第8章第2节 离散型随机变量及其分布列
题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
题型3 离散型随机变量的方差与标准差 题型4 n重伯努利试验与二项分布
题型5 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 题型6 二项分布的均值（数学期望）与方差
题型7 超几何分布
▉题型1 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
1．设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量Y＝|X﹣1|，则P（Y＝1）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a+0.1 0.1 a 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
2．下表是离散型随机变量ξ的概率分布，则P（ξ≥2）＝（ ）
ξ 1 2 3 4
P
A． B． C． D．
3．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设X为取出的次数，则P（X＝3）＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
5．某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修
完好 0 10 5
损坏 12 5 7
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．
（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望E（x）；
（3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：
发热情况操作方案编号 发热 未发热
① 检查维修 保留观察
② 停机更换 检查维修
③ 停机更换 保留观察
如果你是该工厂的老板，你如何决策？
6．甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得﹣10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
（1）求在一局比赛中，甲得10分的概率；
（2）设这次比赛共有4局，设Y为甲得0分的次数，求Y的分布列和数学期望；
（3）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
▉题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
7．一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E（X）＝（ ）
A． B． C． D．
8．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为p（0＜p＜1），他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使P（X＝6）最大的N值估计N的取值并计算E（X）．（若有多个N使P（X＝6）最大，则取其中的最小N值）．下列说法正确的是（ ）
A．E（X）＞6
B．E（X）＜6
C．E（X）＝6
D．E（X）与6的大小无法确定
（多选）9．设离散型随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P 0.3 0.4 m
若Y＝3X﹣2，则（ ）
A．E（X）＝3 B．D（X）＝0.8 C．E（Y）＝9 D．D（Y）＝5.4
10．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则E（5X+1）＝ ．
11．某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．
（1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；
（2）设最终得分为n的概率为Pn，证明：数列{Pn+1﹣Pn}为等比数列，并求数列{Pn}的通项公式．
▉题型3 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
12．设x1＜x2＜x3＜x4，随机变量X取值x1、x2、x3、x4的概率均为0.25，随机变量X1取值、、、的概率也均为0.25，随机变量X2取值2x1﹣x2、2x2﹣x3、2x3﹣x4、2x4﹣x1的概率也均为0.25．若记D[X1]、D[X2]分别为X1、X2的方差，则（ ）
A．D[X1]＜D[X2]
B．D[X1]＝D[X2]
C．D[X1]＞D[X2]
D．D[X1]与D[X2]的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
13．已知随机变量X，Y，若Y＝2X+4，且D（Y）＝16，则D（X）＝ ．
14．已知某随机变量X，D[X]＝1，则D[2X+1]＝ ．
▉题型4 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
15．若随机变量X服从二项分布，且P（X＝3）＝P（X＝4）＞0，则（ ）
A．39 B．50 C．63 D．68
16．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P（ξ≥1）等于（ ）
A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919
17．已知随机变量，则P（X≤1）＝（ ）
A． B． C． D．
18．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥1）＝（ ）
A． B． C． D．
▉题型5 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
19．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（ ）
A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036
20．已知某射击运动员，每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.85 B．0.75 C．0.8 D．0.8192
21．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），乙获胜的概率为1﹣p，则甲选手以3：1获胜的概率为（ ）
A． B．
C． D．p3（1﹣p）
22．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
▉题型6 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
23．下列说法正确的个数是（ ）
①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
②若随机变量，则方差D（3X+2）＝20
③若随机变量X～N（1，σ2），P（X＜4）＝0.79，则P（X≤﹣2）＝0.21
④已知随机变量X的分布列为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
24．若随机变量X服从二项分布，则P（X＝k）取得最大值时，k＝（ ）
A．2或3 B．2 C．3 D．4
25．随机变量X B（4，p），若，则D（X）＝（ ）
A． B． C． D．
（多选）26．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量X～N（4，9），则E（X）＝4
