第6章第2节 空间向量的坐标表示
题型1 空间两点间的距离公式 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
题型3 空间向量基底表示空间向量 题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量
题型5 空间向量线性运算的坐标表示 题型6 空间向量数量积的坐标表示
▉题型1 空间两点间的距离公式
【知识点的认识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），
则两点的距离为，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．
1．已知点Q是点P（3，2，4）在坐标平面Oyz内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解答】解：由已知可得：Q（0，2，4），
则，
所以．
故选：B．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，G，E，F分别是CC1，AB，BC的中点，P是四边形CC1D1D内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接AD1，AC，DC，BC1，
在正方体中，G，E，F分别是CC1，AB，BC的中点，
易得FG∥BC1∥AD1，EF∥AC，
因为AD1 平面EFG，FG 平面EFG，所以AD1∥平面EFG，
同理可得AC∥平面EFG，
又因为AD1AC＝A，AD1，AC 平面AD1C，
所以平面AD1C∥平面EFG，
又因为AP∥平面EFG，P是四边形CC1D1D内一动点，所以点P∈D1C，
可得AP的最小值为点A到直线D1C的距离，
易得△AD1C为等边三角形，可得A到D1C的距离dAC，
因为正方体的棱长为4，所以AC＝4，
所以d2．
故选：C．
3．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为底面ABCD内一动点，且3，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2，可得B（2，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），
由题意设点P（x，y，0），且x∈[0，2]，y∈[0，2]，
（x，y，﹣2），（x﹣2，y﹣2，﹣2），
可得 x（x﹣2）+y（y﹣2）+4＝3，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
所以点P的轨迹是以线段BD中点（1，1，0）为圆心，以1为半径的圆，
则线段PB的长度的最小值为1．
故选：C．
4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，3，1）到x轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，点P（﹣2，3，1）到x轴的距离即为点P到点（﹣2，0，0）的距离，
则d，即点P（﹣2，3，1）到x轴的距离为．
故选：D．
5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，1，0），B（2，﹣1，1），则线段AB的中点到点O的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为A（1，1，0），B（2，﹣1，1），
线段AB的中点坐标为，
则点M到点O的距离为．
故答案为：A．
6．在空间直角坐标系中，已知点A（0，﹣1，1），B（2，3，4），则|AB|＝（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解答】解：已知点A（0，﹣1，1），B（2，3，4），
则．
故选：C．
▉题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
7．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【解答】解：由共面向量的充要条件可得：
对于A选项，（）（），所以，，三个向量共面；
对于B选项，同理：，，三个向量共面；
对于D选项，，所以三个向量共面；
故选：C．
8．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若向量，满足，则
D．若，，则
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的，单位向量不一定相等，A错误；
对于B，当时，与不一定平行，故B错误；
对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误；
对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确．
故选：D．
9．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A，，故A选项不符合题意，
对于B，，故B选项不符合题意，
对于C，设存在实数λ，μ，使得①，
为空间的一组基底，
则等式①显然不成立，故C选项符合题意，
对于D，，故D选项不符合题意．
故选：C．
10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：对于A，若共面，
则有，
即，则该方程无解，故不共面，所以A不正确；
对于B，若共面，则有，
即，显然无解，故不共面，所以B不正确；
对于C，若共面，则有，显然该等式不成立，
故不共面，所以C不正确；
对于D，设x（）+y（）＝（x+y）（x﹣y），
可得，可得x，y，
即，即共面，所以D正确．
故选：D．
（多选）11．下面四个结论正确的是（ ）
A．若三个非零空间向量满足，则有
B．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角
【答案】BC
【解答】解：对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；
对于C中，由是空间的一组基底，且，
令，可得，此时方程组无解，所以不共面，
所以可以作为一个空间基底，所以C正确；
对于B中，因为，则，即，
又因为与有公共点，所以A，B，C三点共线，所以B正确；
对于D中，若为钝角，则，且与不共线，
由，解得，当时与平行时，由，解得x＝﹣3，
当与不共线得x≠﹣3，所以当且x≠﹣3时，为钝角，所以D错误．
故选：BC．
▉题型3 空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
12．如图，在四面体PABC中，，，，点E在棱PB上，且BE＝2EP，F为AC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：因为E在棱PB上，且BE＝2EP，所以，
因为F为AC中点，所以，
．
故选：A．
13．若是空间的一个基底，且向量，则（x，y，z）叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标是（ ）
