第6章第3节 空间向量的应用
题型1 异面直线及其所成的角 题型2 三垂线定理
题型3 空间向量的夹角与距离求解公式 题型4 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
题型5 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 题型6 平面的法向量
题型7 空间向量法求解直线与平面所成的角 题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角
题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 题型10 空间中点到平面的距离
题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系
题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 题型14 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
题型15 空间向量方法证明线、面的位置关系定理
▉题型1 异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为 ．
▉题型2 三垂线定理
【知识点的认识】
射影：自一点P向平面α引垂线，垂足P1叫做P在平面α内的正射影（简称射影）．如果图形F上所有的点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫作图形F在这个平面内的射影．
1．三垂线定理及其逆定理
（1）三垂线定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面的一条斜线（PO）的射影垂直，那么它也和这条斜线（PO）垂直．
推理过程：
（2）三垂线逆定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面内的一条斜线（PO）垂直，那么它也和这条斜线的射影（AO）垂直．
a⊥AO
2．三垂线定理实质
三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直，起到“降维”作用．
3．三垂线定理包含的垂直关系
（1）线面垂直：直线和平面垂直；
（2）线射垂直：平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直；
（3）线斜垂直：平面内的直线和平面的一条斜线垂直．
【解题思路点拨】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影．
用三垂线定理证明a⊥b的步骤：一垂，二射，三证．
（1）找平面（基准面）及平面垂线；
（2）找射影线，这时a、b成平面上的一条直线与一条斜线；
（3）证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直．
3．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（ ）
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
▉题型3 空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
4．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则cos∠AOB＝（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
6．已知向量（1，2，3），向量（2，4，t），且与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ．
7．点A（1，2，1），B（3，3，2），C（λ+1，4，3），若的夹角为锐角，则λ的取值范围为 ．
8．将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为 ．
▉题型4 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量 平行于同一平面的向量．
共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥ 存在λ∈R，使λ．
共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面 存在唯一的有序实数对（x，y），使xy．
空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得xyz． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2．向量的坐标运算
（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）
向量和 （a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差 （a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积 a1b1+a2b2+a3b3
共线 ∥ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直 ⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式 cos，
9．已知向量且，则实数λ的值为（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．8
10．已知向量、是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则 0，且 0是l⊥α的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．设x，y∈R，向量，，且，，则||＝（ ）
A． B．3 C． D．4
12．已知空间向量，若，其中λ∈R，则实数λ＝（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，，则（ ）
A．12 B． C．8 D．
▉题型5 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知
改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是
2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
14．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面α的一个法向量，若l∥α，则k＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C． D．1
15．空间直角坐标系中过点（1，2，﹣1）的直线l的一个方向向量为（1，1，1），则直线l与y轴之间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