C．若随机变量X服从两点分布，且，则
D．若随机变量X满足，k＝0，1，2，则
27．抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记X表示掷出的点数为合数的次数，则X的数学期望EX＝ ．
▉题型7 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
28．共有20张彩票，其中有2张中奖彩票，从中任取n张，要使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于，n至少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
29．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
（多选）30．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
（多选）31．下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长（男生）必须参加，其中女生的人数X
32．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为ξ．若P（ξ＝1），且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为 ．
33．为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量N（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用X表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得X＝12的概率最大时N的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则N的估计值是 ．第8章第2节 离散型随机变量及其分布列
题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
题型3 离散型随机变量的方差与标准差 题型4 n重伯努利试验与二项分布
题型5 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 题型6 二项分布的均值（数学期望）与方差
题型7 超几何分布
▉题型1 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
1．设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量Y＝|X﹣1|，则P（Y＝1）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a+0.1 0.1 a 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【解答】解：由离散型随机变量X的分布列知：
a+0.1+0.1+a+0.6＝1，
解得a＝0.1．
∵Y＝|X﹣1|，
∴P（Y＝1）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝0.2+0.1＝0.3．
故选：A．
2．下表是离散型随机变量ξ的概率分布，则P（ξ≥2）＝（ ）
ξ 1 2 3 4
P
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由离散型随机变量ξ的概率分布得：
，且，0，
解得a＝2，
∴．
故选：B．
3．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设X为取出的次数，则P（X＝3）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止，
要想取出的次数为3次，只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，
对应的事件个数为，所以．
故选：C．
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，解得，
而．
故选：A．
5．某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修
完好 0 10 5
损坏 12 5 7
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．
（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望E（x）；
（3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：
发热情况操作方案编号 发热 未发热
① 检查维修 保留观察
② 停机更换 检查维修
③ 停机更换 保留观察
如果你是该工厂的老板，你如何决策？
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）①，理由见解析．
【解答】解：（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件A，
则．
（2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，
设备正常的概率为，
由题意知，X＝10，12，14，
，
，
，
∴离散型随机X的分布列为：
X 10 12 14
P（X）
∴．
（3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：
记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为Y千元，
采用方案①：Y的取值为：5，7，17，19，
P（Y＝5），
P（Y＝7），
P（Y＝17），
P（Y＝19），
故采用方案①，总经济损失的期望；
采用方案②：Y的取值为：10，12，15，17，
P（Y＝10），
P（Y＝12），
P（Y＝15），
P（Y＝17），
故采用方案②，总经济损失的期望；
采用方案③：Y的取值为：5，10，17，22，
P（Y＝5），
P（Y＝10），
P（Y＝17），
P（Y＝22），
故采用方案③：总经济损失的期望．
综上，，
故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小．
6．甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得﹣10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
（1）求在一局比赛中，甲得10分的概率；
（2）设这次比赛共有4局，设Y为甲得0分的次数，求Y的分布列和数学期望；
（3）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
【答案】（1）；
（2）Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4
P
2；
（3）．
【解答】解：（1）设X表示在一局比赛中甲得分，则“X＝10”表示甲答对且乙答错的情况，
根据独立事件概率乘法公式，可得；
（2）X＝0包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，
甲、乙都答对的概率为，
甲、乙都答错的概率为，
根据互斥事件的概率加法公式，可得，
因为每局比赛甲得0分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以．
则，
，
，
，
，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4