A．（4，0，3） B．（3，1，3） C．（1，2，3） D．（2，1，3）
【答案】B
【解答】解：设在基底下的坐标为（x，y，z），
则x（）+y（）+z（x+y）（x﹣y）z①，
因为在下的坐标为（4，2，3），
所以43②，
由①②得，解得，
所以在下的坐标为（3，1，3）．
故选：B．
14．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为（﹣1，2，3），则在基底的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设，
由题意可知，
所以，解得x，y，z＝3，
所以在基底下的坐标为．
故选：A．
15．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，，
故，
又PM＝3MG，
故
．
故选：A．
16．若{，，}构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（ ）
A．，， B．，2，2
C．2，， D．，，
【答案】D
【解答】解：空间向量基的条件是三个向量线性无关，已知线性无关，逐一分析选项：
选项A：设，
整理得.由线性无关，
得方程组，取x＝1，y＝1，z＝﹣1为非零解，故线性相关，不能作为基．
选项B：设，
整理得．
得方程组，取x＝1，y＝﹣1，z＝﹣1为非零解，故线性相关，不能作为基．
选项C：设，
整理得．
得方程组，取x＝﹣1，y＝1，z＝﹣1为非零解，故线性相关，不能作为基．
选项D：设，
整理得.由线性无关，
得方程组，仅零解x＝y＝z＝0，故线性无关，可作为基．
故选：D
▉题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量
【知识点的认识】
1．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
2．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
2．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
17．已知{，，}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，232
C．，， D．，，233
【答案】B
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，设，则，此方程组无解，
所以不存在实数x，y，使得，，232共面，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，23323（），故D错误．
故选：B．
18．已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为（3，2，1），则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：因为向量在基底下用有序实数组表示为（3，2，1），
所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为，
设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为{x，y，z}，
所以，
又因为，
所以，解得，
则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为．
故选：C．
19．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为（2，3，﹣1），则向量在基底下的坐标是（ ）
A．（2，﹣1，﹣2） B．（2，﹣1，2） C．（2，1，﹣2） D．（2，1，2）
【答案】D
【解答】解：∵向量在基底下的坐标为（2，3，﹣1），
∴，
设向量在基底下的坐标是（x，y，z），
∴，
即x（y+z）（y﹣z），
∴，解得x＝2，y＝1，z＝2，即（2，1，2）．
故选：D．
20．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为（8，6，4），则向量在基底下的坐标是（ ）
A．（10，12，14） B．（14，12，10）
C．（12，14，10） D．（4，3，2）
【答案】C
【解答】解：由已知得
6（）+4（）
＝121410
＝（12，14，10）．
故选：C．
21．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由，，知，，
所以，
所以；
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
，
②由题，
因为，所以，
由，知，
即，
即，解得t＝﹣2，
则
．
▉题型5 空间向量线性运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；
22．已知向量，且，则x+y＝（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：向量，且，
则，解得x＝﹣4，y＝﹣2，
∴x+y＝﹣6．
故选：B．
23．已知向量，且∥，那么（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【解答】解：因为∥，
所以，解得x＝4，
因为（4，﹣2，4），
所以．
故选：C．
24．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【答案】D
【解答】解：令A（x，y，z），C（a，b，c），
因为（3，﹣5，﹣2），（﹣7，﹣1，﹣4），
所以B（x+3，y﹣5，z﹣2），D（a﹣7，b﹣1，c﹣4），
所以，
则．
故选：D．
（多选）25．已知向量，则下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的单位向量是
【答案】ABC
【解答】解：由结合向量的数乘运算可得，，故AB正确，
结合向量的模的运算可得，故C正确，
的单位向量是，故D错误．
故选：ABC．
▉题型6 空间向量数量积的坐标表示
【知识点的认识】
空间向量的坐标运算规律：
．
【解题方法点拨】
空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
26．已知向量（2，﹣1，1），（1，m，2），且（）⊥，则m＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【解答】解：向量（2，﹣1，1），（1，m，2），
∴（1，﹣1﹣m，﹣1），
∵（）⊥，
∴（） 2+1+m﹣1＝0，
解得m＝﹣2．
故选：A．
27．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，，且，
可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，
向量与的夹角为θ，cosθ，θ∈[0，π]，
所以θ．
故选：A．
28．设，且，则x+y+z＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：因为（1，1，1），（1，y，z），（x，﹣4，2），