16．已知A（x，1，2），B（3，y，0），若直线l的方向向量（﹣1，﹣2，2）与直线AB的方向向量平行，则x+y＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若直线l与平面xOy平行，则l的一个方向向量的坐标可能为 ．
▉题型6 平面的法向量
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
18．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ）
A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l与α相交
19．已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l∥平面α，则a＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
20．已知点A（1，1，﹣1）在平面α内，点P（0，2，﹣1）在α外，且α的一个法向量，则点P到平面α的距离为（ ）
A． B． C． D．
（多选）21．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若是直线l的方向向量，是直线m的方向向量，则l与m垂直
B．若）是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则l⊥α
C．若，分别为平面α，β的法向量，则α⊥β
D．若存在实数x，y，使，则P，M，A，B共面
▉题型7 空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
（多选）22．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若D1P∥平面A1BD，则λ2+μ2最小值为1
B．若PO⊥平面A1BD，则
C．若，则P到平面A1BD的距离为
D．若λ＝1，0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则
23．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，P是线段A1D1上的动点，则直线AC1与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为 ．
▉题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，
此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝π，，
cosθ＝﹣cos，．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
24．在直角△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为斜边AB上一点，将△BCP沿CP折叠到△B′CP，使得二面角B′﹣CP﹣A为，且AB′＝2，则 ．
25．如图，在几何体PQDABC中，四边形ABCD为矩形，AP⊥平面ABCD，QD∥AP，AB＝AP＝1，BC＝2，DQ＝3．
（1）证明：PC⊥BQ；
（2）求平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值．
26．如图，在四面体ABCD中，DA＝BC＝2，AC＝1，∠DAC＝∠BCA，E，F分别为CD，AB的中点．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）若二面角D﹣AC﹣B为，求直线EF与平面BCD所成角的正弦值．
▉题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为：
其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量．
﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式．
27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC的距离是到直线C1D1的距离的2倍，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
28．已知为直线AB的一个方向向量，点A（1，2，﹣1），P（2，﹣1，2），则点P到直线AB的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为（ ）
A． B． C． D．
▉题型10 空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
30．已知点Q（6，10，﹣1），平面，其中，则点A（﹣1，0，1）到平面α的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
31．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长都为2，P是侧棱CC1上一动点，则A1，C到平面PAB的距离之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．7
32．如图，在直角三角形ABC中，，AB＝12，BC＝6，现将其放置在平面α的上面，其中点A、B在平面α的同一侧，点C∈平面α，BC与平面α所成的角为，则点A到平面α的最大距离是 ．
▉题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离
【知识点的认识】
﹣两平行平面间的距离：若两平面方程为Ax+By+Cz+D1＝0和Ax+By+Cz+D2＝0，它们之间的距离为：
﹣平行于平面的直线到平面的距离：计算直线到平面的距离与计算点到平面的距离相同．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用平面间距离公式计算结果．
33．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，则直线AA1到平面BDD1B1的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
34．在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝2，AA′＝2，则直线AB到平面A′B′CD的距离为 ．
35．已知平面α与平面β间的距离为3，A是平面α内的定点，B，C是平面β内的动点，且满足AB＝5，，则sin∠BAC的取值范围是 ．
36．已知AB⊥AC，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝3，AC＝4，点M为PC的中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、BC于点E、F．