P
则Y的数学期望；
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
①三局都得10分，其概率为，
②两局得10分，一局得0分，其概率为，
③两局得10分，一局得﹣10分，其概率为，
④一局得10分，两局得0分，其概率为，
综上可得，甲最终获胜的概率为．
▉题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
7．一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E（X）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：随机变量X的可能取值为1，2，3，4，
（第一次摸到红球），
（第一次摸到非红球，第二次摸到红球），
（前两次摸到非红球，第三次摸到红球），
（前三次摸到非红球，第四次摸到红球），
数学期望．
故选：A．
8．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为p（0＜p＜1），他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使P（X＝6）最大的N值估计N的取值并计算E（X）．（若有多个N使P（X＝6）最大，则取其中的最小N值）．下列说法正确的是（ ）
A．E（X）＞6
B．E（X）＜6
C．E（X）＝6
D．E（X）与6的大小无法确定
【答案】B
【解答】解：X服从二项分布B（N，P），则，
P（X＝6）最大即满足，
解得，
又N∈N+，故为整数时，结合题设要求，；
不为整数时，N小于，E（X）＝Np＜6，故E（X）＜6．
故选：B．
（多选）9．设离散型随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P 0.3 0.4 m
若Y＝3X﹣2，则（ ）
A．E（X）＝3 B．D（X）＝0.8 C．E（Y）＝9 D．D（Y）＝5.4
【答案】AD
【解答】解：根据题意可得0.3+0.4+m＝1，所以m＝0.3，
所以E（X）＝2×0.3+3×0.4+4×0.3＝3，所以A选项正确；
所以D（X）＝（2﹣3）2×0.3+（3﹣3）2×0.4+（4﹣3）2×0.3＝0.6，所以B选项错误；
又Y＝3X﹣2，
所以E（Y）＝3E（X）﹣2＝3×3﹣2＝7，所以C选项错误；
D（Y）＝9D（X）＝5.4．所以D选项正确．
故选：AD．
10．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则E（5X+1）＝ 3 ．
【答案】3
【解答】解：由题意，X的取值为0，1，2，则
P（X＝0）；P（X＝1）
P（X＝2）
所以期望E（X）＝012，
所以E（5X+1）3
故答案为3．
11．某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．
（1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；
（2）设最终得分为n的概率为Pn，证明：数列{Pn+1﹣Pn}为等比数列，并求数列{Pn}的通项公式．
【答案】（1）故X的分布列为
X 2 3 4
P
（2）证明：根据题意，，，且，
因为，且，
可知数列{Pn+1﹣Pn}是以首项为，公比为的等比数列，
．
【解答】解：（1）根据题意，若投篮2次，最终得分X的可能取值为2，3，4，
X＝2，即两次投篮都不中，则，
X＝2，即两次投篮中，一次投中，一次投不中，则，
X＝4，即两次投篮都中，则，
故X的分布列为
X 2 3 4
P
其期望；
（2）证明：根据题意，，，且，
因为，且，
可知数列{Pn+1﹣Pn}是以首项为，公比为的等比数列，
所以，
当n≥2时，则，
累加可得，
则，且n＝1时，符合上式，
所以．
▉题型3 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
12．设x1＜x2＜x3＜x4，随机变量X取值x1、x2、x3、x4的概率均为0.25，随机变量X1取值、、、的概率也均为0.25，随机变量X2取值2x1﹣x2、2x2﹣x3、2x3﹣x4、2x4﹣x1的概率也均为0.25．若记D[X1]、D[X2]分别为X1、X2的方差，则（ ）
A．D[X1]＜D[X2]
B．D[X1]＝D[X2]
C．D[X1]＞D[X2]
D．D[X1]与D[X2]的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
【答案】A
【解答】解：由随机变量X1，X2的取值情况，它们的期望分别为：，
E[X2]（2x1﹣x2+2x2﹣x3+2x3﹣x4+2x4﹣x1）（x1+x2+x3+x4），
即E[X2]＝E[X1]，
D[X1][]﹣（EX1）2，
则，
同理D[X2][（2x1﹣x2）2+（2x2﹣x3）2+（2x3﹣x4）2+（2x4﹣x1）2]﹣（EX2）2，
则[（2x1﹣x2）2+（2x2﹣x3）2+（2x3﹣x4）2+（2x4﹣x1）2＝5（）﹣4（x1x2+x2x3+x3x4+x4x1），
则D[X2]﹣D[X1]
，
因为，，，，
所以，
因为x1＜x2＜x3＜x4，不能取等号，
所以，
所以D[X2]﹣D[X1]＞0，
所以D[X1]＜D[X2]．
故选：A．
13．已知随机变量X，Y，若Y＝2X+4，且D（Y）＝16，则D（X）＝ 4 ．
【答案】4．
【解答】解：根据方差公式：
D（Y）＝D（2X+4）
＝22D（X）＝16
＝4D（X）＝16，
所以D（X）＝4．
故答案为：4．
14．已知某随机变量X，D[X]＝1，则D[2X+1]＝ 4 ．
【答案】4．
【解答】解：因为D[X]＝1，
所以由方差的性质可得：D[2X+1]＝22D[X]＝4×1＝4．
故答案为：4．
▉题型4 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
15．若随机变量X服从二项分布，且P（X＝3）＝P（X＝4）＞0，则（ ）
A．39 B．50 C．63 D．68
【答案】C
【解答】解：∵随机变量X服从二项分布，且P（X＝3）＝P（X＝4）＞0，
∴，
∴，
∴n＝3+4＝7，
∴63．
故选：C．
16．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P（ξ≥1）等于（ ）
A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919
【答案】D
【解答】解：由题意可知，ξ B（4，0.7），
所以P（ξ＝0）0.70×（1﹣0.7）4＝0.0081，
所以P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＝0）＝1﹣0.0081＝0.9919．
故选：D．
17．已知随机变量，则P（X≤1）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：随机变量，
则．
故选：D．
18．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥1）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：随机变量ξ～B（2，p），，
则1，解得p，
∵η～B（4，），
∴P（η≥1）＝1﹣P（η＝0）＝1．
故选：A．
▉题型5 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
19．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（ ）
A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036
【答案】C
【解答】解：每人中靶的概率都是0.6，
则每人不中靶的概率都是1﹣0.6＝0.4，
