江苏省常州市第一中学2009-2010学年度第二学期期末考试高二年级数学(理科)

常州市第一中学2009-2010学年度第二学期期末考试
高二年级数学(理科)
本试卷共20题,满分为160分,考试时间为120分钟
填充题(本大题共14个小题,每小题5分,计70分)
1.已知,则 6
2.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是　　 　.
3. 曲线：上的点到曲线：上的点的最短距离为 1 ．
4.设随机变量的分布列为,则的值为
5.已知的三个顶点坐标为,则边上的中线长为
3
6.如图,在空间四边形中,已知是线段的中点,是的中点,若分别记为,则用表示的结果为 .
7.从中归纳出的一般结论为: .
8. 设矩阵的逆矩阵为, 则= 0 .
9.甲乙两队进行排球比赛,采用五局三胜制,已知每局比赛中甲胜的概率为,乙胜的概率为,则在甲队以2:0领先的情况下,乙队获胜的概率为 .
10.在平面上画条直线,且任何两条直线都相交,任何三条直线都不共点.设这条直线将平面分成个部分,则= .
11.一个与自然数有关的命题,若时命题成立可以推出时命题也成立.现已知时该命题不成立,那么下列结论正确的是: ③ ⑤ (填上所有正确命题的序号)①时该命题一定不成立;②时该命题一定成立;③时该命题一定不成立;④至少存在一个自然数,使时该命题成立;⑤该命题可能对所有自然数都不成立
12.若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 11 种．
13.把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛，不同的比赛分配方法有 72 种（混合双打是1男1女对1男1女，用数字作答）。
14.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．
二.解答题(本大题共6个小题,计90分)
15.(本题15分)某班从4名男同学和2名女同学中任选3人参加全校举行的“八荣八耻”教育演讲赛。如果设随机变量表示所选3人中女同学的人数. (1)若,求共有不同选法的种数; (2)求的分布列和数学期望； (3)求“”的概率。
解: (1),所以共有不同选法的种数为16; …………4分
(2) 易知可能取的值为．
所以，的分布列为
0 1 2
P
………………………10分
(2) 的数学期望为： ； ………………………12分
(3) “所选3人中女同学人数”的概率为：
。………15分
16.(本题16分)已知二项式的展开式中前三项的系数成等差数列．
(1)求的值;
(2)设.
①求的值; ②求的值; ③求的最大值.
解:（1）由题设，得 ， ………………………3分
即，解得n＝8，n＝1（舍去）．……………………4分
(2) ①,令………………………7分
②在等式的两边取,得………………………10分
③设第r＋1的系数最大，则…………………12分
即 解得r＝2或r＝3． …………………………14分
所以系数最大值为．………………16分
17. (本题15分)已知矩阵,且. (1)求实数的值;
(2)求的特征值及对应的特征向量; (3)计算.
解: (1) ………………………3分
(2)由………………………5分
设可取…………9分
(3) 令………………………13分
所以………………………15分
18. (本题14分)如图，已知、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. (1)求证：∥平面；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.
解:以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、、、、 …2分
(1)由上得、、，设得
解得， ∴……6分
， ∴∥平面 …8分
(2)当时，由、得、、
设平面的法向量为，则由，得，…11分
，∴直线与平面所成角的正弦值. ………14分
19. (本题16分)已知在平面直角坐标系中，关于原点的伸压变换对应的矩阵为,其中称为伸压比．(1)若双曲线的方程为，伸压比，求在“伸压变换”作用后所得双曲线的标准方程；(2)如果椭圆经“伸压变换”后得到椭圆，且的焦距为6,求伸压比的值；(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换,得抛物线．若，求数列的通项公式．
解:(1)设是上任一点,是上与之对应的点,则
………………………4分
(2)同样可得的方程为………………………8分
(3) 对：作变换得抛物线：,………………………12分
所以＝,又………………………16分
20. (本题14分)曲线的极坐标方程是,的极坐标方程为，点的极坐标是.(1)求曲线上的动点到点距离的最大值; (2)求在它所在的平面内绕点旋转一周而形成图形的面积.
解：(1)方程表示圆心在,半径为的圆,所以曲线上的动点到点距离的最大值为………4分
(2)设是曲线C上的任意一点，则，由余弦定理，得
当时，有最大值为………10分
将点A（2，0）代入曲线C的极坐标方程，是满足的，知点A在曲线C上………12分
所以曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、为半径的圆，其面积为.………14分
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