（1）证明：平面PAC⊥平面PAB；
（2）证明：平面MEF∥平面PAB，并求平面MEF到平面PAB的距离．
▉题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系
【知识点的认识】
线线垂直与平行：
1．直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：
l1∥l2（或l1与l2重合） ∥
2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2 ⊥ 0．
37．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
▉题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1．直线与平面平行
（1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得：
l∥α或l在α内 存在两个有序实数（x，y）使
（2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立．
2．线面垂直：
（1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α ∥ k；
（2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．
38．直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l∥平面α，则x＝（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
39．若平面α的法向量为，平面β的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A．若α∥β，则m＝1 B．若l⊥α，则n＝2
C．若n＝﹣20，则l∥α D．若m＝﹣10，则α⊥β
40．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过A（﹣3，4）的直线l的一个法向量为（1，﹣3），则直线l的点法式方程为：1×（x+3）+（﹣3）×（y﹣4）＝0，化简得x﹣3y+15＝0．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M（1，﹣3，4）的平面的一个法向量为（1，2，﹣4），则该平面的方程为（ ）
A．x+2y﹣4z+21＝0 B．x﹣3y+4z+7＝0
C．x﹣3y+4z+21＝0 D．x﹣3y+4z﹣11＝0
41．已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则实数t的值是 ．
▉题型14 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1、平面与平面平行
设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合 ∥ 存在实数t，使t．
2、面面垂直：
（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥ 0；
（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
42．若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，且α∥β，则y+z的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4
（多选）43．下列结论正确的是（ ）
A．若，则AB⊥AC
B．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
D．直线l的方向向量，平面α的法向量，则l∥α
44．已知分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝ ．
▉题型15 空间向量方法证明线、面的位置关系定理
【知识点的认识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
45．阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面x﹣3y+7＝0与4y+2z+1＝0的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A．（3，1，2） B．（3，1，﹣2） C．（2，1，3） D．（﹣2，1，﹣3）
（多选）46．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．
B．AB⊥DC
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直第6章第3节 空间向量的应用
题型1 异面直线及其所成的角 题型2 三垂线定理
题型3 空间向量的夹角与距离求解公式 题型4 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
题型5 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 题型6 平面的法向量
题型7 空间向量法求解直线与平面所成的角 题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角
题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 题型10 空间中点到平面的距离
题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系
题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 题型14 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
题型15 空间向量方法证明线、面的位置关系定理
▉题型1 异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为M是PC的中点，
所以，
所以
，
因为PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，
所以
，
所以．
故选：A．
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为 60° ．
【答案】60°．
【解答】解：由正方体的性质知，AA1∥CC1，AA1＝CC1，
所以四边形ACC1A1是平行四边形，
所以AC∥A1C1，
所以∠A1C1B或其补角即为异面直线AC和BC1所成角，
因为△A1C1B是等边三角形，
所以∠A1C1B＝60°，
即异面直线AC和BC1所成角为60°．
故答案为：60°．
▉题型2 三垂线定理
【知识点的认识】