故4人都没中靶的概率为0.44＝0.0256．
故选：C．
20．已知某射击运动员，每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.85 B．0.75 C．0.8 D．0.8192
【答案】D
【解答】解：某射击运动员，每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：
0.83 0.2 0.84＝0.4096+0.4096＝0.8192，
故选：D．
21．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），乙获胜的概率为1﹣p，则甲选手以3：1获胜的概率为（ ）
A． B．
C． D．p3（1﹣p）
【答案】A
【解答】解：甲选手以3：1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲赢，
故所求概率为．
故选：A．
22．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
【答案】
【解答】解：该同学通过测试的概率为 0.62 0.4 0.63，
故答案为：．
▉题型6 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
23．下列说法正确的个数是（ ）
①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
②若随机变量，则方差D（3X+2）＝20
③若随机变量X～N（1，σ2），P（X＜4）＝0.79，则P（X≤﹣2）＝0.21
④已知随机变量X的分布列为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：设至少有一名女生为事件A，
从10名男生，5名女生中选取4人，
则，则，①错误；
因为随机变量，所以，
D（3X+2），②正确；
根据正态分布的性质，P（X＜4）＝0.79，所以，P（X≤﹣2）＝P（X≥4）＝1﹣P（X＜4）＝0.21，③正确；
，得P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝1，
可得，解得，所以，④正确；
综上，正确命题的个数为3．
故选：C．
24．若随机变量X服从二项分布，则P（X＝k）取得最大值时，k＝（ ）
A．2或3 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：随机变量X服从二项分布，
则，解得2≤k≤3，
又k∈N，所以k＝2或3．
故选：A．
25．随机变量X B（4，p），若，则D（X）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由随机变量X B（4，p），可知变量X服从二项分布，
由二项分布的性质可得，
解得，所以方差．
故选：C．
（多选）26．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量X～N（4，9），则E（X）＝4
C．若随机变量X服从两点分布，且，则
D．若随机变量X满足，k＝0，1，2，则
【答案】BC
【解答】解：若随机变量，则，故不正确；
若随机变量X～N（4，9），则E（X）＝4，故正确；
若随机变量X服从两点分布，且，则，故正确；
由题意可知，，
所以，故不正确．
故选：BC．
27．抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记X表示掷出的点数为合数的次数，则X的数学期望EX＝ ．
【答案】．
【解答】解：记事件A表示“掷出的点数为合数”，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，
事件A＝{4，6}，则．
每次掷出的点数为合数的概率不变，抛掷4次相当于4次独立重复试验，
∴，
∴．
故答案为：．
▉题型7 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
28．共有20张彩票，其中有2张中奖彩票，从中任取n张，要使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于，n至少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：从中任取n张，这n张彩票中至少有一张中奖的概率为P＝1，
则1，
整理得n2﹣39n+190＜0，
当n＝5时大于0，n＝6时小于0，
所以n的最小值为6．
故选：A．
29．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
【答案】B
【解答】解：对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，则X服从二项分布；
对于B，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，选出女生的人数为X，则X服从超几何分布；
对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，则X服从二项分布；
对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是第一次摸出黑球时的次数，则X不服从超几何分布．
故选：B．
（多选）30．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
【答案】ACD
【解答】解：对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，
故X不服从超几何分布，故B错误；
对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，
，，
显然当Y＝2时，概率最大，故C正确；
对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，
其概率为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）31．下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长（男生）必须参加，其中女生的人数X
【答案】CD
【解答】解：AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意；
CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布．
故选：CD．
32．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为ξ．若P（ξ＝1），且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为 25% ．
【答案】25%．
【解答】解：设这12件产品中的次品数为x，
P（ξ＝1），
则P（ξ＝1），且，解得x＝3，
故这12件产品的次品率为．
故答案为：25%．
33．为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量N（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用X表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得X＝12的概率最大时N的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则N的估计值是 833 ．
【答案】833
【解答】解：由题意得，，
记，则，
所以，
当时，解得188≤N＜832.33，
当N≥833时，a（N）＞a（N+1），
故当N＝833时，a（N）最大，
即N的估计值为833．
故答案为：833．
