果可以写成点斜式、斜截式或截距式，一般不写两点式，两点式只是得到直线方程的一个过程方法。当我们学完下一节内容时，最后结果就严格要求写成等号右边为0的形式或是斜截式形式。）
五、【随堂练习】
1．过点（2，4）可作在轴、轴上的截距相等的直线共（ B ）
（A）一条 （B）两条 （C）三条 （D）四条
2．过两点（2，4），（2，－5）的直线方程为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
3．在轴上截距分别是－3，4的直线方程是（ A ）
（A） （B）
（C） （D）
4．已知点A （1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ C ）
（A） （B）
（C） （D）
5．已知直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和等于12，求直线的方程．
解：由题意可设直线的方程为；
因为直线过点（－3，4），所以 （1）
又直线在两坐标轴上的截距之和等于12
所以 （2）
由（1），（2）可得或
所以直线的方程为：或
即或
六、【小结】
1．本节课我们重点学习了直线的两点式和截距式方程以及中点坐标公式．其中两点式方程以及截距式方程，一定要记准方程结构的形式以及它们的使用范围，并能做到灵活运用.
2．到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？完成下表（课下作业）：
方程形式 直线方程 适用范围 局限性
点斜式 直线斜率存在 不能表示与轴垂直的直线
斜截式 直线斜率存在 不能表示与轴垂直的直线
两点式 ， 不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式 不能表示过原点的直线以及与坐标轴垂直的直线
七、【作业】
（一）必做题：
1．三角形的顶点是A(－5,0)、B（3，－3）、C（0，2）．求AB边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
2．菱形的两条对角线分别位于轴和轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．
（二）选做题（二选一）：
1．求经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．
2．一条光线从点P（6，4）射出，与轴相交于点Q（2，0），经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
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