射影：自一点P向平面α引垂线，垂足P1叫做P在平面α内的正射影（简称射影）．如果图形F上所有的点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫作图形F在这个平面内的射影．
1．三垂线定理及其逆定理
（1）三垂线定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面的一条斜线（PO）的射影垂直，那么它也和这条斜线（PO）垂直．
推理过程：
（2）三垂线逆定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面内的一条斜线（PO）垂直，那么它也和这条斜线的射影（AO）垂直．
a⊥AO
2．三垂线定理实质
三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直，起到“降维”作用．
3．三垂线定理包含的垂直关系
（1）线面垂直：直线和平面垂直；
（2）线射垂直：平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直；
（3）线斜垂直：平面内的直线和平面的一条斜线垂直．
【解题思路点拨】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影．
用三垂线定理证明a⊥b的步骤：一垂，二射，三证．
（1）找平面（基准面）及平面垂线；
（2）找射影线，这时a、b成平面上的一条直线与一条斜线；
（3）证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直．
3．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（ ）
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
【答案】C
【解答】解：由题意可得AC⊥BC，由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面可知PA⊥BC，故排除A
BC⊥平面PAC，故排除B
结合选项B，利用直线与平面垂直的性质可得BC⊥PC，故排除D
故选：C．
▉题型3 空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
4．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则cos∠AOB＝（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解答】解：空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
所以，，
因为，
又，即，
又为单位向量，所以m2+n2＝1，
联立，得或，
因为，，
n2，||＝1，||＝1，
所以．
故选：C．
5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足，，，
设，，，则，，
，
，
所以，
故直线CE与DF所成的角余弦值为0．
故选：D．
6．已知向量（1，2，3），向量（2，4，t），且与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 （，6）∪（6，+∞） ．
【答案】（，6）∪（6，+∞）．
【解答】已知向量（1，2，3），向量（2，4，t），且与的夹角为锐角，
则，则，则t且t≠6，
则t的取值范围为（，6）∪（6，+∞）．
故答案为：（，6）∪（6，+∞）．
7．点A（1，2，1），B（3，3，2），C（λ+1，4，3），若的夹角为锐角，则λ的取值范围为 （﹣2，4）∪（4，+∞） ．
【答案】（﹣2，4）∪（4，+∞）
【解答】解：（2，1，1），（λ，2，2），
∵的夹角为锐角，∴ 2λ+2+2＞0，且不能同向共线．
解得λ＞﹣2，λ≠4．
则λ的取值范围为（﹣2，4）∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣2，4）∪（4，+∞）．
8．将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：甲、乙摸球的基本事件总数为4×4＝16种．
计算，“与夹角为锐角”需a﹣2b+4＞0且两向量不共线（经分析共线情况不存在）．
枚举满足a﹣2b+4＞0的基本事件：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共10种．
故概率为．
故答案为：．
▉题型4 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量 平行于同一平面的向量．
共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥ 存在λ∈R，使λ．
共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面 存在唯一的有序实数对（x，y），使xy．
空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得xyz． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2．向量的坐标运算
（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）
向量和 （a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差 （a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积 a1b1+a2b2+a3b3
共线 ∥ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直 ⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式 cos，
9．已知向量且，则实数λ的值为（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．8
【答案】B
【解答】解：由题可得：，
即﹣2+λ+2＝0，解得λ＝0．
故选：B．
10．已知向量、是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则 0，且 0是l⊥α的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：（1）由得，；
∵所在直线不一定相交，所在直线为l；
∴得不到l⊥α；
即，且不是l⊥α的充分条件；
（2）若l⊥α，向量所在直线在平面α内，在直线l上；
∴；
∴，且；
即 0，且 是l⊥α的必要条件；
综上得 0，且 是l⊥α的必要不充分条件．
故选：B．
11．设x，y∈R，向量，，且，，则||＝（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解答】解：x，y∈R，向量，，且，，
可得x+y+1＝0，，解得x＝1，y＝﹣2，
则（2，﹣1，2），
则||3，
故选：B．
