直线方程的概念与直线的斜率
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文档简介
2.2直线的方程
第一课时 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
【新知导学】
1.直线方程的概念
如果______________1________________；反之，____________2__________________那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
2.直线的斜率
（1）直线中的___3_______叫做直线的斜率，垂直于轴的直线____4___斜率
（2）经过任意两点的直线的斜率公式为_____5______________。
3.直线的倾斜角
（1）. 直线倾斜角的定义
_____6_______与直线______7______的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.
规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为___8______.
（2）．直线倾斜角的取值范围：_______9_________.
（3）．直线的倾斜角与斜率的变化关系
①当时，直线______10____________，直线的倾斜角；
②当时，直线的倾斜角为______11__，且值增大，直线的倾斜角也随着__12___；
③当时，直线的倾斜角为__13.___，且值增大，直线的倾斜角也随着__14___；
④垂直于轴的直线的倾斜角等于，斜率_____15_____.
答案：1.以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上;
2.这条直线上的点的坐标都是这个方程的解
3. 系数; 4. 不存在 ; 5.
6. 轴正向; 7. 向上; 8. 零度角
9. ; 10. 平行于轴或与轴重合; 11. 锐角
12. 增大 13. 钝角 14. 增大 15. 不存在
【问题导思】
1. 直线的斜率与倾斜角之间有何关系？
2. 两直线斜率相等两直线重合吗？
答案：1.倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的几何量。倾斜角是直接反映这种程度大小的，倾斜角越大，倾斜程度越大。平面上任意一条直线都有倾斜角，且
，但不是所有的直线都有斜率。倾斜角可正，可零，不可为负；而斜率可正，可零，可负。当时直线斜率不存在。
2.不一定，当已知三点A,B,C且时，直线AB的倾斜角与直线AC的倾斜角相同，AB,AC两条直线重合，说明三点共线。否则，两直线斜率相等，有可能表示两直线平行。
【重难导读】
1.直线方程的概念
（1）.直线的方程和方程的直线这两个概念是同时定义的，单独描述一个是不行的，二者缺一不可。
（2）.建立直线的方程和方程的直线的对应概念，利于我们由方程描述直线，由图形研究性质，通过方程（代数方法）来研究直线（几何问题）的有关问题。
2．直线的倾斜角
当直线与轴相交时，我们取轴为基准，轴的正向与直线向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角。
关于理解直线的倾斜角应注意以下几点：
（1）清楚定义中含有三个条件：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角。
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观的描述了直线对轴正方向的倾斜程度。
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。
3．直线的斜率
（1）.直线的斜率是 直线相对于轴的倾斜程度，其大小为对应函数值的改变量与自变量改变量之比，即.
（2）．直线斜率的计算公式
已知直线上任意两点，其斜率为
①.直线的斜率与直线上任意两点的顺序无关，它取决于该直线对应的函数值改变量与自变量改变量，；
②.当直线垂直于轴时，由于，故此直线的斜率不存在；当直线垂直于轴时，由于，故此直线的斜率为0；
【典例精析】
题型１：考查直线的方程与方程的直线的概念
例１：已知方程.
（１）求直线方程所对应直线的斜率；
（2）点是否在直线上？
（3）方程是不是直线的方程？直线是不是方程的直线？
分析：要抓住直线的方程和方程的直线的概念解题，对于（１）运用概念的对应性；（2）、（3）只需检验定义中的两个条件是否满足.
解 :（１）由方程，得，
∴方程所对应的直线的斜率为；
（2）∵当时，方程的左边＝，右边＝０，
∴左边右边
∴点不在直线上.
（3）虽然以方程的解为坐标的点都在直线上，但是上的点的坐标不都是该方程的解，如点，但，即不是该方程的解，
所以方程不是直线的方程，直线也不是方程的直线.
点评：１．准确理解直线的方程和方程的直线的概念，为以后学习曲线的方程和方程的曲线可奠定良好的基础.
２．把方程改写成一次函数的形式，即可求出这条直线的斜率；
变式训练1：已知方程.
（1） 把方程改写成一次函数的形式，并求出这条直线的斜率；
（2） 点是否在方程所对应的直线上？
（3）方程是不是直线的方程？直线是不是方程的直线
解：（１）由方程，得，
∴方程所对应的直线的斜率为；
（2）∵当时，方程的左边＝，右边＝０，
∴左边右边
∴点不在直线上.
（3）虽然以方程的解为坐标的点都在直线上，但是上的点的坐标不都是该方程的解，如点，但，即不是该方程的解，
所以方程不是直线的方程，直线也不是方程的直线.