又，
所以，
所以，
所以，
所以x+y+z﹣1＝0，即x+y+z＝1．
故选：C．
（多选）29．已知，则（ ）
A．当x＝0时，
B．若，则x＝﹣6
C．若，则
D．当x＝1时，
【答案】BC
【解答】解：当x＝0时，，，
cos，故A错误；
当∥时，有，即，解得x＝﹣6，故B正确；
，由，
得2×（﹣2）+（﹣1）×1+3（3+x）＝0，解得，故C正确；
当x＝1时，，则，，故D错误．
故选：BC．第6章第2节 空间向量的坐标表示
题型1 空间两点间的距离公式 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
题型3 空间向量基底表示空间向量 题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量
题型5 空间向量线性运算的坐标表示 题型6 空间向量数量积的坐标表示
▉题型1 空间两点间的距离公式
【知识点的认识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），
则两点的距离为，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．
1．已知点Q是点P（3，2，4）在坐标平面Oyz内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，G，E，F分别是CC1，AB，BC的中点，P是四边形CC1D1D内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为底面ABCD内一动点，且3，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，3，1）到x轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，1，0），B（2，﹣1，1），则线段AB的中点到点O的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，已知点A（0，﹣1，1），B（2，3，4），则|AB|＝（ ）
A． B． C． D．5
▉题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
7．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若向量，满足，则
D．若，，则
9．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B． C． D．
（多选）11．下面四个结论正确的是（ ）
A．若三个非零空间向量满足，则有
B．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角
▉题型3 空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
12．如图，在四面体PABC中，，，，点E在棱PB上，且BE＝2EP，F为AC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
13．若是空间的一个基底，且向量，则（x，y，z）叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标是（ ）
A．（4，0，3） B．（3，1，3） C．（1，2，3） D．（2，1，3）
14．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为（﹣1，2，3），则在基底的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（ ）
A． B．
C． D．
16．若{，，}构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（ ）
A．，， B．，2，2
C．2，， D．，，
▉题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量
【知识点的认识】
1．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
2．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
2．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
17．已知{，，}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，232
C．，， D．，，233
18．已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为（3，2，1），则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为（2，3，﹣1），则向量在基底下的坐标是（ ）
A．（2，﹣1，﹣2） B．（2，﹣1，2） C．（2，1，﹣2） D．（2，1，2）
20．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为（8，6，4），则向量在基底下的坐标是（ ）
A．（10，12，14） B．（14，12，10）
C．（12，14，10） D．（4，3，2）
21．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求．
▉题型5 空间向量线性运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；
22．已知向量，且，则x+y＝（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
23．已知向量，且∥，那么（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
24．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
（多选）25．已知向量，则下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的单位向量是
▉题型6 空间向量数量积的坐标表示
【知识点的认识】
空间向量的坐标运算规律：
．
【解题方法点拨】
空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
26．已知向量（2，﹣1，1），（1，m，2），且（）⊥，则m＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．6
27．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
28．设，且，则x+y+z＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
（多选）29．已知，则（ ）
A．当x＝0时，
B．若，则x＝﹣6
C．若，则
D．当x＝1时，