12．已知空间向量，若，其中λ∈R，则实数λ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：，
又因为，
所以．
故选：B．
13．已知，，，则（ ）
A．12 B． C．8 D．
【答案】B
【解答】解：因为，
所以，即，
又因为，
所以，
因为，所以．
故选：B．
▉题型5 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知
改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是
2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
14．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面α的一个法向量，若l∥α，则k＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C． D．1
【答案】D
【解答】解：∵向量是直线l的一个方向向量，
向量是平面α的一个法向量，
∵l∥α，
∴，
∴由向量垂直的性质得，
整理得﹣k+1＝1，解得k＝1．
故选：D．
15．空间直角坐标系中过点（1，2，﹣1）的直线l的一个方向向量为（1，1，1），则直线l与y轴之间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设P（0，t，0）为y轴上的动点，设点（1，2，﹣1）为A，
设，
若点P（0，t，0）在直线l上，则，
显然与不平行，
所以点P（0，t，0）不在直线l上，
又直线l的一个方向向量为，y轴的一个方向向量为，
所以直线l与y轴不平行，
所以直线l与y轴异面，
设B为l上一动点，且（λ，λ，λ），
又因为A（1，2，﹣1），
所以点B（λ+1，λ+2，λ﹣1），所以，
当，时，取最小值，
所以当时，取最小值，
即λ＝0，t＝2时，取最小值，
所以P（0，2，0），B（1，2，﹣1）时，取最小值，
此时，
所以的最小值为，
即直线l与y轴之间的距离为．
故选：B．
16．已知A（x，1，2），B（3，y，0），若直线l的方向向量（﹣1，﹣2，2）与直线AB的方向向量平行，则x+y＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：A（x，1，2），B（3，y，0），则，
直线l的方向向量（﹣1，﹣2，2）与直线AB的方向向量平行，
则，解得x＝2，y＝3，
故x+y＝5．
故选：D．
17．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若直线l与平面xOy平行，则l的一个方向向量的坐标可能为 （1，1，0）（答案不唯一，满足x，y不全为0，z＝0的（x，y，z）都可以） ．
【答案】（1，1，0）（答案不唯一，满足x，y不全为0，z＝0的（x，y，z）都可以）．
【解答】解：因为直线l与平面xOy平行，所以l的一个方向向量的z坐标为0，x，y不全为0，
所以l的一个方向向量的坐标可能为（1，1，0）．
故答案为：（1，1，0）（答案不唯一，满足x，y不全为0，z＝0的（x，y，z）都可以）．
▉题型6 平面的法向量
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）；
（2）列：根据0，0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
18．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ）
A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l与α相交
【答案】B
【解答】解：因为，，
故可得，即∥，则直线l⊥α．
故选：B．
19．已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l∥平面α，则a＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：因为直线l的方向向量为，
平面α的一个法向量为，
由直线l∥平面α，得，
即，即2a﹣6+4＝0，所以a＝1．
故选：C．
20．已知点A（1，1，﹣1）在平面α内，点P（0，2，﹣1）在α外，且α的一个法向量，则点P到平面α的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点A（1，1，﹣1）在平面α内，点P（0，2，﹣1）在α外，且α的一个法向量，
可得，
所以点P到平面α的距离为．
故选：B．
（多选）21．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若是直线l的方向向量，是直线m的方向向量，则l与m垂直
B．若）是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则l⊥α
C．若，分别为平面α，β的法向量，则α⊥β
D．若存在实数x，y，使，则P，M，A，B共面
【答案】AD
【解答】解：对于A，因为，
可知，所以l与m垂直，故A正确；
对于B，因为，
可知，所以l α或l∥α，故B错误；
对于C，因为，
所以平面α，β不相互垂直，故C错误；
对于D，若存在实数x，y，使，
则为共面向量，所以P，M，A，B共面，故D正确．
故选：AD．
▉题型7 空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
（多选）22．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若D1P∥平面A1BD，则λ2+μ2最小值为1
B．若PO⊥平面A1BD，则
C．若，则P到平面A1BD的距离为
D．若λ＝1，0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则
【答案】BC
【解答】解：如图所示，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为线段BD的中点，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
D1（0，0，2），B1（2，2，2），A1（2，0，2），C1（0，2，2），O（1，1，0），
，，则；
对于选项A，，，，
则，
设为平面A1BD的一个法向量，
则，则，即，
令x＝1，则平面A1BD的法向量，
由D1P∥平面A1BD，得，
即λ+μ＝1，则，
当且仅当时，等号成立，即λ2+μ2最小值为，故A选项错误；
对于选项B，，则，
由PO⊥平面A1BD，则有，即，
解得λ＝1，，故B选项正确；
对于选项C，若，则，
则有，即P到平面A1BD的距离为，故C选项正确；
对于选项D，，当λ＝1，0≤μ≤1时，，
则有|cos|，
当μ＝0时，|cos|，
当0＜μ≤1时，
|cos|，
当且仅当μ＝1时，等号成立，
故|cos|∈，即，故D选项错误．
故选：BC．
23．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，P是线段A1D1上的动点，则直线AC1与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为 ．