题型二：考查直线的斜率公式
例2、已知A（3，5），B（4，7），C（-1，）三点共线，试求的值。
分析：三点共线，则经过两点确定的直线斜率相同。
解：A,B,C三点在同一条直线上
即
解得
变式训练2、设，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数的值。
解： 由得
.
整理得.
解得或.
题型三：巧用斜率公式及数形结合解题
例3、经过P（0，－1）作直线，若直线与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公
共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围。
分析：将直线与线段AB相交转化为已知直线的斜率的范围。
解：画出草图如图：
结合图形为使与线段AB有公共点得
而 B
故 时，倾斜角为钝角；时，； 0
时，为锐角 P A
又
； 当
倾斜角的范围为
点评：直线的倾斜角与斜率之间的关系：当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率；当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率；当直线的倾斜角等于时，直线的斜率等于零；当直线的倾斜角等于时，直线的斜率不存在。
变式训练3、已知两点A（-2，-3），B（3，0）过点P（-1，2）的直线与线段AB有公
共点 ，求直线 的斜率的取值范围。
解：过P与轴垂直的直线PC斜率不存在但适合题意如图
而 y
由于在内斜率都随倾斜角增大而增大， P
当由PA 变化到PC时，斜率变大， C O B x
当 由PC变化到PB时斜率也是变大， A
故
【方法回眸】
1、在分析直线的倾斜角与斜率的关系时，要注意这个分界线，当直线的倾斜角从
开始逐步增大时，斜率也在逐步增大，当倾斜角无限靠近时，斜率是无穷大；当倾
斜角等于时斜率不存在；当倾斜角逐步增大时，斜率将从负无穷大逐渐增大，直到
为0。这是倾斜角与斜率之间的变化关系，在求解涉及到倾斜角与斜率问题时，一般都
要用到这个关系。
2、在处理许多问题时都需要画图帮助解题，这时图形的作用（1）弄清题意；（2）启迪思维 ；（3）帮助表达。
“基础·巩固”
1、对于下列命题：
①若是直线的倾斜角，则；
②若是直线的斜率，则；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角。
其中正确的命题个数是 （ ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C 解析：倾斜角为 的直线无斜率，故只有④错误
2、如果过点P（-2，）和Q（，4）的直线的斜率等于1，那么的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 1或3 D． 1或4
答案：A 解析：由
３、已知，且直线ＡＢ的倾斜角为，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．且
答案：Ｄ解析：因为直线ＡＢ的倾斜角为，所以直线的斜率不存在，即，由因为A、B两点不重合，所以，即.故选Ｄ.
4、如图所示，直线的斜率分别为，则有（ ）
A. B.
C. D.
答案：A 解析：由倾斜角的定义可知倾斜角最大
的倾斜角最小。
5、若经过点和点的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 .
答案： 解析：由经过点和点的直线的倾斜角为钝角，可得，解之得.
6、已知直线的斜率为，A（5，－3），B（4，），C（－1，）是这条直线上的
三个点，则=_____________，=_______________。
答案：－１，９ 解析：
由
7、已知在同一条直线上，求此直线的斜率.
解：∵Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，
∴，由斜率公式得
整理得，即
∴，
当时，斜率；当时，
８、若三点A（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（ ）共线，求的值。
解：Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线
即 解得
９、设直线经过点，求直线的斜率及倾斜角的范围.
解：设直线的斜率为，倾斜角为.
（１）．当时，直线与轴垂直，直线的斜率不存在，倾斜角；
（２）．当时，由斜率公式得
①当时，；
②当时，．
综上所述：斜率的取值范围为，倾斜角的取值范围为
“拓展·提升”
１、直线过点Ａ（１，２），且不过第四象限，那么直线的斜率取值范围是（ ）
Ａ．［０，２］ Ｂ．［０，１］
Ｃ．［０，］ Ｄ．［０，］
答案：Ａ 解析：
２、已知直线的斜率为－１，则实数 ＝ .
答案：=4 解析：由题意可得，解得=4（=3舍）
３、直线过点，且，求直线的斜率.
解：当时，直线的斜率不存在；
当时，直线的斜率.
