课件14张PPT。 2.4 函数的单调性 复习回顾:1、单调递增（减）函数的定义是什么？
2、如何求一个单调函数的单调区间？
3、如何证明一个函数是单调函数？
在 上是减函数,在 上是增函数. 例1、
求二次函数y=x2-2x-1的单调区间．可用定义证明： 例2、
证明函数f(x)=-x-x3在R上是减函数.证明: (一取) 设R上任意两个实数x1,x2.若x10 x>2 ; 2x-4<0 x<2例6：求函数 在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数。解：函数的定义域是
（1）求
的单调区间。如何根据此函数单调性画出该函数的草图？-22图象练一练小 结：1、定理：
一般地，设函数 在某个区间内可导：如果恒有 ，则 是增函数；如果恒有 ，则 是减函数；如果恒有 ，则 是常数。（1）求函数的定义域；
（2）求函数的导数；
（3）求导数大于零或小于零的X取值范围；即函数的单调区间。3、应用：会根据函数的单调性作出函数的草图。由图象考察函数的性质。2、解题步骤：(三求)1、若曲线y=f(x)在点（x0,f(x0))
处的切线方程为2x+y-1=0，则（ ）
A、f’(xo)>0 B、 f’(xo)<0
C、 f’(xo)=0 D、f’(xo)不存在 B思考：2、在（a ,b）内f’(x)>0 是f(x)
在（a ,b）内单调递增的（ ）
A、充分不必要 B、 必要不充分
C、充要条件 D、既不充分也不必要A思考：函数的单调性公开课教案
教学目标：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性
教学重点：函数单调性的概念与判断
教学过程：
问题情境
情境1： 情境2：
问题:说出图象在哪些时段内是升高的,怎样用数学语言刻画“随时间的推移图象逐步升高”这一特征.
学生活动
问题1、观察下列函数的图像（三组）指出各组图像有什么共同的特征？
第一组：
第二组：
第三组：
观察得到：随着x的增大,函数的图像有的呈逐渐上升的趋势, 有的呈逐渐下降的趋势,有的在一个区间内呈逐渐上升的趋势, 有的在另一个区间内呈逐渐下降的趋势,
问题2:你能明确地说出“图像呈逐渐上升的趋势”的意思吗？
讨论得到：
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大图像在该区间内呈逐渐上升的趋势；
当x的值增大时,函数值y反而减小图像在该区间内呈逐渐下降的趋势。
函数的这种性质称为函数的单调性。
建构数学
问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
引导学生讨论得到：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2 )，那么就说在这个区间上是减函数。
如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数的单调区间
让学生分析定义的特点：
自变量属于定义域
自变量的任意性x1、x2有大小问题4：说出第三组中各个图的单调区间，指出区间的端点问题。
数学运用
例题
例题1：观察函数的图像，写出函数的单调区间：（图象见第三组2）
⑴
问题5：能不能说，函数在 定义域上是单调减函数？要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它要根据单调函数的定义进行证明。
例题2：证明函数在区间上是增函数。
然后与学生一起总结出证明函数单调性的解题步骤：
取值
作差变形
定号
判断
练习
课后练习第1、第2、第5题。
回顾小结：
本节课主要学习了函数的单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法。
课外作业
习题2.1(3):第1题、第2题、第4题、第7题。
函数的单调性·教案示例
目的要求
1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用．
2．通过对可微函数单调性的研究，加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力，增强学生数形结合的思维意识．
内容分析
1．本节课是从函数的图象出发，利用可微函数一阶导数的正负号，给出判断函数在给定区间内的增减性的方法．
2．本小节的内容是前面所学函数导数的有关知识在研究函数单调性方面的综合应用，是下一小节“可微函数的极值”的理论基础．
3．本节的重点是要使学生正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用．而提高灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及在解题中有意识地培养学生数形结合的思维习惯，是本节课的难点所在．
4．为了帮助学生更好地回忆有关函数单调性的知识，本节课可以从让学生自己解答一个用函数单调性的定义讨论函数的单调性的题目开始．这样还可以为后面说明“在判断函数的单调性时‘导数法’要比‘定义法’更为简捷”埋下伏笔．
在教学过程中，要充分利用函数的图象，这既是教学本身的需要，又可以培养学生数形结合的思维习惯．用多媒体辅助教学，可以加深学生对函数的增减与函数图象的切线方向(即导数的正负)的关系的理解，以利于教学重点的实现．