【答案】．
【解答】解：设AB＝2，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则E（2，0，1），F（0，1，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），
所以，，
设P（a，0，2）（0≤a≤2），则，
设平面PEF的一个法向量，
则，则，
取x＝1，得y＝a，z＝2﹣a，故．
设直线AC1与平面PEF所成角为α，
则，
又0≤a≤2，所以3≤2（a﹣1）2+3≤5，
故，
即直线AC1与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为．
故答案为：．
▉题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，
此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝π，，
cosθ＝﹣cos，．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
24．在直角△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为斜边AB上一点，将△BCP沿CP折叠到△B′CP，使得二面角B′﹣CP﹣A为，且AB′＝2，则 ．
【答案】．
【解答】解：设∠BCP＝θ，θ∈（0，），则，
过B作BE⊥CP，E为垂足，
过A作AD⊥CP，D为垂足，
在Rt△BCE中，有BE＝2sinθ，CE＝2cosθ，
在Rt△ACD中，有AD＝3sin（θ）＝3cosθ，CD＝3cos（θ）＝3sinθ，
所以B'E＝BE＝2sinθ，ED＝|CD﹣CE|＝|3sinθ﹣2cosθ|，
因为二面角B′﹣CP﹣A为，
所以，
又
222
＝13﹣9sin2θ＝4，
所以sin2θ＝1，即，
所以．
故答案为：．
25．如图，在几何体PQDABC中，四边形ABCD为矩形，AP⊥平面ABCD，QD∥AP，AB＝AP＝1，BC＝2，DQ＝3．
（1）证明：PC⊥BQ；
（2）求平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值．
【答案】（1）因为四边形ABCD为矩形，AP⊥平面ABCD，
所以AB，AD，AP两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），Q（0，2，3），
所以，，
所以，
所以PC⊥BQ．
（2）．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，AP⊥平面ABCD，
所以AB，AD，AP两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），Q（0，2，3），
所以，，
所以，
所以PC⊥BQ．
（2）解：由（1）知（0，2，0），，，，
设平面BPC的法向量为，则
取x＝1，得y＝0，z＝1，则，
设平面PCQ的法向量为，则
取a＝3，得b＝﹣1，c＝1，则（3，﹣1，1），
所以，
所以平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值为．
26．如图，在四面体ABCD中，DA＝BC＝2，AC＝1，∠DAC＝∠BCA，E，F分别为CD，AB的中点．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）若二面角D﹣AC﹣B为，求直线EF与平面BCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取AC的中点M，连接EM、FM，
因为M、E分别为AC、CD的中点，所以EM∥AD，
因为，即AD⊥AC，
所以EM⊥AC，
同理可证FM⊥AC，
因为EM∩FM＝M，EM、FM 平面EFM，
故AC⊥平面EFM，因为EF 平面EFM，
故EF⊥AC；
（2）．
【解答】解：（1）证明：取AC的中点M，连接EM、FM，
因为M、E分别为AC、CD的中点，所以EM∥AD，
因为，即AD⊥AC，
所以EM⊥AC，
同理可证FM⊥AC，
因为EM∩FM＝M，EM、FM 平面EFM，
故AC⊥平面EFM，因为EF 平面EFM，
故EF⊥AC；
（2）构造直棱柱如图所示，则AD∥CH，因为AC⊥AD，则AC⊥CH，
因为AC⊥BC，BC∩CH＝C，BC、CH 平面BCH，
所以AC⊥平面BCH，
以点C为坐标原点，CB、CA所在直线分别为x、z轴，平面BCH内过点C且垂直于BC的直线CG为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面ABC∩平面ACD＝AC，FM⊥AC，EM⊥AC，
所以二面角D﹣AC﹣B的平面角为∠EMF，则，
因为EM∥AD，AD∥CH，则EM∥CH，
又因为FM∥BC，所以，
所以B（2，0，0）、C（0，0，0）、、A（0，0，1），
因为E、F分别为CD、AB的中点，所以、，
所以，
设平面BCD的一个法向量为，，，
则，
取y＝1，可得，
所以，
因此直线EF与平面BCD所成角的正弦值为．
▉题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为：
其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量．
﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式．
27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC的距离是到直线C1D1的距离的2倍，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【解答】解：因为C1D1⊥面BB1C1C，易知点P到直线C1D1的距离和点P到点C1的距离相等，
进而得到点P到直线BC的距离是到点C1的距离的2倍，
根据椭圆的第二定义可知点P的轨迹为椭圆，离心率为．
故选：B．
28．已知为直线AB的一个方向向量，点A（1，2，﹣1），P（2，﹣1，2），则点P到直线AB的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为为直线AB的一个方向向量，点A（1，2，﹣1），P（2，﹣1，2），
所以（﹣1，3，﹣3），所以||，
所以cos，，
设直线PA与直线l所成的角为θ，
则sin θ，
所以点P到直线AB的距离为||sinθ．
故选：B．
29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，3），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），
由，
可得M（0，0，2），
又O为△PBC的重心，
所以，，，
则，，，
故点O到直线DM的距离为．
故选：A．
▉题型10 空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