“探究·创新”
已知实数满足，求的最大值和最小值。
小锦囊：此题的关键是明确的含义是一条线段，而的几何意义是点Ｐ与原点连线的斜率。
解：如图设在线段ＡＢ上运动，其中Ａ（２，４）， Ａ
Ｂ（３，２）则 可看作是直线的斜率 Ｂ
由图知： 而 ０
Ａ
Ｂ
Ｏ
o
x
Ｐ
ｘ
第一课时 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
【新知导学】
1.直线方程的概念
如果______________1________________；反之，____________2__________________那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
2.直线的斜率
（1）直线中的___3_______叫做直线的斜率，垂直于轴的直线____4___斜率
（2）经过任意两点的直线的斜率公式为_____5______________。
3.直线的倾斜角
（1）. 直线倾斜角的定义
_____6_______与直线______7______的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.
规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为___8______.
（2）．直线倾斜角的取值范围：_______9_________.
（3）．直线的倾斜角与斜率的变化关系
①当时，直线______10____________，直线的倾斜角；
②当时，直线的倾斜角为______11__，且值增大，直线的倾斜角也随着__12___；
③当时，直线的倾斜角为__13.___，且值增大，直线的倾斜角也随着__14___；
④垂直于轴的直线的倾斜角等于，斜率_____15_____.
答案：1.以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上;
2.这条直线上的点的坐标都是这个方程的解
3. 系数; 4. 不存在 ; 5.
6. 轴正向; 7. 向上; 8. 零度角
9. ; 10. 平行于轴或与轴重合; 11. 锐角
12. 增大 13. 钝角 14. 增大 15. 不存在
【问题导思】
1. 直线的斜率与倾斜角之间有何关系？
2. 两直线斜率相等两直线重合吗？
答案：1.倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的几何量。倾斜角是直接反映这种程度大小的，倾斜角越大，倾斜程度越大。平面上任意一条直线都有倾斜角，且
，但不是所有的直线都有斜率。倾斜角可正，可零，不可为负；而斜率可正，可零，可负。当时直线斜率不存在。
2.不一定，当已知三点A,B,C且时，直线AB的倾斜角与直线AC的倾斜角相同，AB,AC两条直线重合，说明三点共线。否则，两直线斜率相等，有可能表示两直线平行。
【重难导读】
1.直线方程的概念
（1）.直线的方程和方程的直线这两个概念是同时定义的，单独描述一个是不行的，二者缺一不可。
（2）.建立直线的方程和方程的直线的对应概念，利于我们由方程描述直线，由图形研究性质，通过方程（代数方法）来研究直线（几何问题）的有关问题。
2．直线的倾斜角
当直线与轴相交时，我们取轴为基准，轴的正向与直线向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角。
关于理解直线的倾斜角应注意以下几点：
（1）清楚定义中含有三个条件：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角。
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观的描述了直线对轴正方向的倾斜程度。
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。
3．直线的斜率
（1）.直线的斜率是 直线相对于轴的倾斜程度，其大小为对应函数值的改变量与自变量改变量之比，即.
（2）．直线斜率的计算公式
已知直线上任意两点，其斜率为
①.直线的斜率与直线上任意两点的顺序无关，它取决于该直线对应的函数值改变量与自变量改变量，；
②.当直线垂直于轴时，由于，故此直线的斜率不存在；当直线垂直于轴时，由于，故此直线的斜率为0；
【典例精析】
题型１：考查直线的方程与方程的直线的概念
例１：已知方程.
（１）求直线方程所对应直线的斜率；
（2）点是否在直线上？
（3）方程是不是直线的方程？直线是不是方程的直线？
分析：要抓住直线的方程和方程的直线的概念解题，对于（１）运用概念的对应性；（2）、（3）只需检验定义中的两个条件是否满足.
解 :（１）由方程，得，
∴方程所对应的直线的斜率为；
（2）∵当时，方程的左边＝，右边＝０，
∴左边右边
∴点不在直线上.
（3）虽然以方程的解为坐标的点都在直线上，但是上的点的坐标不都是该方程的解，如点，但，即不是该方程的解，
所以方程不是直线的方程，直线也不是方程的直线.
点评：１．准确理解直线的方程和方程的直线的概念，为以后学习曲线的方程和方程的曲线可奠定良好的基础.
２．把方程改写成一次函数的形式，即可求出这条直线的斜率；
变式训练1：已知方程.
（1） 把方程改写成一次函数的形式，并求出这条直线的斜率；
（2） 点是否在方程所对应的直线上？
（3）方程是不是直线的方程？直线是不是方程的直线
解：（１）由方程，得，
∴方程所对应的直线的斜率为；
（2）∵当时，方程的左边＝，右边＝０，
∴左边右边
∴点不在直线上.
（3）虽然以方程的解为坐标的点都在直线上，但是上的点的坐标不都是该方程的解，如点，但，即不是该方程的解，
所以方程不是直线的方程，直线也不是方程的直线.
