切点三角形问题

切点三角形问题探讨
近年来，全国各地中考题有许多都与切点三角形有关。两圆相外切，切点与一条外公切线和两圆的公共点构成的三角形称为“切点三角形”。如图1所示，圆O1和圆O2外切于点A，它们的半径分别为r、R，BC是圆O1和圆O2的公切线，B、C为切点，则△ABC为切点三角形（见人教版《几何》第三册P129页例4）。切点三角形具有以下重要性质：
（1）△ABC为直角三角形，且；
（2）若BE、CD分别为圆O1和圆O2的直径，则E、A、C三点共线，B、A、D三点共线；
（3）（即切点三角形的斜边是两圆直径的比例中项）；
（4）；
（5）内公切线AO平分外公切线BC长；
（6）（即两直角边与两圆连心线所夹锐角等于该直角边的对角）。
证明过程请同学们自己完成。利用切点三角形的性质，可以简捷地处理有关问题。下面举例予以说明。
图1
例1. 图1的条件不变，延长CA，交圆O1于D，如图2所示，若AC：AD=3：1，求的度数。
图2
分析：因为△ABC为切点三角形，由性质（1）可知，，
所以，
则BD为圆O1的直径，易证，
得·。
故。
故。
又为锐角，故ACB=30°。
例2. 如图3所示，矩形ABCD中，BC=25，直径为8的圆O分别与AB、AD相切于点E、F，圆O’与圆O相切于点P，圆O’分别与BC、CD、DA相切于点G、H、K，求矩形ABCD的宽AB的长。
图3
证明：连结OF、PF、PK、O’K。
显然△PFK为切点三角形，
由性质（3）知，FK为圆O与圆O’的直径的比例中项。
设圆O’的直径为2x，则，
即。又BC=AD=AF+FK+KD，
从而得方程，
即。
解得。
故x=9，从而AB=2x=18。即矩形ABCD的宽AB为18。
例3. 如图4所示，圆O1与圆O2外切于点A，BC切圆O1于点B，切圆O2于点C，O1O2的延长线交圆O2于点D，交BC的延长线于点P。求证：。
图4
证明：显然△ABC为切点三角形，由性质（6），知。
又
思考吧：如图5所示，圆O1和圆O2外切于点T，它们的半径之比为3：2，AB为它们的外公切线，A、B为切点，，求圆O1和圆O2的圆心距。
图5
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