30．已知点Q（6，10，﹣1），平面，其中，则点A（﹣1，0，1）到平面α的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解答】解：根据题意可得平面α的法向量为，
又A（﹣1，0，1）且Q（6，10，﹣1）在平面α内，
∴，
∴点A（﹣1，0，1）到平面α的距离为：．
故选：C．
31．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长都为2，P是侧棱CC1上一动点，则A1，C到平面PAB的距离之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．7
【答案】B
【解答】解：取AC的中点O，连接OB，
因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长都为2，
所以建系如图：
则A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），A1（1，0，2），，C1（﹣1，0，2）．
设P（﹣1，0，a）（0≤a≤2），
所以，，
设平面PAB的法向量为，
则，取，
设A1，C到平面PAB的距离分别为d1，d2．
因为，，
所以
，
令4a+1＝t∈[1，9]，则，
当且仅当t＝7，即时，等号成立，故B正确．
故选：B．
32．如图，在直角三角形ABC中，，AB＝12，BC＝6，现将其放置在平面α的上面，其中点A、B在平面α的同一侧，点C∈平面α，BC与平面α所成的角为，则点A到平面α的最大距离是 9 ．
【答案】9．
【解答】解：过B作BB1⊥α，交α于B1，过A作AA⊥α，交α于A，
因为在直角三角形ABC中，，AB＝12，BC＝6，
则，
设∠ACA＝θ，AC2+BC2﹣2AA1 BB1+2A1C B1C，
整理得，
因为，
所以，当且仅当A，B，B1，C四点共面时等号成立，点A到α的距离最大，
又，
即点A到α的最大距离为9．
故答案为：9．
▉题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离
【知识点的认识】
﹣两平行平面间的距离：若两平面方程为Ax+By+Cz+D1＝0和Ax+By+Cz+D2＝0，它们之间的距离为：
﹣平行于平面的直线到平面的距离：计算直线到平面的距离与计算点到平面的距离相同．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用平面间距离公式计算结果．
33．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，则直线AA1到平面BDD1B1的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接AC交BD于点E，
由四边形ABCD为正方形，得AC⊥BD，且E为AC中点，
由BB1⊥底面ABCD，AC 平面ABCD，得BB1⊥AC，
而BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BDD1B1，则AC⊥平面BDD1B1，
因此AE的长即为点A到平面BDD1B1的距离，
又正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为，则AE1，
而AA1∥BB1，BB1 平面BDD1B1，AA1 平面BDD1B1，
则AA1∥平面BDD1B1，
故直线AA1到平面BDD1B1的距离，即点A到平面BDD1B1的距离AE＝1．
故选：C．
34．在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝2，AA′＝2，则直线AB到平面A′B′CD的距离为 ．
【答案】．
【解答】解：作出示意图如下：
设B′C∩BC′＝H，
因为长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，CD⊥平面BCC′B′，
所以BC′⊥CD，又AD＝2，AA′＝2，所以侧面面BCC′B′为正方形，
所以BC′⊥B′C，又CD∩B′C＝C，
所以BC′⊥平面A′B′CD，又AB∥平面A′B′CD，
所以直线AB到平面A′B′CD的距离为BH．
故答案为：．
35．已知平面α与平面β间的距离为3，A是平面α内的定点，B，C是平面β内的动点，且满足AB＝5，，则sin∠BAC的取值范围是 ．
【答案】．
【解答】解：设A在平面β内的射影为O，则AO⊥平面β，AO＝3，
因为AB＝5，，
所以，，
，，
所以，
同理，
因为，
所以．
故答案为：．
36．已知AB⊥AC，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝3，AC＝4，点M为PC的中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、BC于点E、F．
（1）证明：平面PAC⊥平面PAB；
（2）证明：平面MEF∥平面PAB，并求平面MEF到平面PAB的距离．
【答案】（1）证明：因为AB⊥AC，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，又AB∩PA＝A，
所以AC⊥平面PAB，又AC 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PAB；
（2）证明：根据题意可得ME∥PA，MF∥PB，
又ME 平面PAB，PB 平面PAB，
所以ME∥平面PAB，同理可证MF∥平面PAB，又ME∩MF＝M，
所以平面MEF∥平面PAB；
由（1）可知AC⊥平面PAB，又平面MEF∥平面PAB，且M为PC的中点，
所以平面MEF到平面PAB的距离为AEAC＝2．
【解答】证明：（1）因为AB⊥AC，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，又AB∩PA＝A，
所以AC⊥平面PAB，又AC 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PAB；
（2）根据题意可得ME∥PA，MF∥PB，
又ME 平面PAB，PB 平面PAB，
所以ME∥平面PAB，同理可证MF∥平面PAB，又ME∩MF＝M，
所以平面MEF∥平面PAB；
由（1）可知AC⊥平面PAB，又平面MEF∥平面PAB，且M为PC的中点，
所以平面MEF到平面PAB的距离为AEAC＝2．
▉题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系
【知识点的认识】
线线垂直与平行：
1．直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：
l1∥l2（或l1与l2重合） ∥
2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2 ⊥ 0．
37．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：根据题意，向量，
若，则 3+2x﹣5＝0，解可得x＝4．
故选：A．