适当补充一些例题、练习题以扩大学生的视野，增强学生解决问题的能力，以利于教学难点的突破．本节课的内容具有过渡性，较为系统、全面的解题方法将在后续各节里逐步介绍(如：利用导数确定函数增减区间的具体步骤，可以参考下节求函数极值的做法)．故本节课向学生演示的例题和布置的习题难度不必太大，着重点应放在使学生理解常识、增长见识、形成数学思维意识之上．
通过本小节的学习应使学生认识到，一般情况下，用导数法研究函数单调性问题，要比用函数单调性的定义更为简洁．
5．充分的练习、广阔的视野，是提高学习效果的最佳途径．故本节课应让学生得到充分的训练．学生练习时要注意符号和术语的正确使用，以清楚概念；要注意规范书写格式，以学习表达；注意方法的灵活使用，以提高能力．
教学过程
1．复习引入
问题1 对于函数y＝f(x)＝x2－4x＋3，利用函数单调性的定义讨论它在R上的单调性．(此题是教科书中引例的变式．多媒体展示)
教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．
略解：对任意x1＜x2∈R，有y1－y2＝f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．
当x1＜x2＜2时，有y1－y2＞0，知f(x)在其中是减函数；
当2＜x1＜x2时，有y1－y2＜0，知f(x)在其中是增函数．
2．新授
(多媒体画面中，问题1的解答消失，问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点(x0，f(x0))处的切线随x0变化的动画．给出问题2)
问题2 对于函数f(x)＝x2－4x＋3，它在R上的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？
从动画中学生不难看出：在区间(2，＋∞)内，函数为增函数，切线的斜率为正；在区间(－∞，2)内，函数为减函数，切线的斜率为负；在x＝2时，函数的切线的斜率为0．
(画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3)
问题3 对于函数y＝f(x)＝x2－4x＋3，它在R上的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？
因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间(2，＋∞)内导数为正；在区间(－∞，2)内导数为负；在x＝2时，函数的切线的斜率为0．
分段展示结论：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数．
特别说明第三点：f(x)在某区间内为常数，当且仅当f′(x)＝0在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与x轴平行)．
3．例题与练习
例1 (展示教科书上的例1)
题解可引导学生自己完成，教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生，f′(1)＝0，f(x)在x＝1处改变了增减性，f′(x)改变了正负符号，为下一节的学习作铺垫．
练习1 教科书第134页练习1第(1)、(2)题．
学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．(解题过程略)
例2 (展示教科书上的例2)
师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在x＝1和x＝2处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下f(x)为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．(解题过程略)
特别说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．
练习2 教科书习题3．7第2题．
补充练习1 函数f(x)＝x3－3x2－5的单调递增区间是________．
略解：由f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)＞0，得增区间为(－∞，0)与(2，＋∞)．
补充练习2 已知函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋3，则函数f(x)在(－2，1)内是
[ ]
A．单调递减
B．单调递增
C．可能递增也可能递减
D．以上都不成立
略解：当x∈(－2，1)时，有f′(x)＝6(x＋2)(x－1)＜0，递减．故选A．
补充练习3 已知函数f(x)＝xlnx，则
[ ]
A．在(0，＋∞)上递增
B．在(0，＋∞)上递减
补充练习4 函数y＝ex－x＋1的递减区间是________．
略解：要使y′＝ex－1＜0，只需x＜0，故递减区间为(－∞，0)．
区间(1，2)上单调递增．
补充练习6 讨论函数y＝x－2sinx在(0，2π)内的单调性．
4．归纳小结
(1)函数导数与单调性的关系：f′(x)＞0时，增函数；f′(x)＜0时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．
(2)本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．
布置作业
教科书习题3．7第1、2题．