题型二：考查直线的斜率公式
例2、已知A（3，5），B（4，7），C（-1，）三点共线，试求的值。
分析：三点共线，则经过两点确定的直线斜率相同。
解：A,B,C三点在同一条直线上
即
解得
变式训练2、设，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数的值。
解： 由得
.
整理得.
解得或.
题型三：巧用斜率公式及数形结合解题
例3、经过P（0，－1）作直线，若直线与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公
共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围。
分析：将直线与线段AB相交转化为已知直线的斜率的范围。
解：画出草图如图：
结合图形为使与线段AB有公共点得
而 B
故 时，倾斜角为钝角；时，； 0
时，为锐角 P A
又
； 当
倾斜角的范围为
点评：直线的倾斜角与斜率之间的关系：当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率；当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率；当直线的倾斜角等于时，直线的斜率等于零；当直线的倾斜角等于时，直线的斜率不存在。
变式训练3、已知两点A（-2，-3），B（3，0）过点P（-1，2）的直线与线段AB有公
共点 ，求直线 的斜率的取值范围。
解：过P与轴垂直的直线PC斜率不存在但适合题意如图
而 y
由于在内斜率都随倾斜角增大而增大， P
当由PA 变化到PC时，斜率变大， C O B x
当 由PC变化到PB时斜率也是变大， A
故
【方法回眸】
1、在分析直线的倾斜角与斜率的关系时，要注意这个分界线，当直线的倾斜角从
开始逐步增大时，斜率也在逐步增大，当倾斜角无限靠近时，斜率是无穷大；当倾
斜角等于时斜率不存在；当倾斜角逐步增大时，斜率将从负无穷大逐渐增大，直到
为0。这是倾斜角与斜率之间的变化关系，在求解涉及到倾斜角与斜率问题时，一般都
要用到这个关系。
2、在处理许多问题时都需要画图帮助解题，这时图形的作用（1）弄清题意；（2）启迪思维 ；（3）帮助表达。
“基础·巩固”
1、对于下列命题：
①若是直线的倾斜角，则；
②若是直线的斜率，则；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角。
其中正确的命题个数是 （ ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C 解析：倾斜角为 的直线无斜率，故只有④错误
2、如果过点P（-2，）和Q（，4）的直线的斜率等于1，那么的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 1或3 D． 1或4
答案：A 解析：由
３、已知，且直线ＡＢ的倾斜角为，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．且
答案：Ｄ解析：因为直线ＡＢ的倾斜角为，所以直线的斜率不存在，即，由因为A、B两点不重合，所以，即.故选Ｄ.
4、如图所示，直线的斜率分别为，则有（ ）
A. B.
C. D.
答案：A 解析：由倾斜角的定义可知倾斜角最大
的倾斜角最小。
5、若经过点和点的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 .
答案： 解析：由经过点和点的直线的倾斜角为钝角，可得，解之得.
6、已知直线的斜率为，A（5，－3），B（4，），C（－1，）是这条直线上的
三个点，则=_____________，=_______________。
答案：－１，９ 解析：
由
7、已知在同一条直线上，求此直线的斜率.
解：∵Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，
∴，由斜率公式得
整理得，即
∴，
当时，斜率；当时，
８、若三点A（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（ ）共线，求的值。
解：Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线
即 解得
９、设直线经过点，求直线的斜率及倾斜角的范围.
解：设直线的斜率为，倾斜角为.
（１）．当时，直线与轴垂直，直线的斜率不存在，倾斜角；
（２）．当时，由斜率公式得
①当时，；
②当时，．
综上所述：斜率的取值范围为，倾斜角的取值范围为
“拓展·提升”
１、直线过点Ａ（１，２），且不过第四象限，那么直线的斜率取值范围是（ ）
Ａ．［０，２］ Ｂ．［０，１］
Ｃ．［０，］ Ｄ．［０，］
答案：Ａ 解析：
２、已知直线的斜率为－１，则实数 ＝ .
答案：=4 解析：由题意可得，解得=4（=3舍）
３、直线过点，且，求直线的斜率.
解：当时，直线的斜率不存在；
当时，直线的斜率.
“探究·创新”
已知实数满足，求的最大值和最小值。
小锦囊：此题的关键是明确的含义是一条线段，而的几何意义是点Ｐ与原点连线的斜率。
解：如图设在线段ＡＢ上运动，其中Ａ（２，４）， Ａ
Ｂ（３，２）则 可看作是直线的斜率 Ｂ
由图知： 而 ０
Ａ
Ｂ
Ｏ
o
x
Ｐ
ｘ