▉题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1．直线与平面平行
（1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得：
l∥α或l在α内 存在两个有序实数（x，y）使
（2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立．
2．线面垂直：
（1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α ∥ k；
（2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．
38．直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l∥平面α，则x＝（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，
所以，解得x＝5．
故选：B．
39．若平面α的法向量为，平面β的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A．若α∥β，则m＝1 B．若l⊥α，则n＝2
C．若n＝﹣20，则l∥α D．若m＝﹣10，则α⊥β
【答案】D
【解答】解：根据题意，平面α的法向量为，平面β的法向量为，直线l的方向向量为，
依次分析选项：
对于A，若平面α∥β，则∥，则有，解得，故A错误；
对于B，若l⊥α，则∥，则有，解得n＝1，故B错误；
对于C，若n＝﹣20，则，则有，，必有l∥α或l α，故C错误；
对于D，若m＝﹣10，则，则有，，则α⊥β，故D正确．
故选：D．
40．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过A（﹣3，4）的直线l的一个法向量为（1，﹣3），则直线l的点法式方程为：1×（x+3）+（﹣3）×（y﹣4）＝0，化简得x﹣3y+15＝0．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M（1，﹣3，4）的平面的一个法向量为（1，2，﹣4），则该平面的方程为（ ）
A．x+2y﹣4z+21＝0 B．x﹣3y+4z+7＝0
C．x﹣3y+4z+21＝0 D．x﹣3y+4z﹣11＝0
【答案】A
【解答】解：根据题意，设点（x，y，z）是该平面内任意一点，
该平面经过点M（1，﹣3，4）且其一个法向量为（1，2，﹣4），
则有（x﹣1）×1+（y+3）×2+（z﹣4）×（﹣4）＝0，
变形可得x+2y﹣4z+21＝0．
故选：A．
41．已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则实数t的值是 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，若l⊥α，则∥，
不妨设k，即（4，y，2）＝k（﹣1，1，t）＝（﹣k，k，kt），
则有，则t．
故答案为：．
▉题型14 空间向量语言表述面面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1、平面与平面平行
设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合 ∥ 存在实数t，使t．
2、面面垂直：
（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥ 0；
（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
42．若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，且α∥β，则y+z的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：根据题意，α∥β，则有∥，
设λ，即（﹣3，y，2）＝λ（6，﹣2，z），
故，解得，
∴y+z＝1﹣4＝﹣3．
故选：A．
（多选）43．下列结论正确的是（ ）
A．若，则AB⊥AC
B．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
D．直线l的方向向量，平面α的法向量，则l∥α
【答案】BC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若，则，A错误；
对于B，若向量共面，则，
整理得，
由向量是空间的一组基底，所以，显然方程无解，
则向量不共面，也是空间一组基底，故B正确；
对于C，因为，所以，有α⊥β，故C正确；
对于D，因为，所以l∥α或l α，因为不能确定直线l是否在平面α内，故D错误．
故选：BC．
44．已知分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3
【解答】解：根据题意，若α∥β，则有∥，
设t，即（0，1，m）＝k（0，n，﹣3），则有，
变形可得：mn＝﹣3．
故答案为：﹣3．
▉题型15 空间向量方法证明线、面的位置关系定理
【知识点的认识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
45．阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面x﹣3y+7＝0与4y+2z+1＝0的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A．（3，1，2） B．（3，1，﹣2） C．（2，1，3） D．（﹣2，1，﹣3）
【答案】B
【解答】解：根据题意，平面x﹣3y+7＝0，即（x﹣1）﹣3（y﹣3）＝0，其一个法向量可取，
同理：平面4y+2z+1＝0的法向量可取，
设直线l的方向向量，
则，令y＝1，则．
故选：B．
（多选）46．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．
B．AB⊥DC
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，如图：以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设折叠前的等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，
则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，1），
依次分析选项：
对于A，（1，0，﹣1），（0，1，﹣1）， 1≠0，A正确；
对于B，（0，1，0），有 0+0+0＝0，则AB⊥DC，B正确；
对于C，（﹣1，0，0），有 0+0+0＝0，则BD⊥AC，C正确；
对于D，易知平面ADC的一个法向量为（﹣1，0，0），
设平面ABC的一个法向量为（x，y，z），
则，令y＝1，则x＝1，z＝1，
故（1，1，1），
则有 1，平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，D错误．
故选：ABC．
